Введение

Метод навигации и наблюдения

Псевдодиапазонная мультилатерация, часто просто мультилатерация (MLAT) в контексте, – это метод определения положения неизвестной точки, например, транспортного средства, на основе измерения времени прибытия (TOA) энергетических волн, распространяющихся между этой точкой и несколькими станциями, расположенными в известных местах. Если волны передаются транспортным средством, MLAT используется для наблюдения; если волны передаются станциями – для навигации (гиперболическая навигация). В любом случае предполагается, что часы станций синхронизированы, а часы транспортного средства – нет. До вычисления решения общее время передачи (TOT) волн неизвестно приемникам, будь то на транспортном средстве (один приемник, навигация) или на станциях (несколько приемников, наблюдение). Следовательно, неизвестны и волновые времена пролета (TOF) – расстояния от транспортного средства до станций, деленные на скорость распространения волны. Каждый псевдодиапазон представляет собой соответствующий TOA, умноженный на скорость распространения волны, с добавлением одной и той же произвольной константы (представляющей неизвестный TOT). В навигационных приложениях транспортное средство часто называют «пользователем», а в приложениях наблюдения – «целью». Для математически точного решения расстояния не должны изменяться в течение периода приема сигналов (между первым и последним прибывшим к приемнику). Таким образом, для навигации точное решение требует неподвижного транспортного средства; однако мультилатерация часто применяется к навигации движущихся транспортных средств, скорость которых значительно меньше скорости распространения волны. Если – количество рассматриваемых физических измерений (то есть искомые координаты транспортного средства), а – количество принятых сигналов (то есть измеренных TOA), то необходимо, чтобы Тогда основной набор из уравнений измерений имеет вид:

TOA (измерения) = TOF (неизвестные переменные, заключенные в выражения) + TOT (одна неизвестная переменная, повторенная раз). Обычно требуется обработка для извлечения TOA или их разностей из принятых сигналов, а также алгоритм для решения этого набора уравнений. Алгоритм либо: (a) определяет числовые значения TOT (для часов приемника) и координат транспортного средства; либо (b) игнорирует TOT и формирует (как минимум) разности времени прибытия (TDOA), которые используются для определения координат транспортного средства. Почти всегда (например, плоскость или поверхность сферы) или (например, реальный физический мир). Системы, формирующие TDOA, также называются гиперболическими системами по причинам, которые будут рассмотрены ниже. Навигационная система мультилатерации предоставляет информацию о положении транспортного средства сущности, находящейся «на» транспортном средстве (например, пилоту воздушного судна или оператору GPS-приемника). Система наблюдения мультилатерации предоставляет информацию о положении транспортного средства сущности, «не находящейся» на транспортном средстве (например, диспетчеру воздушного движения или оператору сотовой связи). В соответствии с принципом взаимности любой метод, который можно использовать для навигации, также можно использовать для наблюдения, и наоборот (задействована одна и та же информация). Разработаны системы как для алгоритмов TOT, так и для TDOA (игнорирующих TOT). В данной статье сначала рассматриваются алгоритмы TDOA, поскольку они были реализованы первыми. В силу доступных в то время технологий системы TDOA часто определяли местоположение транспортного средства в двух измерениях. Системы TOT рассматриваются вторыми. Они были реализованы примерно после 1975 года и обычно включают спутники. Благодаря технологическому прогрессу алгоритмы TOT обычно определяют местоположение пользователя/транспортного средства в трех измерениях. Однако концептуально алгоритмы TDOA или TOT не связаны с количеством задействованных измерений.

