Жерді анықтау және бақылау техникасы

Кіріспе

Навигация және қадағалау техникасы

Псевдодиапазонды мультилатерация, көбінесе жағдайда жай ғана мультилатерация (MLAT) – бұл белгісіз нүктенің, мысалы, көлік құралының орнын анықтау үшін, белгісіз нүкте мен белгілі орналасқан бірнеше станциялар арасындағы энергия толқындарының келу уақытын (TOA) өлшеуге негізделген техника. Егер толқындар көлік құралынан таратылса, MLAT қадағалау үшін қолданылады; ал егер толқындар станциялардан таратылса, MLAT навигация үшін қолданылады (гиперболалық навигация). Екі жағдайда да станциялардың сағаттары синхронды деп есептеледі, бірақ көліктің сағаты синхронды емес. Шешімді есептеу алдында толқындардың ортақ тарату уақыты (TOT) қабылдағыштарға белгісіз болады, көлікте (бір қабылдағыш, навигация) немесе станцияларда (бірнеше қабылдағыштар, қадағалау). Сәйкесінше, толқындардың ұшу уақыты (TOF) да белгісіз болады, ол көліктің станциялардан арақашықтығын толқын таралу жылдамдығына бөлу арқылы есептеледі. Әрбір псевдодиапазон – бұл тиісті TOA-ны таралу жылдамдығымен көбейту нәтижесі, соған белгісіз TOT-ты білдіретін тұрақты қосылады. Навигациялық қолданыстарда көлік құралы көбінесе «пайдаланушы» деп аталады; ал қадағалау қолданыстарында көлік құралы «мақсат» деп аталуы мүмкін. Математикалық тұрғыдан дәл шешім алу үшін, сигналдар алынған кезде (алғашқы және соңғы сигналдар қабылдағышқа жеткен сәтте) арақашықтықтар өзгермеуі керек. Осылайша, навигация үшін дәл шешімге тұрақтанған көлік қажет; алайда, мультилатерация көбінесе жылдамдығы толқын таралу жылдамдығынан әлдеқайда төмен қозғалатын көліктердің навигациясына қолданылады. Егер қарастырылатын физикалық өлшемдер саны болса (яғни, ізделіп отырған көлік координаттары), ал алынған сигналдар саны болса (яғни, өлшенген TOA-лар), онда өлшем теңдеулерінің негізгі жиынтығы келесідей болады:

TOA (өлшемдер) = TOF (өрнектерге енгізілген белгісіз айнымалылар) + TOT (бір белгісіз айнымалы, рет қайталанған). Алынған сигналдардан TOA-ларды немесе олардың айырмаларын бөліп алу үшін әдетте өңдеу қажет, сондай-ақ, теңдеулер жиынтығын шешу үшін алгоритм қажет. Алгоритм мынаны істейді: а) қабылдағыштар сағаты үшін TOT және көлік координаттарының сандық мәндерін анықтайды; немесе б) TOT-ты ескермей, көлік координаттарын табу үшін қолданылатын келу уақытының айырмасын (TDOA) құрайды (кем дегенде ). Көбінесе, бұл жазықтық (мысалы, ) немесе сфераның беті (мысалы, ) немесе нақты физикалық әлем болады. TDOA-ны құрайтын жүйелер гиперболалық жүйелер деп те аталады, себебі оның себептері төменде талқыланады. Мультилатерациялық навигациялық жүйе көлік құралының орналасуы туралы ақпаратты көлік құралындағы («ұшақ пилоты немесе GPS қабылдағыш операторы») тұлғаға береді. Мультилатерациялық қадағалау жүйесі көлік құралында жоқ («әуе қозғалысын бақылаушы немесе ұялы телефон операторы») тұлғаға көлік құралының орналасуын береді. Өзара байланыс принципіне сәйкес, навигация үшін қолданылатын кез келген әдіс қадағалау үшін де қолданылуы мүмкін, және керісінше (бірдей ақпарат қолданылады). TOT және TDOA (TOT-ты ескермейтін) алгоритмдері үшін жүйелер жасалды. Осы мақалада TDOA алгоритмдері бірінші болып қарастырылады, себебі олар бірінші болып жүзеге асырылды. Сол кездегі технологиялық мүмкіндіктерге байланысты, TDOA жүйелері көлік құралының орналасуын екі өлшемде анықтады. TOT жүйелері екінші болып қарастырылады. Олар шамамен 1975 жылдан кейін жүзеге асырылды және көбінесе спутниктерді қамтиды. Технологиялық жетістіктерге байланысты, TOT алгоритмдері көбінесе пайдаланушы/көлік құралының орналасуын үш өлшемде анықтайды. Алайда, тұжырымдамалық тұрғыдан алғанда, TDOA немесе TOT алгоритмдері қатысатын өлшемдер санына байланысты емес.

Көп жақтылық анықтамасы

GPS және басқа да жаһандық навигациялық спутниктік жүйелердің (GNSS) пайда болуына дейін псевдо-диапазонды көпжақты жүйелер көбінесе TDOA жүйелері ретінде (синоним) анықталды, яғни TDOA өлшемдерін жасайтын немесе өлшенген TOA жиынтығын өңдеудің алғашқы қадамы ретінде TDOA құрайтын жүйелер. Дегенмен, GNSS-тің (TOT-ты анықтауы тиіс) енгізілуі салдарынан екі мәселе туындады: (а) GNSS қандай жүйе түріне жатады (псевдо-диапазонды көпжақтылық, нақты диапазонды көпжақтылық немесе басқа жүйе түрі)? (b) Псевдо-диапазонды көпжақты жүйенің ерекшеліктері қандай? (ТОТ-ты анықтайтын көпжақты бақылау жүйелері енгізілмеген, бірақ олар талданды. Қабылданған сигналдың уақыт айырмасын тіпті осциллограф арқылы көруге болады. Микропроцессордың пайда болуы 1980 жылдары оның кеңінен таралуына ықпал етті. Ең танымал TDOA гиперболалық навигациялық жүйесі – Loran C, ол жүйе толығымен тоқтатылғанға дейін әлемдік деңгейде қолданылды. Алысқа орналасқан станцияларды синхрондау үшін атомдық сағаттарды жасау GPS және басқа GNSS жүйелерінің дамуына зор үлес қосты. Жерсеріктік навигациялық жүйелердің, мысалы GPS (Global Positioning System) кеңінен қолданылуы, жерге орнатылған TDOA навигациялық жүйелерін көбінесе қажетсіз етіп, олардың көпшілігі қолданыстан шығарылды. Қолданушы жабдықтарының төмен құнымен жоғары дәлдікке ие болғандықтан, бүгінде көпжақтылық жаңа навигациялық және бақылау жүйелері үшін ең көп таңдалатын түсінік болып табылады, мысалы, ұшып бара жатқан (радарға баламалы) және рулдауда (визуалды бақылауға баламалы) жүрген ұшақтарды бақылау. Көпжақтылық көбінесе азаматтық және әскери салаларда қолданылады: (а) белгілі координаттары мен синхронды "сағаттары" бар бірнеше станцияларда көліктің сигналының TOA-сын өлшеу арқылы көлікті (ұшақ, кеме, автомобиль/жүк көлігі/автобус немесе сымсыз телефон операторы) анықтау (бақылау мақсатында) немесе (b) көліктің белгілі орналасқан бірнеше хабар таратушыларға (станцияларға) қатысты өзін анықтауына мүмкіндік беру, сигналдың TOA-сының өлшемдеріне және синхронды сағаттарға негізделген (навигация мақсатында). Егер станциялар жерге бекітілген және уақытты ұсынбаса, өлшенген TOA-лардың негізінде әдетте бір TDOA кем алынады. Көлік құралдары үшін бақылау немесе навигациялық станциялар (қажетті инфрақұрылымды қоса) көбінесе мемлекеттік органдармен қамтамасыз етіледі. Алайда, жеке қаржыландырылатын ұйымдар да станциялар/жүйелерді жеткізушілер болды (және болып табылады), мысалы, сымсыз телефон операторлары. Көпжақтылық ғылыми және әскери қоғамдастықтар тарапынан да ынтымақтастықсыз бақылау үшін қолданылады.

