Кіріспе
Математикада, функционалдық талдау саласында, Минковский функционалы (Герман Минковскийдің есімімен) немесе өлшегіш функциясы – сызықтық кеңістікте қашықтық ұғымын қалпына келтіретін функция. Егер – нақты немесе комплекс сандар кеңістігінің ішкі жиыны болса, онда Минковский функционалы немесе өлшегіші кеңейтілген нақты сандармен бағаланатын функция ретінде анықталады, яғни:
In mathematics, in the field of functional analysis, a Minkowski functional (after Hermann Minkowski) or gauge function is a function that recovers a notion of distance on a linear space. If is a subset of a real or complex vector space then the Minkowski functional or gauge of is defined to be the function valued in the extended real numbers, defined by
where the infimum of the empty set is defined to be positive infinity (which is not a real number so that would then not be real valued). The set is often assumed/picked to have properties, such as being an absorbing disk in that guarantee that will be a real valued seminorm on
In fact, every seminorm on is equal to the Minkowski functional (that is, ) of any subset of satisfying (where all three of these sets are necessarily absorbing in and the first and last are also disks). Thus every seminorm (which is a function defined by purely algebraic properties) can be associated (non uniquely) with an absorbing disk (which is a set with certain geometric properties) and conversely, every absorbing disk can be associated with its Minkowski functional (which will necessarily be a seminorm). These relationships between seminorms, Minkowski functionals, and absorbing disks is a major reason why Minkowski functionals are studied and used in functional analysis. In particular, through these relationships, Minkowski functionals allow one to "translate" certain geometric properties of a subset of into certain algebraic properties of a function on
The Minkowski function is always non negative (meaning ). This property of being nonnegative stands in contrast to other classes of functions, such as sublinear functions and real linear functionals, that do allow negative values. However, might not be real valued since for any given the value is a real number if and only if is not empty. Consequently, is usually assumed to have properties (such as being absorbing in for instance) that will guarantee that is real valued.
мұнда бос жиынның инфимумы оң шексіз деп анықталады (бұл нақты сан емес, сондықтан нақты мәнді болмайды). Көбінесе жинатының қасиеттері бар деп есептеледі, мысалы, кеңістігінде сіңіретін диск болуы, бұл нақты мәнді семинарма болатынын кепілдендіреді. Шындығында, кеңістігіндегі кез келген семинарма жинатының кез келген ішкі жиынының Минковский функционалына (яғни, ) тең, егер ол жиын шартын қанағаттандырса (осы үш жиынның барлығы сіңіретін болып табылады және біріншісі мен соңғысы да дисктер). Осылайша, кез келген семинарма (таза алгебралық қасиеттермен анықталған функция) сіңіретін дискпен (геометриялық қасиеттері бар жиын) байланыстырылуы мүмкін, және керісінше, кез келген сіңіретін диск өзінің Минковский функционалымен байланыстырылуы мүмкін (ол міндетті түрде семинарма болады). Семинармалар, Минковский функциялары және сіңіретін дискілер арасындағы осы қатынастар Минковский функцияларының функционалдық талдауда зерттелуінің және қолданылуының басты себебі болып табылады. Атап айтқанда, осы қатынастар арқылы Минковский функциялары жинатының геометриялық қасиеттерін функциясының алгебралық қасиеттеріне «айналдыруға» мүмкіндік береді.
In mathematics, in the field of functional analysis, a Minkowski functional (after Hermann Minkowski) or gauge function is a function that recovers a notion of distance on a linear space. If is a subset of a real or complex vector space then the Minkowski functional or gauge of is defined to be the function valued in the extended real numbers, defined by
where the infimum of the empty set is defined to be positive infinity (which is not a real number so that would then not be real valued). The set is often assumed/picked to have properties, such as being an absorbing disk in that guarantee that will be a real valued seminorm on
In fact, every seminorm on is equal to the Minkowski functional (that is, ) of any subset of satisfying (where all three of these sets are necessarily absorbing in and the first and last are also disks). Thus every seminorm (which is a function defined by purely algebraic properties) can be associated (non uniquely) with an absorbing disk (which is a set with certain geometric properties) and conversely, every absorbing disk can be associated with its Minkowski functional (which will necessarily be a seminorm). These relationships between seminorms, Minkowski functionals, and absorbing disks is a major reason why Minkowski functionals are studied and used in functional analysis. In particular, through these relationships, Minkowski functionals allow one to "translate" certain geometric properties of a subset of into certain algebraic properties of a function on
The Minkowski function is always non negative (meaning ). This property of being nonnegative stands in contrast to other classes of functions, such as sublinear functions and real linear functionals, that do allow negative values. However, might not be real valued since for any given the value is a real number if and only if is not empty. Consequently, is usually assumed to have properties (such as being absorbing in for instance) that will guarantee that is real valued.
Минковский функциясы әрқашан теріс емес болады (яғни ). Теристік емес болу қасиеті басқа функциялар кластарынан, мысалы, сызықтық емес функциялардан және нақты сызықтық функционалдардан өзгеше, олар теріс мәндерге рұқсат етеді. Алайда, нақты мәнді болуы міндетті емес, себебі кез келген берілген үшін мәні нақты сан болады, тек қана егер бос емес болса. Сәйкесінше, жинатының қасиеттері бар деп есептеледі (мысалы, кеңістігінде сіңіретін болуы), бұл нақты мәнді болатынын кепілдендіреді.
In mathematics, in the field of functional analysis, a Minkowski functional (after Hermann Minkowski) or gauge function is a function that recovers a notion of distance on a linear space. If is a subset of a real or complex vector space then the Minkowski functional or gauge of is defined to be the function valued in the extended real numbers, defined by
where the infimum of the empty set is defined to be positive infinity (which is not a real number so that would then not be real valued). The set is often assumed/picked to have properties, such as being an absorbing disk in that guarantee that will be a real valued seminorm on
In fact, every seminorm on is equal to the Minkowski functional (that is, ) of any subset of satisfying (where all three of these sets are necessarily absorbing in and the first and last are also disks). Thus every seminorm (which is a function defined by purely algebraic properties) can be associated (non uniquely) with an absorbing disk (which is a set with certain geometric properties) and conversely, every absorbing disk can be associated with its Minkowski functional (which will necessarily be a seminorm). These relationships between seminorms, Minkowski functionals, and absorbing disks is a major reason why Minkowski functionals are studied and used in functional analysis. In particular, through these relationships, Minkowski functionals allow one to "translate" certain geometric properties of a subset of into certain algebraic properties of a function on
The Minkowski function is always non negative (meaning ). This property of being nonnegative stands in contrast to other classes of functions, such as sublinear functions and real linear functionals, that do allow negative values. However, might not be real valued since for any given the value is a real number if and only if is not empty. Consequently, is usually assumed to have properties (such as being absorbing in for instance) that will guarantee that is real valued.
Семинормалар болып табылатын Минковский функционалдарын сипаттау
Келесі теорема, жоғарыда айтылғандардан тікелей туындайды, онда сіңіруші деп қарастырылмайды, керісінше, егер - семинарм болса, сіңіруші екені шығарылады. Сондай-ақ, теңгерімді деп ескерілмейді (бұл көбінесе қажет болатын қасиет); оның орнына, барлық скалярлар үшін орындалатын әлсіз шарт қолданылады. -ның дөңес болуының жалпы талабы да әлсіретіліп, тек -ның дөңес болуы талап етіледі.
The common requirement that be convex is also weakened to only requiring that be convex.