Определение многосторонности

До развертывания GPS и других глобальных навигационных спутниковых систем (GNSS) системы многосторонней псевдодальнометрии часто определялись как (синоним) системы TDOA, то есть системы, измеряющие TDOA или формирующие TDOA в качестве первого шага в обработке набора измеренных TOA. Однако, в результате развертывания ГНСС (которые должны определять TOT), возникли два вопроса: (a) К какому типу систем относятся ГНСС (многосторонней псевдодальнометрии, многосторонней истинной дальности или к другому типу систем)? (b) Каковы определяющие характеристики системы многосторонней псевдодальнометрии? (Развернутых систем многостороннего наблюдения, определяющих TOT, не существует, но они были проанализированы. Разницу во времени приема сигнала можно даже визуально измерить с помощью осциллографа. Введение микропроцессора значительно упростило работу, повысив популярность в 1980-х годах. Наиболее популярной гиперболической навигационной системой TDOA была Loran C, которая использовалась по всему миру, пока система не была в значительной степени выведена из эксплуатации. Разработка атомных часов для синхронизации широко разнесенных станций сыграла ключевую роль в разработке GPS и других GNSS. Широкое использование спутниковых навигационных систем, таких как система глобального позиционирования (GPS), сделало стационарные наземные навигационные системы TDOA в значительной степени избыточными, и большинство из них были выведены из эксплуатации. Благодаря высокой точности при низкой стоимости пользовательского оборудования, сегодня многосторонность является концепцией, наиболее часто выбираемой для новых навигационных и систем наблюдения, например, для наблюдения за летательными аппаратами в полете (в качестве альтернативы радиолокации) и рулением (в качестве альтернативы визуальному наблюдению). Многосторонность обычно используется в гражданских и военных приложениях для (a) определения местоположения объекта (самолета, судна, автомобиля/грузовика/автобуса или оператора беспроводной связи) путем измерения TOA сигнала от объекта на нескольких станциях с известными координатами и синхронизированными «часами» (приложение для наблюдения) или (b) обеспечения возможности для объекта определять свое местоположение относительно нескольких передатчиков (станций) в известных местах и с синхронизированными часами на основе измерений TOA сигнала (приложение для навигации). Когда станции закреплены на земле и не предоставляют информацию о времени, измеренные TOA почти всегда используются для формирования на один TDOA меньше. Для объектов станции наблюдения или навигации (включая необходимую сопутствующую инфраструктуру) часто предоставляются государственными учреждениями. Однако частные организации также выступали (и выступают) в качестве поставщиков станций/систем, например, операторы беспроводной связи. Многосторонность также используется научным и военным сообществами для бесконтактного наблюдения.

Преимущества и недостатки

В следующей таблице приведены преимущества и недостатки псевдодальностной мультилатерации, особенно по сравнению с измерениями истинной дальности. Преимущества Недостатки Низкая сложность и стоимость пользовательского оборудования. Для совместного наблюдения пользователю требуется только передатчик. Навигационному пользователю требуется только приемник с базовыми "часами". Точность – Исключает ошибку "разворота", свойственную многим двусторонним системам дальномерения. Компактные станции – Позволяет избежать использования больших антенн, необходимых для измерения углов. Для навигации количество пользователей не ограничено (пользователи только принимают). Возможна скрытая и незамеченная слежка. Используется односторонняя дальность, что эффективно на больших расстояниях (затухание волн пропорционально квадрату дальности). В реализации используются различные явления распространения волн: электромагнитные (радио), воздушная акустика, гидроакустика и сейсмические. Сложность Неизвестное TOT (время передачи сигнала) вносит аналитическую и физическую сложность. Расположение станций Для определения местоположения объекта с точностью, сопоставимой с измерениями, станции должны почти окружать обслуживаемую область. Количество станций Для определения неизвестных требуется как минимум одна станция больше, чем в системе, основанной на истинных дальностях (неизвестных), и как минимум две станции больше, чем в системе, измеряющей дальность и азимут. Требуется синхронизация станций (и, для слежки, межстанционная связь). Станциям может потребоваться электропитание и связь, если они недоступны. При слежке пользователи могут создавать взаимные помехи (множественным пользователям может потребоваться импульсная передача). Для навигации станции должны передавать эффективно одновременно, не создавая взаимных помех. Обслуживание предоставляется только в определенном регионе. Преимущества систем, использующих псевдодальности, в основном приносят пользу транспортному средству/пользователю/цели. Недостатки в основном ложатся на поставщика системы.

Частоты и формы волн

Многосторонние навигационные системы, использующие псевдодальность, были разработаны с применением различных радиочастот и сигналов — низкочастотные импульсы (например, Loran C); низкочастотные непрерывные синусоиды (например, Decca); высокочастотные непрерывные широкополосные сигналы (например, GPS). Системы наблюдения, основанные на псевдодальности, часто используют существующие импульсные передатчики (при их пригодности) — например, Shot Spotter, ASDE X и WAM.