Prior to deployment of GPS and other global navigation satellite systems (GNSSs), pseudo range multilateration systems were often defined as (synonymous with) TDOA systems i. e., systems that measured TDOAs or formed TDOAs as the first step in processing a set of measured TOAs. However, as result of deployment of GNSSs (which must determine TOT), two issues arose: (a) What system type are GNSSs (pseudo range multilateration, true range multilateration, or another system type)? (b) What are the defining characteristic(s) of a pseudo range multilateration system? (There are no deployed multilateration surveillance systems that determine TOT, but they have been analyzed. The difference in received signal timing can even be measured visibly using an oscilloscope. The introduction of the microprocessor greatly simplified operation, increasing popularity during the 1980s. The most popular TDOA hyperbolic navigation system was Loran C, which was used around the world until the system was largely shut down. The development of atomic clocks for synchronizing widely separated stations was instrumental in the development of the GPS and other GNSSs. The widespread use of satellite navigation systems like the Global Positioning System (GPS) have made Earth fixed TDOA navigation systems largely redundant, and most have been decommissioned. Owing to its high accuracy at low cost of user equipage, today multilateration is the concept most often selected for new navigation and surveillance systems—e. g., surveillance of flying (alternative to radar) and taxiing (alternative to visual) aircraft. Multilateration is commonly used in civil and military applications to either (a) locate a vehicle (aircraft, ship, car/truck/bus or wireless phone carrier) by measuring the TOAs of a signal from the vehicle at multiple stations having known coordinates and synchronized "clocks" (surveillance application) or (b) enable the vehicle to locate itself relative to multiple transmitters (stations) at known locations and having synchronized clocks based on measurements of signal TOAs (navigation application). When the stations are fixed to the earth and do not provide time, the measured TOAs are almost always used to form one fewer TDOAs. For vehicles, surveillance or navigation stations (including required associated infrastructure) are often provided by government agencies. However, privately funded entities have also been (and are) station/system providers e. g., wireless phone providers. Multilateration is also used by the scientific and military communities for non cooperative surveillance.

Артықшылықтары мен кемшіліктері

Келесі кесте псевдоқашықтықты көпжақтылаудың артықшылықтары мен кемшіліктерін, әсіресе нақты қашықтықты өлшеулерге қатысты көрсетеді. Артықшылықтар Кемшіліктер Пайдаланушы жабдықтарының күрделілігі мен құны төмен. Бақылауға қатысушы пайдаланушыға тек хабар беру құрылғысы қажет. Навигациялық пайдаланушыға негізгі "сағаты" бар қабылдағыш ғана қажет. Дәлдік – Көптеген екі бағытты қашықтық өлшеу жүйелерінде кездесетін "қайта бұру" қателігінен аулақ. Шағын станциялар – Бұрыштарды өлшеуге қажетті үлкен антенналарды пайдаланудан аулақ. Навигация үшін пайдаланушылар саны шексіз (пайдаланушылар тек қабылдайды). Бақылау кооперативтік емес және жасырын болуы мүмкін. Үлкен қашықтықтарда қолданылатын бір бағытты қашықтық өлшеуді пайдаланады (толқындар тек қашықтықтың квадратына пропорционалды әлсірейді). Түрлі толқын таралу құбылыстары қолданылған: электромагниттік (радио), ауа акустикасы, су акустикасы және сейсмикалық. Күрделілік Белгісіз TOT аналитикалық және физикалық күрделілікті тудырады. Станциялардың орналасуы Көліктің орналасуын өлшеу дәлдігімен салыстырылатын дәлдікке қол жеткізу үшін станциялар қызмет көрсету аймағын жақындап қоршауы керек. Белгісіздерді анықтау үшін нақты қашықтыққа негізделген жүйеден кем дегенде бір станция, ал қашықтық пен азимутты өлшейтін жүйеден кем дегенде екі станция қажет. Станцияларды синхрондау (және бақылау үшін станциялар арасындағы байланыс) қажет. Станцияларға жеңіл қол жетімді емес жерлерде қуат пен байланыс қажет болуы мүмкін. Бақылау үшін пайдаланушылар бір-біріне кедергі келтіруі мүмкін (бірнеше пайдаланушылар импульстік хабар таратуды қажет етуі мүмкін). Навигация үшін станциялар бір уақытта тиімді жұмыс істеуі керек, бірақ бір-біріне кедергі келтірмеуі керек. Қызмет тек белгілі бір аймақта ғана ұсынылады. Псевдоқашықтықты пайдаланатын жүйелердің артықшылықтары көбінесе көлік құралына/пайдаланушыға/мақсатына тиесілі. Кемшіліктер жүйе провайдеріне көбінесе жүктеледі.

Жиіліктер мен толқын түрлері

Псевдодиапазонды көпжақты навигациялық жүйелер әртүрлі радиожиіліктер мен толқын формаларын пайдалана отырып жасалған – төмен жиілікті импульстар (мысалы, Loran C); төмен жиілікті үздіксіз синусоидтар (мысалы, Decca); жоғары жиілікті үздіксіз кең жолақты (мысалы, GPS). Псевдоқашықтықты көпжақты бақылау жүйелері көбінесе қолданыстағы импульстік хабар таратушыларды пайдаланады (қолайлы болған жағдайда) – мысалы, Shot Spotter, ASDE X және WAM.

Координаттық шеңбер

Көбінесе координаталар жүйесі толқынның траекториясына сәйкес таңдалады. Сондықтан, екі немесе үш өлшемді декарттық жүйелер ең көп қолданылады, олар тура сызықты (көзден көру сызығы) толқын таралуына негізделген. Дегенмен, полярлық (сондай-ақ дөңгелек/сфералық деп аталатын) жүйелер кейде қисық жер бетіндегі толқын таралу жолдарымен үйлесу үшін қолданылады. Жүйе түрін ескере отырып, бастапқы нүкте мен осьтердің бағытын, мысалы, станциялардың орналасқан жеріне қарай таңдауға болады. Нәтижелерді кез келген қажетті жүйеге орналастыру үшін стандартты координаталық жүйелерді түрлендірулерді қолдануға болады. Мысалы, GPS қабылдағыштары әдетте тікбұрышты координаталарды пайдаланып өз орналасқан жерін анықтайды, содан кейін нәтижені ендік, бойлық және биіктікке түрлендіреді.

