Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Нақты мәнді функциялардың туындыларын жалпылау
Generalization of derivatives to real valued functions
Математикада субтуындылар (немесе субградиент) туындыны қажетті түрде дифференциалдауға болмайтын дөңес функцияларға жалпылайды. Бір нүктедегі субтуындылар жиыны сол нүктедегі субдифференциал деп аталады. Субтуындылар дөңес талдауда, дөңес функцияларды зерттеуде, көбінесе дөңес оптимизациямен байланысты қолданылады. – нақты сызықтың ашық аралығында анықталған нақты мәнді дөңес функция болсын. Мұндай функцияның барлық нүктелерде дифференциалдануы міндетті емес: мысалы, абсолют мәні функциясы дифференциалдауға болмайды. Бірақ, оң жақтағы графикте көрсетілгендей (көк түсті абсолют мәні функциясына ұқсас дифференциалдауға болмайтын бұрыштар бар), функцияның доменіндегі кез келген үшін, нүктесінен өтетін және функциясының графигіне тиетін немесе одан төмен болатын сызық жүргізуге болады. Мұндай сызықтың еңісі субтуынды деп аталады.
In mathematics, subderivatives (or subgradient) generalizes the derivative to convex functions which are not necessarily differentiable. The set of subderivatives at a point is called the subdifferential at that point. Subderivatives arise in convex analysis, the study of convex functions, often in connection to convex optimization. Let be a real valued convex function defined on an open interval of the real line. Such a function need not be differentiable at all points: For example, the absolute value function is non differentiable when However, as seen in the graph on the right (where in blue has non differentiable kinks similar to the absolute value function), for any in the domain of the function one can draw a line which goes through the point and which is everywhere either touching or below the graph of f. The slope of such a line is called a subderivative.
Мысал
Конвекс функцияны қарастырайық. Онда, нөлдік нүктедегі субдифференциал – [1, -1] аралығын құрайды. Кез келген x > 0 нүктесіндегі субдифференциал – {1} бір элементті жиын, ал кез келген x < 0 нүктесіндегі субдифференциал – {-1} бір элементті жиын болады. Бұл белгі функциясына ұқсас, бірақ x = 0 нүктесінде бір мәнді емес, оның орнына барлық мүмкін субдифференциалдарды қамтиды.
Consider the function which is convex. Then, the subdifferential at the origin is the interval The subdifferential at any point is the singleton set , while the subdifferential at any point is the singleton set This is similar to the sign function, but is not single valued at , instead including all possible subderivatives.
Қасиеттері
Дөңес функция нүктесінде дифференциалданады, егер және тек қана егер оның субдифференциалы бір элементті жиын болса, яғни . А нүктесі дөңес функцияның жаһандық минимум нүктесі болады, егер және тек қана егер субдифференциал нөлді қамтитын болса. Мысалы, жоғарыдағы суретте, функцияның графигіне нүктесінде көлденең "субтангенттік түзу" жүргізуге болады. Бұл соңғы қасиет, жергілікті минимумда дифференциалданатын функцияның туындысы нөлге тең екендігінің жалпыламасы болып табылады. Егер және дөңес функциялар болса, олардың субдифференциалдары және болса, және нүктесі функциялардың бірінің ішкі нүктесі болса, онда субдифференциал (мұнда қосу операторы Минковский қосындысын білдіреді) болады. Бұл "қосындының субдифференциалы – субдифференциалдардың қосындысы" деп оқылады.
A convex function is differentiable at if and only if the subdifferential is a singleton set, which is A point is a global minimum of a convex function if and only if zero is contained in the subdifferential. For instance, in the figure above, one may draw a horizontal "subtangent line" to the graph of at This last property is a generalization of the fact that the derivative of a function differentiable at a local minimum is zero. If and are convex functions with subdifferentials and with being the interior point of one of the functions, then the subdifferential of is (where the addition operator denotes the Minkowski sum). This reads as "the subdifferential of a sum is the sum of the subdifferentials."
Субградиенті
Субдиференциал және субградиент ұғымдарын бірнеше айнымалылардың функцияларына жалпылауға болады. Егер Евклид кеңістігіндегі дөңгелек ашық жиынтықта анықталған нақты мәнді дөңгелек функция болса, және кез келген үшін нүктелік көбейтіндіні білдіретін болса, онда сол кеңістіктегі вектор нүктесіндегі субградиент деп аталады, егер:
The concepts of subderivative and subdifferential can be generalized to functions of several variables. If is a real valued convex function defined on a convex open set in the Euclidean space , a vector in that space is called a subgradient at if for any one has that
. нүктесіндегі барлық субградиенттер жиыны нүктесіндегі субдиференциал деп аталады және символымен белгіленеді. Субдиференциал әрқашан бос емес, дөңгелек және компакт жиын болып табылады. Бұл ұғымдар жергілікті дөңгелек кеңістіктегі дөңгелек жиынтықтағы дөңгелек функцияларға да қатысты. жергілікті дөңгелек кеңістіктің қосымша кеңістігіндегі функционал, егер барлық үшін:
where the dot denotes the dot product. The set of all subgradients at is called the subdifferential at and is denoted The subdifferential is always a nonempty convex compact set. These concepts generalize further to convex functions on a convex set in a locally convex space A functional in the dual space is called the subgradient at in if for all ,
болса, нүктесіндегі субградиент деп аталады. нүктесіндегі барлық субградиенттер жиыны нүктесіндегі субдиференциал деп аталады және қайтадан символымен белгіленеді. Субдиференциал әрқашан дөңгелек және жабық жиын болып табылады. Ол бос жиын болуы мүмкін; мысалы, дөңгелек болғанмен, субградиенті жоқ шексіз операторды қарастырайық. Егер үзіліссіз болса, субдиференциал бос емес.
The set of all subgradients at is called the subdifferential at and is again denoted The subdifferential is always a convex closed set. It can be an empty set; consider for example an unbounded operator, which is convex, but has no subgradient. If is continuous, the subdifferential is nonempty.
Тарих
Дөңес функциялар үшін субдифференциал Жан Жак Моро және Р. Тирелл Рокфеллер 1960 жылдардың басында енгізді. Дөңес емес функциялар үшін жалпыланған субдифференциал Ф. Х. Кларк пен Р. Т. Рокфеллер 1980 жылдардың басында енгізді.
The subdifferential on convex functions was introduced by Jean Jacques Moreau and R. Tyrrell Rockafellar in the early 1960s. The generalized subdifferential for nonconvex functions was introduced by F. H. Clarke and R. T. Rockafellar in the early 1980s.