Координаты

Практически всегда система координат выбирается на основе траекторий волн. Таким образом, двумерные или трехмерные декартовы системы координат выбираются наиболее часто, исходя из прямолинейного (линии видимости) распространения волн. Однако, иногда используются полярные (также называемые цилиндрическими/сферическими) системы координат, чтобы соответствовать криволинейным путям распространения поверхностных волн, учитывающим форму Земли. После выбора типа системы координат, можно определить начало координат и ориентацию осей, например, на основе расположения станций. Для представления результатов в любой желаемой системе координат могут использоваться стандартные преобразования между системами координат. Например, GPS-приемники обычно вычисляют свое положение в прямоугольных координатах, а затем преобразуют результат в широту, долготу и высоту.

Формирование TDOA

При получении сигналов системы TDOA формируют разности пар TOA (см. раздел "Расчет TDOA или TOA из полученных сигналов" ниже). Все полученные сигналы должны входить как минимум в одну пару TDOA, но в остальном используемые разности являются произвольными (любые два из множества наборов TDOA могут быть связаны обратимым линейным преобразованием). Таким образом, при формировании TDOA порядок двух участвующих TOA не имеет значения. Некоторые действующие системы TDOA (например, Loran C) назначают одну станцию "ведущей" и формируют свои TDOA как разность между TOA ведущей станции и TOA "второстепенных" станций. Когда *n* = 3, существует 3 возможных комбинации TDOA, каждая из которых соответствует станции, фактически являющейся ведущей. Когда *n* = 4, существует 6 возможных наборов TDOA, у которых нет фактической ведущей станции. Когда *n* = 5, существует 10 возможных наборов TDOA, у которых нет фактической ведущей станции.

Принцип TDOA / наблюдение

Если импульс испускается из транспортного средства, он обычно прибывает в немного разное время в пространственно разделенных точках приема, различие во времени прихода (TOA) обусловлено разными расстояниями от транспортного средства до каждого приемника. Однако, для заданных положений любых двух приемников, набор положений излучателя даст одинаковую разницу во времени (TDOA). При наличии двух положений приемников и известной TDOA, геометрическое место возможных положений излучателя представляет собой половину двухполостного гиперболоида. Проще говоря, при наличии двух приемников в известных положениях, излучатель можно локализовать на одном гиперболоиде (см. Рисунок 1). Следует отметить, что приемникам не требуется знать абсолютное время передачи импульса, достаточно знать только разницу во времени. Однако, для формирования полезной TDOA из двух измеренных TOA, необходимо синхронизировать часы приемников между собой. Теперь рассмотрим третий приемник в третьей точке, также оснащенный синхронизированными часами. Это позволит получить третье независимое измерение TOA и вторую TDOA (существует и третья TDOA, но она зависит от первых двух и не предоставляет дополнительной информации). Излучатель находится на кривой, определяемой пересечением двух гиперболоидов. Для получения еще одного независимого TOA и TDOA требуется четвертый приемник. Это даст дополнительный гиперболоид, пересечение кривой с этим гиперболоидом даст одно или два решения, и излучатель будет расположен в одной из этих точек. При наличии четырех синхронизированных приемников имеется 3 независимые TDOA, а для определения точки в трехмерном пространстве требуется три независимых параметра. (И для большинства группировок три независимые TDOA все равно дадут две точки в 3D пространстве). Использование дополнительных приемников позволяет повысить точность. (В частности, для GPS и других ГНСС атмосфера влияет на время прохождения сигнала, и большее количество спутников обеспечивает более точное определение местоположения). Для избыточной группировки (более 4 спутников/TOA) можно использовать метод наименьших квадратов для "уменьшения" погрешностей. Усреднение данных за более длительный период времени также может повысить точность. Точность также улучшается при размещении приемников в конфигурации, минимизирующей ошибку оценки положения. Излучатель может сотрудничать или не сотрудничать в процессе многосторонней локации. Таким образом, многосторонняя локация используется как с не сотрудничающими "пользователями" в военных и научных целях, так и с сотрудничающими пользователями (например, в гражданском транспорте).