ТҚҚА құрамасы

Қабылданған сигналдарды ескере отырып, TDOA жүйелері TOA жұптарының айырмасын құрайды (төмендегі "Қабылданған сигналдардан TDOA немесе TOA есептеу" бөлімін қараңыз). Барлық қабылданған сигналдар кем дегенде бір TDOA жұбының құрамында болуы керек, бірақ әйтпесе қолданылатын айырмалар кездейсоқ болады (TDOA-лардың бірнеше жиынтығының кез келген екеуі инверттік сызықтық түрлендіру арқылы байланыстырылуы мүмкін). Сондықтан, TDOA құрылғанда, қатысты TOA-лардың реті маңызды емес. Кейбір операциялық TDOA жүйелері (мысалы, Loran C) бір станцияны "басты" деп белгілейді және олардың TDOA-ларын басты станцияның TOA-сы мен "қосалқы" станциялардың TOA-ларының айырмасы ретінде құрайды. Егер , онда TDOA комбинациясының мүмкіндіктері бар, олардың әрқайсысы станцияның де-факто басты болуына сәйкес келеді. Егер , онда де-факто бастысы жоқ TDOA жиынтығы болуы мүмкін. Егер , онда де-факто бастысы жоқ TDOA жиынтығы болуы мүмкін.

ТҚҚҚ қағидаты / қадағалау

Егер көлік құралынан импульс шығарылса, ол әдетте кеңістікте орналасқан қабылдағыштарға сәл әртүрлі уақытта жетеді, осылайша әртүрлі TOA (уақыттың келуі) мәндері қабылдағыштардың көлік құралынан әртүрлі қашықтықта болуына байланысты туындайды. Дегенмен, кез келген екі қабылдағыштың белгілі орналасуы үшін эмитерлердің орналасуларының жиынтығы бірдей уақыт айырмашылығын (TDOA) береді. Екі қабылдағыш орны және белгілі TDOA болғанда, эмитердің мүмкін орналасулары екі жақты гиперболоидтың жартысын құрайды. Түрлендіріп айтқанда, белгілі орналасқан екі қабылдағышпен эмитерді бір гиперболоидтың бетіне орналастыруға болады (1-суретті қараңыз). Қабылдағыштар импульстің қандай уақытта жіберілгенін білуінің қажеті жоқ, тек уақыт айырмашылығын білу жеткілікті. Алайда, екі өлшенген TOA-дан пайдалы TDOA алу үшін қабылдағыштардың сағаттары бір-бірімен синхрондалған болуы керек. Енді үшінші қабылдағышты, үшінші орында орналасқан және синхрондалған сағаты бар құрылғыны қарастырайық. Бұл үшінші тәуелсіз TOA өлшеуін және екінші TDOA-ны қамтамасыз етеді (үшінші TDOA да бар, бірақ ол алғашқы екі TDOA-ға тәуелді және қосымша ақпарат бермейді). Эмиттер екі қиылысатын гиперболоидпен анықталатын қисық бойында орналасқан. Төртінші қабылдағыш тағы бір тәуелсіз TOA және TDOA үшін қажет. Бұл қосымша гиперболоидты береді, ал қисық сызықтың осы гиперболоидпен қиылысуы бір немесе екі шешімді ұсынады, эмитер сол екі шешімнің бірінде орналасады. Төрт синхрондалған қабылдағышпен 3 тәуелсіз TDOA болады, ал үш өлшемді кеңістіктегі нүктені анықтау үшін үш тәуелсіз параметр қажет. (Көптеген шоқжұлдыздар үшін үш тәуелсіз TDOA 3D кеңістікте әлі де екі нүктені береді). Қосымша қабылдағыштарды қосу арқылы дәлдікті арттыруға болады. (Атап айтқанда, GPS және басқа GNSS жүйелері үшін атмосфера сигналдың таралу уақытына әсер етеді, ал көбірек спутниктер дәлірек орналасуды қамтамасыз етеді). Белгілі бір шектен астам спутниктер/TOA саны болғанда, қателерді азайту үшін ең кіші квадраттар әдісін қолдануға болады. Ұзақ уақыт аралығында орташа мән есептеу де дәлдікті жақсартады. Қабылдағыштардың орналасуын орналастыру қатесін азайтатын конфигурацияда орналастырса, дәлдік артады. Эмиттер көпжақты бақылау процесіне қатысуға немесе қатыспауға құқылы. Осылайша, көпжақты бақылау әскери және ғылыми мақсаттар үшін, әрі ынтымақтасатын (мысалы, азаматтық көліктердегідей), әрі ынтымақтаспайтын "пайдаланушылармен" қолданылады.

If a pulse is emitted from a vehicle, it will generally arrive at slightly different times at spatially separated receiver sites, the different TOAs being due to the different distances of each receiver from the vehicle. However, for given locations of any two receivers, a set of emitter locations would give the same time difference (TDOA). Given two receiver locations and a known TDOA, the locus of possible emitter locations is one half of a two sheeted hyperboloid. In simple terms, with two receivers at known locations, an emitter can be located onto one hyperboloid (see Figure 1). Note that the receivers do not need to know the absolute time at which the pulse was transmitted only the time difference is needed. However, to form a useful TDOA from two measured TOAs, the receiver clocks must be synchronized with each other. Consider now a third receiver at a third location which also has a synchronized clock. This would provide a third independent TOA measurement and a second TDOA (there is a third TDOA, but this is dependent on the first two TDOAs and does not provide additional information). The emitter is located on the curve determined by the two intersecting hyperboloids. A fourth receiver is needed for another independent TOA and TDOA. This will give an additional hyperboloid, the intersection of the curve with this hyperboloid gives one or two solutions, the emitter is then located at one of the two solutions. With four synchronized receivers there are 3 independent TDOAs, and three independent parameters are needed for a point in three dimensional space. (And for most constellations, three independent TDOAs will still give two points in 3D space). With additional receivers enhanced accuracy can be obtained. (Specifically, for GPS and other GNSSs, the atmosphere does influence the traveling time of the signal and more satellites does give a more accurate location). For an over determined constellation (more than 4 satellites/TOAs) a least squares method can be used for 'reducing' the errors. Averaging over longer times can also improve accuracy. The accuracy also improves if the receivers are placed in a configuration that minimizes the error of the estimate of the position. The emitter may, or may not, cooperate in the multilateration surveillance process. Thus, multilateration surveillance is used with non cooperating "users" for military and scientific purposes as well as with cooperating users (e. g., in civil transportation).

