Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Решетка в евклидовом пространстве, точки которой являются целочисленными n-кортежами.
Lattice group in Euclidean space whose points are integer n tuples
В математике, n-мерная целочисленная решетка (или кубическая решетка), обозначаемая \mathbb{Z}^n, — это решетка в евклидовом пространстве \mathbb{R}^n, точки которой являются n-кортежами целых чисел. Двумерная целочисленная решетка также называется квадратной решеткой или решеткой-сеткой. \mathbb{Z}^n является простейшим примером корневой решетки. Целочисленная решетка — нечетная унимодулярная решетка.
In mathematics, the n dimensional integer lattice (or cubic lattice), denoted \mathbb{Z}^n, is the lattice in the Euclidean space \mathbb{R}^n whose lattice points are n tuples of integers. The two dimensional integer lattice is also called the square lattice, or grid lattice. \mathbb{Z}^n is the simplest example of a root lattice. The integer lattice is an odd unimodular lattice.
Группа автоморфизма
Автоморфическая группа (или группа конгруэнций) целочисленной решетки состоит из всех перестановок и смен знаков координат и имеет порядок 2n n!. Как матричная группа, она задается множеством всех n × n перестановочных матриц со знаками. Эта группа изоморфна полупрямому произведению
The automorphism group (or group of congruences) of the integer lattice consists of all permutations and sign changes of the coordinates, and is of order 2n n!. As a matrix group it is given by the set of all n × n signed permutation matrices. This group is isomorphic to the semidirect product
где симметрическая группа Sn действует на (Z2)n перестановками (это классический пример венка произведения). Для квадратной решетки это группа квадрата, или диэдрическая группа порядка 8; для трехмерной кубической решетки мы получаем группу куба, или октаэдрическую группу порядка 48.
where the symmetric group Sn acts on (Z2)n by permutation (this is a classic example of a wreath product). For the square lattice, this is the group of the square, or the dihedral group of order 8; for the three dimensional cubic lattice, we get the group of the cube, or octahedral group, of order 48.
Диофантическая геометрия
В изучении диофантовой геометрии квадратная решетка точек с целочисленными координатами часто называется диофантовой плоскостью. В математических терминах диофантова плоскость представляет собой декартово произведение кольца всех целых чисел. Изучение диофантовых фигур сосредоточено на выборе узлов в диофантовой плоскости таким образом, чтобы все попарные расстояния были целыми числами.
In the study of Diophantine geometry, the square lattice of points with integer coordinates is often referred to as the Diophantine plane. In mathematical terms, the Diophantine plane is the Cartesian product of the ring of all integers The study of Diophantine figures focuses on the selection of nodes in the Diophantine plane such that all pairwise distances are integers.
Грубая геометрия
В грубой геометрии целочисленная решетка грубо эквивалентна евклидову пространству.
In coarse geometry, the integer lattice is coarsely equivalent to Euclidean space.
Теорема Пика
Теорема Пика, впервые описанная Георгом Александром Пиком в 1899 году, предоставляет формулу для вычисления площади простого многоугольника, все вершины которого лежат на двумерной целочисленной решетке, выраженную через количество целочисленных точек внутри него и на его границе. Пусть *i* – количество целочисленных точек внутри многоугольника, а *b* – количество целочисленных точек на его границе (включая как вершины, так и точки на сторонах). Тогда площадь *A* этого многоугольника равна:
Pick's theorem, first described by Georg Alexander Pick in 1899, provides a formula for the area of a simple polygon with all vertices lying on the 2 dimensional integer lattice, in terms of the number of integer points within it and on its boundary. Let be the number of integer points interior to the polygon, and let be the number of integer points on its boundary (including both vertices and points along the sides). Then the area of this polygon is:
На примере показано *i* внутренних точек и *b* граничных точек, следовательно, его площадь составляет квадратных единиц.
The example shown has interior points and boundary points, so its area is square units.