Принцип TDOA / навигация

Мультилатерация также может использоваться одним приемником для определения своего местоположения, путем измерения сигналов, испускаемых синхронизированными передатчиками в известных точках (станциях). Для двухмерной навигации (например, на поверхности Земли) требуется не менее трех излучателей; для трехмерной навигации – не менее четырех. Хотя это не всегда верно для реальных систем, в целях объяснения можно считать, что каждый излучатель передает узкие импульсы (в идеале – мгновенные) одновременно на разных частотах (чтобы избежать помех). В этом случае приемник измеряет время прихода (TOA) импульсов. В реальных системах TDOA принятые сигналы перекрестно коррелируют с незадержкой копией для определения псевдозадержки, затем вычисляют разность с аналогичным расчетом для другой станции и умножают на скорость распространения, чтобы получить разность дальностей. Различные методы были разработаны для предотвращения самоинтерференции. Историческим примером является британская система Decca, разработанная во время Второй мировой войны. Decca использовала разность фаз сигналов от трех передатчиков. Позже система Omega развила этот принцип. Для Loran C, представленной в конце 1950-х годов, все передатчики излучают импульсы на одной и той же частоте с различными, небольшими временными задержками. GNSS непрерывно передают на одной и той же несущей частоте, модулированной различными псевдослучайными кодами (GPS, Galileo, модернизированная GLONASS).

Принцип ТОТ

Концепция TOT иллюстрирована на рисунке 2 для функции наблюдения и плоского сценария. Самолет A, с координатами , передает последовательность импульсов в момент времени . На основе трех измеренных TOA алгоритм обработки вычисляет оценку TOT , из которой можно рассчитать расстояние между самолетом и станциями. Затем определяются координаты самолета. Когда алгоритм вычисляет правильный TOT, три вычисленных расстояния имеют общую точку пересечения, которая является местоположением самолета (круги сплошной линией на рисунке 2). Если вычисленный TOT наступает позже фактического TOT, вычисленные расстояния не имеют общей точки пересечения (круги пунктирной линией на рисунке 2). Очевидно, что можно найти итеративный алгоритм TOT. Фактически, GPS был разработан с использованием итеративных алгоритмов TOT. Алгоритмы TOT в замкнутой форме были разработаны позднее. Алгоритмы TOT приобрели важность с развитием GPS. ГЛОНАСС и Galileo используют аналогичные концепции. Основным осложняющим фактором для всех ГНСС является то, что станции (передатчики на спутниках) непрерывно движутся относительно Земли. Таким образом, для вычисления собственного положения навигационный приемник пользователя должен знать местоположение спутников в момент передачи информации, отсчитываемый по шкале времени приемника (которая используется для измерения TOA). Для этого: (1) траектории спутников и значения TOT в шкале времени спутников включаются в передаваемые сообщения; и (2) пользовательские приемники определяют разницу между своим TOT и значением TOT, передаваемым спутником (называемой погрешностью или смещением часов). Спутниковые часы GPS синхронизированы с UTC (в пределах опубликованной погрешности в несколько секунд), а также между собой. Это позволяет GPS-приемникам предоставлять время UTC в дополнение к своим координатам.

Время передачи (сдвиг или смещение часов пользователя)