TDOA принципі / навигация

Көпжақтылық, сондай-ақ белгілі орындарда (станцияларда) синхронды бергіштерден шығатын сигналдарды өлшеу арқылы, өзін-өзі орналастыру үшін бір қабылдағышпен де қолданылуы мүмкін. Екі өлшемді навигация үшін кем дегенде үш эмитер қажет (мысалы, Жер бетінде); үш өлшемді навигация үшін кем дегенде төрт эмитер қажет. Шын жүйелерде олай болмаса да, түсіндіру мақсатында, эмитерлерді әрқайсысы тар импульстарды (идеалда, қысқа импульстарды) дәл бір уақытта бөлек жиіліктерде (кедергіден аулақ болу үшін) тарату ретінде қарастыруға болады. Бұл жағдайда қабылдағыш импульстардың TOA-сын өлшейді. Нақты TDOA жүйелерінде алынған сигналдар, жалған кідірісті алу үшін кідіріссіз репликамен өзара корреляцияланады, содан кейін басқа станция үшін осы есептеумен салыстырылады және арақашықтық айырмасын анықтау үшін таралу жылдамдығына көбейтіледі. Өзін-өзіңнің кедергісін болдырмау үшін бірнеше әдістер қолданылған. Тарихи мысал ретінде, Екінші дүниежүзілік соғыс кезінде жасалған британдық Decca жүйесін келтіруге болады. Decca үш бергіштің фазалық айырмасын пайдаланды. Кейін Омега бұл принципті дамытты. 1950 жылдардың соңында енгізілген Loran C үшін, барлық бергіштер бірдей жиіліктегі импульстарды әртүрлі, шағын уақыт кідірісімен таратады. GNSS жүйелері әртүрлі псевдо-күрделі кодтармен (GPS, Galileo, қайта қарастырылған GLONASS) модуляцияланған бір тасымалдаушы жиілігінде үздіксіз сигналдарды таратады.

ТОТ принципі

TOT тұжырымдамасы 2-суретте бақылау функциясы үшін және жазықтық сценарийде көрсетілген. Ұшақ А, координаттарында , уақытында импульстік тізбек таратады. Тарату станцияларда , және уақытында және тиісінше қабылданады. Үш өлшенген TOA негізінде өңдеу алгоритмі TOT-ның шамасын есептейді, одан ұшақ пен станциялар арасындағы қашықтықты есептеуге болады. Содан кейін ұшақтың координаттары анықталады. Алгоритм дұрыс TOT-ты есептегенде, үш есептелген қашықтықтың ортақ қиылысу нүктесі болады, ол ұшақтың орналасқан жері (2-суреттегі тұтас сызықтың шеңберлері). Егер есептелген TOT нақты TOT-дан кейін болса, есептелген қашықтықтың ортақ қиылысу нүктесі болмайды (2-суреттегі үзіліс сызықтың шеңберлері). Итеративті TOT алгоритмін табу мүмкін екені анық. Шындығында, GPS итеративті TOT алгоритмдерін пайдаланып жасалды. Жабық түрдегі TOT алгоритмдері кейіннен дамытылды. TOT алгоритмдері GPS-тің дамуымен маңызды болды. ГЛОНАСС және Галилео жүйелері ұқсас тұжырымдамаларды қолданады. Барлық ГНСС үшін қиындық тудыратын негізгі фактор – станциялардың (спутниктердегі хабар таратушылар) Жерге қатысты үздіксіз қозғалуы. Осылайша, өз орнын есептеу үшін пайдаланушының навигациялық қабылдағышы спутниктердің орналасқан жерін ақпараттың қабылдағыш уақыт шкаласында (TOA өлшеу үшін қолданылады) таратылған кезде білуі керек. Мұны іске асыру үшін: 1) спутниктердің траекториялары және спутниктердің уақыт шкалаларындағы TOT хабарламаларға қосылады; 2) пайдаланушы қабылдағыштары олардың TOT және спутниктік TOT арасындағы айырманы табады (бұл сағаттың қатесі немесе смещениесі деп аталады). GPS спутниктік сағаттары UTC-мен (бірнеше секундтық жарияланған қателікпен), сондай-ақ бір-бірімен синхрондалған. Бұл GPS қабылдағыштарына өз орналасқан жерлерінен басқа UTC уақытын беруге мүмкіндік береді.

Жіберу уақыты (пайдаланушының сағаты ауыстырылды немесе ауытқуы)

ГНСС-тен бұрын TOT-ты (қабылдағышқа белгілі) немесе оның навигациялық контексттегі баламасын – қабылдаушы мен таратушы сағаттарының арасындағы айырманы анықтаудың маңызы аз болды. Сонымен қатар, бұл жүйелер әзірленген кезде есептеу ресурстары өте шектеулі болды. Сәйкесінше, сол жүйелерде (мысалы, Loran C, Omega, Decca) қабылдағыштар TOT-ты маңызсыз параметр ретінде қарастырып, TDOA айырмашылықтарын құру арқылы оны жойды (сондықтан олар TDOA немесе қашықтық айырмашылықтары жүйелері деп аталды). Бұл алгоритмдерді жеңілдетті. Егер TOT (қабылдаушы уақыты бойынша) қажет болса да (мысалы, көліктің жылдамдығын есептеу үшін), оны бір TOA, тиісті стансаның орналасуы және есептелген көліктің орнынан табуға болар еді. GPS-тің пайда болуымен және одан кейін басқа спутниктік навигациялық жүйелермен: 1) пайдаланушыға белгілі TOT қабылдағышқа қажетті және пайдалы ақпаратты ұсынады; және 2) есептеу қуаты едәуір артты. GPS спутниктік сағаттары бір-бірімен ғана емес, сонымен қатар әмбебап координацияланған уақытпен (UTC) (жарияланған айырмамен) синхрондалған және олардың орналасулары UTC-ге қатысты белгілі. Осылайша, спутниктік навигация үшін қолданылатын алгоритмдер қабылдаушының орнын және оның сағат айырмасын (TOT-қа тең) бір мезгілде шешеді. Қабылдаушы сағаты одан кейін оның TOT спутниктік TOT-мен сәйкес келеді (бұл GPS хабарламасынан белгілі). Сағат айырмасын анықтау арқылы GNSS қабылдағыштары уақыт және орналасу туралы ақпараттың көзі болып табылады. TOT-ты есептеу GNSS және бұрынғы TDOA көпжақты жүйелері арасындағы практикалық айырмашылық, бірақ бұл түбірлі айырмашылық емес. Бірінші реттік пайдаланушының орнын бағалау қателері бірдей. Bancroft алгоритмі, көптеген басқалары сияқты, мәселені квадраттық алгебралық теңдеуді шешуге дейін азайтады; оның шешімі қабылдаушының үш декартық координатасын және жалпы TOT сигналын береді. Кейіннен басқа да ұқсас шешімдер әзірленді. Айта кетерлігі, барлық жабық формадағы шешімдер GPS бағдарламасы басталғаннан кейін он жыл немесе одан да көп уақыт өткен соң итеративті әдістерді қолдану арқылы табылды. Жабық формадағы шешімдер көбінесе квадрат түбір операциясының жергілікті сызықтықтан арылу үшін қашықтықты немесе псевдо диапазонды квадратуралауды қамтиды. Алайда, бұл квадратуралау шу статистикасын өзгертеді және оңтайлы емес шешімдерге әкелуі мүмкін. Әдетте екі қадамдық жеңілдету қолданылады: біріншіден, сфералық шектеулерді (квадрат қашықтық) ескермей, сызықтық ең кіші квадраттар мәселесін шешу, содан кейін шектеумен қиылысуды табу. Бұл тәсіл шудың болуымен жұмыс істеу қабілетін төмендетуі мүмкін. Одан әрі, "шектеулі ең кіші квадраттар" мәселесін тікелей шешуді, сонымен қатар шудың өзгертілген статистикасын қарастыруды қамтиды. Бұл әдіс жабық формадағы шешімді шығармайды және көбінесе итеративті тәсілдерді қажет етеді, бірақ ол маңызды артықшылықтар ұсынады. Жергілікті сызықтықтан айналып өту арқылы ол бастапқы болжамды қажет етпей-ақ жаһандық минимумға конвергенцияны жеңілдетеді. Сонымен қатар, ол жергілікті минимумдарды сирек кездестіреді және шулы ортада жоғары дәлдікті көрсетеді. TDOA жүйелері үшін ең кіші квадраттар шешімін бастапқыда Хуан және авторлар ұсынған, ал кейінгі зерттеушілер оны одан әрі зерттеді. TOT жүйелері үшін ұқсас әдістемелер енгізілді, сонымен қатар қосымша теңдеуді және белгісіз сағат айырмасын қосу арқылы мәселені TDOA-дан TOT-ға қалай аудару керектігін көрсетті. TOT шешімі TDOA шешімінен артық, себебі соңғысы эталондық стансаның TOA-сын алып тастаудан туындаған шудың бояуына бейім. Гаусс емес шу және ауытқу өлшемдерімен ластануды қамтитын сценарийлерде ең аз квадраттарға қарағанда жоғары өнімділікті көрсететін "шектеулі ең аз абсолютті ауытқулар" сияқты берік нұсқалар да талқыланды. Белгілі биіктігі бар ұшақтың орнын анықтау үшін 3 TOA өлшемін пайдалану төртінші (төртінші дәрежелі) полиномды шешуді қажет етеді. Көпжақты жүйелер және сфералық арақашықтықты өлшеуді қолданатын зерттеулер (мысалы, Loran C, Decca, Omega) итеративті әдістерге немесе сфералық тригонометрияға негізделген әр түрлі шешім алгоритмдерін қолданды.

