Введение

Это список некоторых обычных и обобщённых (или исключительных) теорий гомологии и кохомологии в алгебраической топологии, определённых на категориях CW-комплексов или спектров. Другие виды теорий гомологии см. в ссылках в конце этой статьи.

Обычные теории гомологии

Это теории, удовлетворяющие "аксиоме размерности" из аксиом Эйленберга — Стинрода, согласно которой гомология точки обращается в нуль во всех размерностях, кроме 0. Они определяются абелевой группой коэффициентов G и обозначаются H(X, G) (где G иногда опускается, особенно если это Z). Обычно G — это целые числа, рациональные числа, действительные числа, комплексные числа или целые числа по модулю простого числа p.

Когомологические функторы обычных теорий когомологий представляются пространствами Эйленберга — Маклейна. Для симплициальных комплексов эти теории совпадают с сингулярной гомологией и когомологией.

Гомология и кохомология с коэффициентами целых чисел.

Спектр: H (спектр Эйленберга — Маклейна целых чисел). Кольцо коэффициентов: πn(H) = Z при n = 0, 0 иначе. Исходная теория гомологий.

Гомология и кохомология с рациональными (или реальными или сложными) коэффициентами.

Спектр: HQ (спектр Эйленберга — Маклейна рациональных чисел). Кольцо коэффициентов: πn(HQ) = Q, если n = 0, и 0 в противном случае. Это самые простые из всех теорий гомологии. Гомологические группы HQn(X) часто обозначаются как Hn(X, Q). Гомологические группы H(X, Q), H(X, R), H(X, C) с рациональными, вещественными и комплексными коэффициентами во многом схожи и используются главным образом, когда кручение не представляет интереса (или слишком сложно для вычисления). Разложение Ходжа представляет комплексную кохомологию комплексного проективного многообразия в виде суммы групп кохомологий пучков.

Гомология и кохомология с коэффициентами mod p.

Спектр: HZp (спектр Эйленберга — Маклейна для целых чисел по модулю p). Коэффициентное кольцо: πn(HZp) = Zp (целые числа по модулю p), если n = 0, и 0 в противном случае.

К-теории

Простейшие K-теории пространства часто связаны с векторными расслоениями над пространством, и различные виды K-теорий соответствуют различным структурам, которые можно задать векторному расслоению.

Комплексная К-теория

Спектр: KU (чётные части BU или Z × BU, нечётные части U). Кольцо коэффициентов: Кольцо коэффициентов K*(точка) — это кольцо полиномов Лорана от генератора степени 2. K0(X) — кольцо стабильных классов эквивалентности комплексно-векторных расслоений над X. Периодичность Ботта влечёт, что K-группы имеют период 2.

Связующие К-теории

Спектр: ku для соединительной K-теории, ko для соединительной вещественной K-теории. Кольцо коэффициентов: для ku кольцо коэффициентов — это кольцо многочленов над Z относительно одного класса v1 в размерности 2. Для ko кольцо коэффициентов — это факторкольцо многочлена от трех образующих: η в размерности 1, x4 в размерности 4 и v14 в размерности 8, периодического генератора, по отношению к соотношениям 2η = 0, x4² = 4v14, η³ = 0 и ηx = 0. Грубо говоря, это K-теория, в которой уничтожены части с отрицательными размерностями.

Теория КР

Это теория когомологий, определенная для пространств с инволюцией, из которой можно вывести многие другие K-теории.

Теории бордизма и кобордизма

Кобордизм изучает многообразия, при этом многообразие считается "тривиальным", если оно является границей другого компактного многообразия. Кобордные классы многообразий образуют кольцо, которое обычно служит кольцом коэффициентов для некоторой обобщенной теории когомологий. Существует множество таких теорий, приблизительно соответствующих различным структурам, которые можно задать на многообразии. Функторы теорий кобордизма часто представляются пространствами Тома определенных групп.

Стабильная гомотопия и кохомотопия

Спектр: S (сферный спектр). Кольцо коэффициентов: группы коэффициентов πn(S) — это стабильные гомотопические группы сфер, которые печально известны своей сложностью в вычислениях и понимании при n > 0. (При n < 0 они обращаются в нуль, а при n = 0 группа изоморфна Z.) Стабильная гомотопия тесно связана с кобордизмом фреймованных многообразий (многообразий с тривиализацией нормального расслоения).

Моравская К-теория

Спектр: K(n) (Они также зависят от простого числа p.)

Кольцо коэффициентов: Fp[vn, vn−1], где vn имеет степень 2(pn – 1). Эти теории имеют период 2(pn – 1). Они названы в честь Джека Моравы.

Топологические модульные формы

Спектры: tmf, TMF (ранее называвшийся eo2). Кольцо коэффициентов π*(tmf) называется кольцом топологических модулярных форм. TMF — это tmf, в котором инвертирована 24-я степень модулярной формы Δ, и имеет период 24² = 576. При простом числе p = 2, завершение tmf — это спектр eo2, а K(2)-локализация tmf — это спектр высшего вещественного K-теории Хопкинса-Миллера EO2.