До появления ГНСС было мало смысла в определении TOT (как известно приемнику) или его эквивалента в навигационном контексте – смещения между часами приемника и передатчика. Более того, при разработке этих систем вычислительные ресурсы были весьма ограничены. Следовательно, в этих системах (например, Loran C, Omega, Decca) приемники рассматривали TOT как нежелательный параметр и устраняли его, формируя разности TDOA (отсюда они и назывались TDOA или системами разности дальностей). Это упрощало алгоритмы решения. Даже если TOT (во времени приемника) был необходим (например, для расчета скорости транспортного средства), TOT можно было определить по одному TOA, местоположению соответствующей станции и вычисленному местоположению транспортного средства. С появлением GPS и впоследствии других спутниковых навигационных систем: (1) TOT, как известно пользовательскому приемнику, предоставляет необходимую и полезную информацию; и (2) вычислительная мощность значительно возросла. Спутниковые часы GPS синхронизированы не только друг с другом, но и с координированным универсальным временем (UTC) (с опубликованным смещением), а их местоположения известны относительно UTC. Таким образом, алгоритмы, используемые для спутниковой навигации, одновременно решают задачу определения местоположения приемника и его смещения часов (эквивалентного TOT). Затем часы приемника корректируются таким образом, чтобы их TOT соответствовал TOT спутника (который известен из сообщения GPS). Определяя смещение часов, приемники ГНСС предоставляют информацию не только о местоположении, но и о времени. Вычисление TOT является практическим отличием между ГНСС и более ранними системами многосторонней TDOA, но не является фундаментальным. С точки зрения первого приближения, ошибки оценки местоположения пользователя идентичны. Алгоритм Банкрофта, как и многие другие, сводит задачу к решению квадратного алгебраического уравнения; его решение дает три декартовы координаты приемника, а также общий TOT сигнала. Впоследствии были разработаны другие сопоставимые решения. Важно отметить, что все решения в замкнутой форме были найдены через десять или более лет после начала программы GPS с использованием итеративных методов. Решения в замкнутой форме часто включают возведение в квадрат расстояния или псевдодальности, чтобы избежать локальной линеаризации операции извлечения квадратного корня. Однако это возведение в квадрат изменяет статистику шума и может привести к субоптимальным решениям. Обычно используется упрощение в два этапа: сначала решается линейная задача наименьших квадратов, игнорируя сферические ограничения (квадрат расстояния), а затем находится пересечение с этими ограничениями. Этот подход может привести к снижению производительности в условиях шума. Более усовершенствованный метод предполагает непосредственное решение задачи "ограниченных наименьших квадратов", а также учет модифицированной статистики шума. Хотя этот метод может не дать решения в замкнутой форме и часто требует итеративных подходов, он предлагает значительные преимущества. Обходя локальную линеаризацию, он облегчает сходимость к глобальному минимуму без необходимости начального предположения. Кроме того, он реже сталкивается с локальными минимумами и демонстрирует повышенную точность, особенно в шумных условиях. Решение задачи ограниченных наименьших квадратов для систем TDOA, по-видимому, первоначально было предложено Хуангом и др. и далее исследовано другими учеными. Аналогичные методологии были введены и для систем TOT, иллюстрируя, как преобразовать задачу из TDOA в TOT путем включения дополнительного уравнения и неизвестного смещения часов. Решение TOT превосходит решение TDOA из-за восприимчивости последнего к окрашиванию шума, вызванному вычитанием TOA от опорной станции. Также обсуждаются устойчивые варианты, такие как "ограниченные наименьшие абсолютные отклонения", которые показывают превосходную производительность по сравнению с методом наименьших квадратов в сценариях, включающих негауссовский шум и загрязнение выбросами измерений. Для решения задачи определения местоположения воздушного судна с известной высотой, используя 3 измерения TOA, требуется решение полинома четвертого (четвертого порядка). Системы многосторонней локации и исследования, использующие измерения сферической дальности (например, Loran C, Decca, Omega), использовали различные алгоритмы решения, основанные либо на итеративных методах, либо на сферической тригонометрии.

Трехмерные картографические алгоритмы

Для декартовых координат, при наличии четырех TOA и необходимости определения TOT, система Bancroft's Wide Area Multilateration (WAM) – трехмерная система наблюдения за воздушными судами – использует комбинацию трех или более измерений TOA и сообщения о высоте воздушного судна.

Двумерные картографические алгоритмы

Для определения местоположения пользователя в двухмерной (2D) декартовой геометрии можно адаптировать один из множества методов, разработанных для трехмерной (3D) геометрии, часто мотивированных применением GPS, например, методы Банкрофта или Краузе. Было проведено сравнение двухмерных декартовых алгоритмов для наблюдения за поверхностью аэродрома. Однако, как и в трехмерном случае, наиболее часто используемые алгоритмы, вероятно, основаны на методе наименьших квадратов Гаусса-Ньютона (Gauss–Newton NLLS), расширенном решении Разина для модели Земли в виде оскулирующей сферы. Когда этого требует сочетание расстояния до станции транспортного средства (например, сотни миль и более) и необходимой точности решения, необходимо учитывать эллипсоидальную форму Земли. Это было реализовано с использованием метода наименьших квадратов Гаусса-Ньютона в сочетании с эллипсоидными алгоритмами Андоэра, Винсенти и Содано. Примерами двухмерных «сферических» систем многосторонней навигации, учитывающих эллипсоидальную форму Земли, являются радионавигационные системы Loran C и Omega, обе из которых эксплуатировались консорциумами стран. Их российские аналоги, ЧАЙКА и Альфа (соответственно), предположительно работают аналогичным образом.