Prior to GNSSs, there was little value to determining the TOT (as known to the receiver) or its equivalent in the navigation context, the offset between the receiver and transmitter clocks. Moreover, when those systems were developed, computing resources were quite limited. Consequently, in those systems (e. g., Loran C, Omega, Decca), receivers treated the TOT as a nuisance parameter and eliminated it by forming TDOA differences (hence were termed TDOA or range difference systems). This simplified solution algorithms. Even if the TOT (in receiver time) was needed (e. g., to calculate vehicle velocity), TOT could be found from one TOA, the location of the associated station, and the computed vehicle location. With the advent of GPS and subsequently other satellite navigation systems: (1) TOT as known to the user receiver provides necessary and useful information; and (2) computing power had increased significantly. GPS satellite clocks are synchronized not only with each other but also with Coordinated Universal Time (UTC) (with a published offset) and their locations are known relative to UTC. Thus, algorithms used for satellite navigation solve for the receiver position and its clock offset (equivalent to TOT) simultaneously. The receiver clock is then adjusted so its TOT matches the satellite TOT (which is known by the GPS message). By finding the clock offset, GNSS receivers are a source of time as well as position information. Computing the TOT is a practical difference between GNSSs and earlier TDOA multilateration systems, but is not a fundamental difference. To first order, the user position estimation errors are identical. Bancroft's algorithm, as do many, reduces the problem to the solution of a quadratic algebraic equation; its solution yields the three Cartesian coordinates of the receiver as well as the common signal TOT. Other, comparable solutions were subsequently developed. Notably, all closed form solutions were found a decade or more after the GPS program was initiated using iterative methods. Closed form solutions often involve squaring the distance or pseudo range to avoid local linearization of a square root operation. However, this squaring alters noise statistics and can lead to suboptimal solutions. Typically, a two step simplification is employed: first, solving a linear least squares problem neglecting spherical constraints (squared distance), and then finding the intersection with the constraint. This approach may suffer performance degradation in the presence of noise. A more refined technique involves directly solving a "constrained least squares" problem, while also addressing modified noise statistics. While this method may not yield a closed form solution and often necessitates iterative approaches, it offers significant advantages. By bypassing local linearization, it facilitates convergence to a global minimum without requiring an initial guess. Additionally, it tends to encounter fewer local minima and demonstrates increased accuracy, particularly in noisy environments. The constrained least squares solution for TDOA systems was apparently initially proposed by Huang et al. and further explored by subsequent researchers. Similar methodologies were introduced for TOT systems also illustrating how to convert a problem from TDOA to TOT by incorporating an additional equation and an unknown clock bias. The TOT solution outperforms the TDOA solution due to the latter's susceptibility to noise coloring, caused by the subtraction of reference station's TOA. Robust version such as the "constrained least absolute deviations" is also discussed and shows superior performance to least squares in scenarios involving non Gaussian noise and contamination from outlier measurements. The solution for the position of an aircraft having a known altitude using 3 TOA measurements requires solving a quartic (fourth order) polynomial. Multilateration systems and studies employing spherical range measurements (e. g., Loran C, Decca, Omega) utilized a variety of solution algorithms based on either iterative methods or spherical trigonometry.

Үш өлшемді Декарт алгоритмдері

Картезиандық координаттар үшін төрт TOA қол жетімді болғанда және TOT қажет болғанда, Bancroft's Wide Area Multilateration (WAM) жүйесі, 3D әуе кемесін бақылау жүйесі, үш немесе одан көп TOA өлшемдерінің және әуе кемесінің биіктігі туралы мәліметтердің үйлесімін пайдаланады.

Екі өлшемді Картезиан алгоритмдері

Екі өлшемді (2D) картезиандық геометрияда пайдаланушының орналасқан жерін табу үшін, 3D геометрия үшін жасалған көптеген әдістердің бірін пайдалануға болады, көбінесе GPS-ке негізделген, мысалы, Банкрофт немесе Краузе әдістерін. Әуежай аумағын бақылау үшін 2D картезиандық алгоритмдердің салыстырмалы талдауы жасалды. Дегенмен, 3D жағдайындағыдай, ең көп қолданылатын алгоритмдер Гаусс-Ньютон ең кіші квадраттар (NLLS) әдісіне негізделген болуы мүмкін, Разиннің шешімін оскуляциялық сфералық Жер моделіне кеңейте отырып. Көлік станциясының қашықтығы (мысалы, жүздеген шақырым немесе одан да көп) және қажетті шешімнің дәлдігі талап еткен жағдайда, Жердің эллипсоидты пішіні ескерілуі тиіс. Бұл Андруер, Винсенти және Соданоның эллипсоидты алгоритмдерімен бірге Гаусс-Ньютон NLLS әдісін қолдану арқылы іске асырылды. Жердің эллипсоидты пішінін ескеретін 2D "сфералық" көпбұрышты навигациялық жүйелердің мысалдары – Loran C және Omega радионавигациялық жүйелері, олардың екеуі де мемлекеттер тобымен басқарылды. Олардың ресейлік баламалары – CHAYKA және Alpha (сәйкесінше) ұқсас принциппен жұмыс істейді деп есептеледі.

