Кіріспе
Эвклид кеңістігіндегі тораптық топ, оның нүктелері бүтін сандардан құралған n-тіктер. Математикада, n өлшемді бүтін сандар торабы (немесе кубтық торап), \mathbb{Z}^n деп белгіленеді, Эвклид кеңістігі \mathbb{R}^n-дегі торап, оның тораптық нүктелері бүтін сандардан құралған n-тіктер болып табылады. Екі өлшемді бүтін сандар торабы шаршы торап немесе торлы торап деп те аталады. \mathbb{Z}^n – түбір торабының ең қарапайым мысалы. Бүтін сандар торабы – тақ, бір модульді торап.
In mathematics, the n dimensional integer lattice (or cubic lattice), denoted \mathbb{Z}^n, is the lattice in the Euclidean space \mathbb{R}^n whose lattice points are n tuples of integers. The two dimensional integer lattice is also called the square lattice, or grid lattice. \mathbb{Z}^n is the simplest example of a root lattice. The integer lattice is an odd unimodular lattice.
Автоморфизм тобы
Автоморфизм тобы (немесе конгруенттер тобы) бүтін сандар торының барлық пермутацияларынан және координаталардың таңбаларын өзгертуден тұрады, және оның реті 2n n! болады. Матрицалық топ ретінде ол барлық n × n таңбаланған пермутациялық матрицалар жиынымен беріледі. Бұл топ жартылай тура көбейтіндіге изоморфты, онда симметриялық топ Sn (Z2)n-ге пермутация арқылы әсер етеді (бұл гүлдестелі көбейтіндінің классикалық мысалы). Төртбұрышты тор үшін бұл төртбұрыштың тобы, яғни 8 реттік диэдрлік топ; үш өлшемді кубтық тор үшін біз кубтың тобын, яғни 48 реттік октаэдрлік топты аламыз.
where the symmetric group Sn acts on (Z2)n by permutation (this is a classic example of a wreath product). For the square lattice, this is the group of the square, or the dihedral group of order 8; for the three dimensional cubic lattice, we get the group of the cube, or octahedral group, of order 48.
Диофантикалық геометрия
Диофантикалық геометрияны зерттеуде бүтін сандық координаттары бар нүктелердің квадрат торлары жиі Диофантикалық жазықтық деп аталады. Математикалық тұрғыдан алғанда, Диофантикалық жазықтық – барлық бүтін сандар сақинасының декарт көбейтіндісі. Диофантикалық фигураларды зерттеу Диофантикалық жазықтықтағы түйіндерді таңдауға бағытталған, олардың арасындағы барлық жұптық қашықтықтар бүтін сандар болып табылады.
Қиын геометрия
Қалың геометрияда бүтін сандар торы Евклид кеңістігімен жуықтап тең.
Пик теоремасы
Пик теоремасы, алғаш рет 1899 жылы Георг Александр Пик сипаттаған, 2 өлшемді бүтін сан торда жатқан барлық төбелері бар қарапайым көпбұрыштың ауданы үшін формула ұсынады, оның ішіндегі және оның шекарасындағы бүтін сан нүктелерінің саны арқылы. Көпбұрыштың ішкі жағындағы бүтін нүктелер саны болсын, ал оның шекарасындағы бүтін нүктелер саны болсын (төбелер мен қабырғаларындағы нүктелерді қоса алғанда). Онда осы көпбұрыштың ауданы:
Көрсетілген мысалда ішкі нүктелер және шекаралық нүктелер бар, сондықтан оның ауданы шаршы бірліктерге тең.