Станцияларды қадамдастыру

Көпжақты анықтау үшін кеңістікте бөлінген станциялар – таратушылар (навигация) немесе қабылдағыштар (бақылау) – синхронды "сағаттарға" ие болуы керек. Синхронизацияның екі ерекше талабы бар: (1) жүйелік жабдықтың қызмет ету мерзімі бойында синхронизацияның дәлдігін үнемі сақтау (мысалы, 25 жыл); және (2) бақылау үшін әрбір "көлік құралының" берілісі үшін TOA арасындағы уақыт аралығын дәл өлшеу. Бірінші талап пайдаланушыға көрінбейді, бірақ жүйелік жобалауда маңызды фактор болып табылады. Синхронизацияны сақтау үшін станция сағаттары үнемі синхронизацияланып немесе қайта орнатылуы керек (мысалы, GPS үшін жарты күнде бір рет, ASDE X үшін бірнеше минут сайын). Жүйенің дәлдігі белгілі жерлердегі "пайдаланушылар" арқылы үнемі бақыланады, мысалы, GPS-те бес бақылау орны бар. Станцияларды синхронизациялау үшін бірнеше әдіс қолданылды. Әдетте, әдіс станциялар арасындағы қашықтыққа байланысты таңдалады. Шамамен қашықтық арту ретімен әдістерге мыналар кіреді: Сыммен қосылған сағатсыз станциялар (навигация және бақылау) – Сағатсыз станциялар бірыңғай жүйелік сағаты бар орталық орналасқан жерге сым арқылы қосылады. Сымдардың ұзындығы әдетте бірдей, бірақ бұл барлық жағдайларда мүмкін болмауы мүмкін. Бұл әдіс артиллериялық оқтың орнын анықтау үшін қолданылды (станциялар микрофондар болып табылады). Радиобайланыс арқылы қосылған сағатсыз станциялар (навигация және бақылау) – Сағатсыз станциялар радиобайланыс немесе микротолқынды байланыс арқылы бірыңғай жүйелік сағаты бар орталық орналасқан жерге қосылады. Байланыс кешігуі теңестіріледі. Бұл әдіс кейбір кең аумақты көпжақты жүйелерде (WAM) қолданылады. Сынақ нысаны (бақылау) – Сынақ нысаны барлық қабылдағыштарға көрінетін белгілі, тұрақты жерге орнатылады. Сынақ нысаны әдеттегі пайдаланушы сияқты беріліс жасайды, ал оның орны TOA бойынша есептеледі. Оның белгілі орны қабылдағыш сағаттарын реттеу үшін қолданылады. ASDE X осы әдісті қолданады. Белгілі бергіштің кешігуі (навигация) – Бір бергіш негізгі деп белгіленеді; қалғандары екіншілік болып табылады. Негізгі бергіш бірінші болып беріліс жасайды. Әрбір екіншілік бергіш негізгі бергіштен беріліс алғаннан кейін белгілі бір (қысқа) уақыттан кейін беріліс жасайды. Loran C бастапқыда осы әдісті қолданды. Үнемі таратылатын фазалық ақпарат (навигация) – Фазалық ақпарат әртүрлі жиіліктерде үздіксіз таратылады. Decca жүйесінде қолданылады. Импульстік фазалық ақпаратты тарату (навигация) – Импульстік фазалық ақпарат белгілі кестеге сәйкес бірдей жиілікте таратылады. Omega жүйесінде қолданылды. Спутниктік уақыт беру (навигация және бақылау) – Арнайы жерден алынған уақытты қашықтағы станцияға берудің бірнеше әдісі бар. Ең қарапайымы – станцияларды GPS уақытына синхронизациялау. Кейбір WAM жүйелері осы әдісті қолданады. Атомдық сағаттар (навигация және бақылау) – Әрбір станцияда бір немесе бірнеше синхронизацияланған атомдық сағаттар болады. GNSS жүйелері осы әдісті қолданады, Omega да солай істеді. Loran C оған көшті. Атомдық сағаттардың өзі де қателіктерге ұшырайды, сондықтан бақылау және/немесе түзету жүйесі қажет болуы мүмкін.

Multilateration requires that spatially separated stations – either transmitters (navigation) or receivers (surveillance) – have synchronized 'clocks'. There are two distinct synchronization requirements: (1) maintain synchronization accuracy continuously over the life expectancy of the system equipment involved (e. g., 25 years); and (2) for surveillance, accurately measure the time interval between TOAs for each 'vehicle' transmission. Requirement (1) is transparent to the user, but is an important system design consideration. To maintain synchronization, station clocks must be synchronized or reset regularly (e. g., every half day for GPS, every few minutes for ASDE X). Often the system accuracy is monitored continuously by "users" at known locations e. g., GPS has five monitor sites. Multiple methods have been used for station synchronization. Typically, the method is selected based on the distance between stations. In approximate order of increasing distance, methods have included:
Hard wired clockless stations (navigation and surveillance) – Clockless stations are hard wired to a central location having the single system clock. Wire lengths are generally equal, but that may not be possible in all applications. This method has been used for locating artillery fire (stations are microphones). Radio linked clockless stations (navigation and surveillance) Clockless stations are radio linked or microwave linked to a central location having the single system clock. Link delays are equalized. This method is used by some wide area multilateration (WAM) systems. Test target (surveillance) – A test target is installed at a fixed, known location that's visible to all receivers. The test target transmits as an ordinary user would, and its position is calculated from the TOAs. Its known position is used to adjust the receiver clocks. ASDE X uses this method. Fixed transmitter delays (navigation) – One transmitter is designated the master; the others are secondaries. The master transmits first. Each secondary transmits a fixed (short) time after receiving the master's transmission. Loran C originally used this method. Continuously broadcast phase information (navigation) Phase information is continuously broadcast on different frequencies. Used by Decca. Broadcast pulsed phase information (navigation) Pulsed phase information is broadcast on the same frequency according to a known schedule. Used by Omega. Satellite time transfer (navigation and surveillance) – There are multiple methods for transferring time from a reference site to a remote station via satellite. The simplest is to synchronize the stations to GPS time. Some WAM systems use this method. Atomic clocks (navigation and surveillance) – Each station has one or more synchronized atomic clocks. GNSSs use this method and Omega did. Loran C switched to it. Even atomic clocks drift, and a monitoring and/or correction system may be required.

Жүктілік-бекет геометриясына қатысты дәлдік сезімталдығы

Барлық навигациялық және қадағалау жүйелерінің жұмыс істеуі пайдаланушының станцияларға қатысты орналасуына байланысты болса, көпжақты жүйелер пайдаланушы станциясының геометриясына көбірек сезімтал. Мысал ретінде, екі станциялық бақылау жүйесін қарастырайық, ол теміржол локомотивінің тік участақтағы трек бойымен орналасуын қадағалайды – бір өлшемді жағдай. Локомотив бергішті тасымалдайды және трек бақыланатын учаскеден екі бағытта да тік болып созылады. Жүйе бастапқы нүктесін екі станцияның арасындағы ортасы деп есептейік; сонда бастапқы нүктеде пайда болады. Мұндай жүйе екі станция арасында локомотив болғанда жақсы жұмыс істейді. Қозғалыс кезінде локомотив бір станцияға қарай, екіншісінен бірден алыстайды. Егер локомотив бастапқы нүктеден *d* қашықтықта болса, өлшеу қатесі болмаған жағдайда, TDOA (уақыттың айырмасының келуі) *d/v* тең болады (*v* – белгілі толқын таралу жылдамдығы). Осылайша, (масштабтық коэффициентті ескермейтін болсақ) TDOA-дағы орын ауыстыру мөлшері екі есеге артады. Шынайы қашықтықтар өлшенгенде, өлшеу айырмашылығы сол болар еді. Дегенмен, бұл бір өлшемді псевдо-қашықтық жүйесі екі станция арасында локомотив болмағанда мүлдем жұмыс істемейді. Егер локомотив екі станциядан алыс, екі сигнал беру арасында қозғалса, TDOA өзгермейді. Қателер болмаған жағдайда, екі TOA-дағы (келу уақыты) өзгерістер TDOA-ны құру кезінде толығымен өшіріледі. Ұзарту аймақтарында жүйе локомотивтің нақты орналасуына қарамастан, жақын станцияда екенін көрсетеді. Керісінше, шынайы қашықтықты өлшейтін жүйе кеңейтілген аймақтарда станциялар арасындағы локомотив орналасқандағыдай жұмыс істейді. Бұл бір өлшемді жүйе көпжақты жүйенің қызмет аймағының ең шекті жағдайын көрсетеді. Көп өлшемді (мысалы, 2D немесе 3D) жағдайда, бір өлшемді сценарийдегі өлшеу шекті жағдайлары сирек кездеседі. Станцияларды қоршап тұрған периметрде көлік әдетте кейбір станциялардан ішінара алыстап, басқаларына жақындайды. Бір уақытта бір станцияға тікелей қарай және бір уақытта басқа станциядан тікелей алыстау мүмкіндігі өте төмен; сонымен қатар, бір уақытта барлық станцияларға тікелей қарай немесе олардан алыстау мүмкін емес. Қысқасы, станциялар периметрінің ішінде, TDOA тізбегі көбінесе көлік қозғалысын күшейтеді, бірақ екі есеге арттырмайды – яғни, осы аралықта болған қозғалыс. Керісінше, периметрден тыс жерде, TDOA тізбегі көбінесе көлік қозғалысын әлсіретеді, бірақ толығымен жоймайды. Күшейту немесе әлсірету мөлшері көліктің орналасуына байланысты болады. Жүйенің барлық бағыттар бойынша орташа көрсеткіштері пайдаланушы орналасқан жерге байланысты үздіріссіз өзгереді.

While the performance of all navigation and surveillance systems depends upon the user's location relative to the stations, multilateration systems are more sensitive to the user station geometry than are most systems. To illustrate, consider a hypothetical two station surveillance system that monitors the location of a railroad locomotive along a straight stretch of track—a one dimensional situation The locomotive carries a transmitter and the track is straight in both directions beyond the stretch that's monitored. For convenience, let the system origin be mid way between the stations; then occurs at the origin. Such a system would work well when a locomotive is between the two stations. When in motion, a locomotive moves directly toward one station and directly away from the other. If a locomotive is distance away from the origin, in the absence of measurement errors, the TDOA would be (where is the known wave propagation speed). Thus, (ignoring the scale factor ) the amount of displacement is doubled in the TDOA. If true ranges were measured instead of pseudo ranges, the measurement difference would be identical. However, this one dimensional pseudo range system would not work at all when a locomotive is not between the two stations. In either extension region, if a locomotive moves between two transmissions, necessarily away from both stations, the TDOA would not change. In the absence of errors, the changes in the two TOAs would perfectly cancel in forming the TDOA. In the extension regions, the system would always indicate that a locomotive was at the nearer station, regardless of its actual position. In contrast, a system that measures true ranges would function in the extension regions exactly as it does when the locomotive is between the stations. This one dimensional system provides an extreme example of a multilateration system's service area. In a multi dimensional (i. e., or ) situation, the measurement extremes of a one dimensional scenario rarely occur. When it is within the perimeter enclosing the stations, a vehicle usually moves partially away from some stations and partially toward other stations. It is highly unlikely to move directly toward any one station and simultaneously directly away from another; moreover, it cannot move directly toward or away from all stations at the same time. Simply put, inside the stations' perimeter, consecutive TDOAs will typically amplify but not double vehicle movement which occurred during that interval—i. e., Conversely, outside the perimeter, consecutive TDOAs will typically attenuate but not cancel associated vehicle movement—i. e., The amount of amplification or attenuation will depend upon the vehicle's location. The system's performance, averaged over all directions, varies continuously as a function of user location.

Дәлдікті сұйыту (DOP)

2D немесе 3D көпжақты жүйелерді талдағанда, пайдаланушы станциясының геометриясының позицияны анықтаудың дәлдігіне тигізетін әсерін бағалау үшін дәлдіктің төмендеуі (DOP) әдетте қолданылады. DOP негізгі метрикасы – Символ DOP-тың әртүрлі "түрлері" бар екенін көрсетеді. Таңдау қатысатын кеңістіктік өлшемдердің санына және TOT шешімі үшін қателік метрикаға енгізілгеніне байланысты. Осы бөлшектің алымы мен бөлімінде бірдей қашықтық бірліктері қолданылуы керек, мысалы, метр. DOP – өлшемсіз фактор, әдетте ол 1-ден жоғары, бірақ псевдоқашықтықтың (PR) өлшеу қателігінен тәуелсіз. (Артық станциялар болған жағдайда, 0 < DOP < 1 болуы мүмкін.) Көлденең DOP (HDOP) көбінесе қолданылады (? = H, және XXX = көлденең орналасу), егер қызығушылық көліктің жазықтықтағы орналасуына бағытталған болса. Псевдоқашықтық қателері өлшенген TOA-ға қосылады, Гаусс таралымына ие, нөлдік орташа мәніне және көлік құралының орналасуына немесе станцияға қарамастан бірдей стандартты ауытқуға ие деп есептеледі. Жазықтықтағы ортогональді осьтерді және деп белгілесек, көлденең позицияның қатесі статистикалық тұрғыдан сипатталады. Математикалық тұрғыдан, DOP-тың әр "түрі" – шешімнің мөлшерінің (мысалы, көлденең позиция) стандартты ауытқуының псевдоқашықтық қатесінің стандартты ауытқуына қатысты сезімталдығының ("туындысының") өзгеше түрі болып табылады. (Шамамен айтқанда, DOP шартқа сәйкес келеді.) Яғни, ?DOP – сызықтық ең кіші квадраттар алгоритмі қолданылған деп есептегенде, өлшеу қателеріне байланысты шешімнің мөлшерінің дұрыс мәнінен стандартты ауытқуының өзгеру жылдамдығы. (Бұл кез келген алгоритм үшін ең кіші дисперсия.) Атап айтқанда, HDOP – пайдаланушының көлденең позициясының стандартты ауытқуының сезімталдығы ("туындысы") (яғни оның сезімталдығы) псевдоқашықтық қатесінің стандартты ауытқуына. Үш станция үшін көпжақты жүйенің дәлдігі станцияларды қамтитын үшбұрыштың ішінде өте жақсы, мысалы, 1 < HDOP < 1.5 және сол станцияларды пайдалана отырып, шын арақашықтықты өлшеу үшін HDOP-қа жақын. Алайда, көпжақты жүйенің HDOP станция периметрінен тыс жерлерде тез нашарлайды. 5-суретте үш станция теңқабырлы үшбұрыш құрайтын екі өлшемді көпжақты жүйенің шамамен қызмет көрсету аумағы көрсетілген. Станциялар М–U–V. BLU – базалық бірлік (станциялар арасындағы қашықтық). Ішкі шеңбер көбірек "сақтықпен" жасалған және "салқын стартқа" (көлік құралының бастапқы орны белгісіз) сәйкес келеді. Сыртқы шеңбер көбірек типтік және белгілі бір жерден бастауға сәйкес келеді. Осілер станциялар арасындағы қашықтыққа қатысты нормаланған. 6-суретте осы көпжақты жүйе үшін HDOP контурлары көрсетілген. Ең төменгі HDOP, 1.155, станциялар құраған үшбұрыштың ортасында пайда болады (және шын арақашықтық өлшеу үшін де осы мәнге тең болар еді). HDOP = 1.25-тен бастап көрсетілген контурлар 2 есе өсу қатарымен келеді. Олардың шамамен бірдей арақашықтығы (базалық желілер арасындағы үш V пішіндес аймақтардан тыс) станциялардан қашықтықпен көлденең позиция қателігінің жылдам өсуіне сәйкес келеді. Жүйенің HDOP мінез-құлқы базалық кеңеюлер арасындағы үш V пішіндес аймақтарда сапалық тұрғыдан өзгеше. HDOP базалық кеңеюлер бойында шексіз, ал осы аймақтарда айтарлықтай үлкен. (HDOP станцияларда математикалық түрде анықталмаған; сондықтан бірнеше DOP контурлары станцияда аяқталуы мүмкін.) Базалық кеңеюлер арасында үш станциялық жүйе қолданылмауы тиіс. Станциялардың периметрінен тыс жерлерде көпжақты жүйе екі станцияны байланыстыратын базалық сызықтың ортасына жақын (екі өлшемді жазықтық жағдайы) немесе үш станцияны қамтитын ең жақын жазықтықтың ортасына жақын ғана қолданылуы керек (үш өлшемді жағдай). Сонымен қатар, көпжақты жүйе пайдаланушылардың орналасқан жері үшін ғана қолданылуы тиіс, олар ең жақын базалық сызықтан немесе жазықтықтан орташа базалық сызықтың ұзындығының белгілі бір бөлігін құрайды (мысалы, 25%-дан кем). Мысалы: пайдаланушылардың станция периметріне кіруін қамтамасыз ету үшін Loran C станциялары көбінесе көптеген адамдар "алыс" деп санайтын жерлерге орналастырылған, мысалы, Солтүстік Атлантика аймағындағы кемелер мен ұшақтарға навигациялық қызмет көрсету үшін Фарер аралдарында (Дания), Ян-Майен аралында (Норвегия) және Ангискте (Гренландия) станциялар болды. Жер бетіндегі/жақын жердегі GPS пайдаланушылары әрқашан көрінетін спутниктердің периметрінен тыс болса, пайдаланушы әдетте үш төмен бұрышты спутниктерді қамтитын ең жақын жазықтықтың ортасына жақын және сол жазықтықтан базалық ұзындықтың 5%-10%-ы арасында орналасқан. Қажетті ең аз станциялар саны қол жетімді болғанда (GPS пайдаланушысы үшін көбінесе осылай болады), HDOP жақсарытылуы (азайтылуы) мүмкін. Алайда, жүйенің полигоналды станция периметрінен тыс пайдалану шектеулері сақталады. Әрине, өңдеу жүйесі (мысалы, GPS қабылдағышы) қосымша TOA-ны пайдалана алуы керек. Бүгінде бұл мәселе емес, бірақ бұрын шектеу болған.

When analyzing a 2D or 3D multilateration system, dilution of precision (DOP) is usually employed to quantify the effect of user station geometry on position determination accuracy. The basic DOP metric is

The symbol conveys the notion that there are multiple "flavors" of DOP the choice depends upon the number of spatial dimensions involved and whether the error for the TOT solution is included in the metric. The same distance units must be used in the numerator and denominator of this fraction e. g., meters. ?DOP is a dimensionless factor that is usually greater than one, but is independent of the pseudo range (PR) measurement error. (When redundant stations are involved, it is possible to have 0 < ?DOP < 1.) HDOP is usually employed (? = H, and XXX = horizontal position) when interest is focused on a vehicle position on a plane. Pseudo range errors are assumed to add to the measured TOAs, be Gaussian distributed, have zero mean (average value) and have the same standard deviation regardless of vehicle location or the station involved. Labeling the orthogonal axes in the plane as and , the horizontal position error is characterized statistically as

Mathematically, each DOP "flavor" is a different sensitivity ("derivative") of a solution quantity (e. g., horizontal position) standard deviation with respect to the pseudo range error standard deviation. (Roughly, DOP corresponds to the condition .) That is, ?DOP is the rate of change of the standard deviation of a solution quantity from its correct value due to measurement errors assuming that a linearized least squares algorithm is used. (It is also the smallest variance for any algorithm.) Specifically, HDOP is the sensitivity ("derivative") of the user's horizontal position standard deviation (i. e., its sensitivity) to the pseudo range error standard deviation. For three stations, multilateration accuracy is quite good within almost the entire triangle enclosing the stations—say, 1 < HDOP < 1.5 and is close to the HDOP for true ranging measurements using the same stations. However, a multilateration system's HDOP degrades rapidly for locations outside the station perimeter. Figure 5 illustrates the approximate service area of two dimensional multilateration system having three stations forming an equilateral triangle. The stations are M–U–V. BLU denotes baseline unit (station separation ). The inner circle is more "conservative" and corresponds to a "cold start" (no knowledge of vehicle's initial position). The outer circle is more typical, and corresponds to starting from a known location. The axes are normalized by the separation between stations. Figure 6 shows the HDOP contours for the same multilateration system. The minimum HDOP, 1.155, occurs at the center of the triangle formed by the stations (and would be the same value for true range measurements). Beginning with HDOP = 1.25, the contours shown follow a factor of 2 progression. Their roughly equal spacing (outside of the three V shaped areas between the baseline extensions) is consistent with the rapid growth of the horizontal position error with distance from the stations. The system's HDOP behavior is qualitatively different in the three V shaped areas between the baseline extensions. HDOP is infinite along the baseline extensions, and is significantly larger in these area. (HDOP is mathematically undefined at the stations; hence multiple DOP contours can terminate on a station.) A three station system should not be used between the baseline extensions. For locations outside the stations' perimeter, a multilateration system should typically be used only near the center of the closest baseline connecting two stations (two dimensional planar situation) or near the center of the closest plane containing three stations (three dimensional situation). Additionally, a multilateration system should only be employed for user locations that are a fraction of an average baseline length (e. g., less than 25%) from the closest baseline or plane. For example:
To ensure that users were within the station perimeter, Loran C stations were often placed at locations that many persons would consider "remote", e. g. to provide navigation service to ships and aircraft in the North Atlantic area, there were stations at Faroe Islands (Denmark), Jan Mayen Island (Norway) and Angissq (Greenland). While GPS users on/near the Earth's surface are always outside the perimeter of the visible satellites, a user is typically close to the center of the nearest plane containing three low elevation angle satellites and is between 5% and 10% of a baseline length from that plane. When more than the required minimum number of stations are available (often the case for a GPS user), HDOP can be improved (reduced). However, limitations on use of the system outside the polygonal station perimeter largely remain. Of course, the processing system (e. g., GPS receiver) must be able to utilize the additional TOAs. This is not an issue today, but has been a limitation in the past.