Синхронизация станций

Многостороннее измерение дальности требует, чтобы пространственно разнесенные станции – либо передатчики (навигация), либо приемники (контроль) – имели синхронизированные "часы". Существует два различных требования к синхронизации: (1) поддержание точности синхронизации непрерывно на протяжении всего срока службы оборудования системы (например, 25 лет); и (2) для контроля – точное измерение интервала времени между моментами прихода (TOA) для каждой передачи "объекта". Требование (1) неявно для пользователя, но является важным аспектом проектирования системы. Для поддержания синхронизации, часы станций должны регулярно синхронизироваться или сбрасываться (например, каждые полдня для GPS, каждые несколько минут для ASDE X). Часто точность системы непрерывно контролируется "пользователями" в известных точках, например, GPS имеет пять мониторинговых станций. Для синхронизации станций используется несколько методов. Как правило, метод выбирается исходя из расстояния между станциями. В приблизительном порядке возрастания расстояния, методы включают: жестко связанные бесчасовые станции (навигация и контроль) – Бесчасовые станции жестко подключены к центральному узлу, имеющему единые системные часы. Длина соединительных линий обычно одинакова, но это может быть невозможно в некоторых приложениях. Этот метод использовался для определения местоположения артиллерийского огня (станции – микрофоны). Радиосвязанные бесчасовые станции (навигация и контроль) – Бесчасовые станции связаны по радио или микроволновому каналу с центральным узлом, имеющим единые системные часы. Задержки в каналах связи компенсируются. Этот метод используется некоторыми системами широкозонного многостороннего измерения дальности (WAM). Эталонный излучатель (контроль) – Эталонный излучатель устанавливается в фиксированной, известной точке, видимой всем приемникам. Эталонный излучатель передает сигнал как обычный пользователь, и его положение вычисляется по TOA. Его известное положение используется для корректировки часов приемников. ASDE X использует этот метод. Фиксированные задержки передатчиков (навигация) – Один передатчик назначается главным, остальные – ведомыми. Главный передатчик начинает первым. Каждый ведомый передатчик начинает через фиксированный (короткий) промежуток времени после получения сигнала от главного передатчика. Loran C первоначально использовал этот метод. Непрерывная передача информации о фазе (навигация) – Информация о фазе непрерывно передается на разных частотах. Используется Decca. Передача импульсной информации о фазе (навигация) – Импульсная информация о фазе передается на той же частоте по известному расписанию. Используется Omega. Передача точного времени по спутниковой связи (навигация и контроль) – Существует несколько методов передачи точного времени с опорной станции на удаленную станцию через спутник. Самый простой – синхронизация станций по времени GPS. Некоторые системы WAM используют этот метод. Атомные часы (навигация и контроль) – Каждая станция оснащена одним или несколькими синхронизированными атомными часами. ГНСС используют этот метод, а также Omega. Loran C перешел на него. Даже атомные часы подвержены отклонениям, поэтому может потребоваться система мониторинга и/или коррекции.

Чувствительность точности к геометрии транспортного средства-станции

В то время как производительность всех навигационных и систем наблюдения зависит от местоположения пользователя относительно станций, системы многосторонней локации более чувствительны к геометрии расположения пользователя и станций, чем большинство систем. Для иллюстрации рассмотрим гипотетическую систему наблюдения, состоящую из двух станций, отслеживающих местоположение железнодорожного локомотива вдоль прямого участка пути – это одномерная ситуация. Локомотив несет передатчик, а путь прямой в обоих направлениях за пределами отслеживаемого участка. Для удобства, пусть начало системы координат находится посередине между станциями; тогда начало координат (0,0) находится в начале отсчета. Такая система будет хорошо работать, когда локомотив находится между двумя станциями. В движении локомотив движется непосредственно к одной станции и непосредственно от другой. Если локомотив находится на расстоянии *d* от начала координат, то при отсутствии ошибок измерений разность времен прибытия (TDOA) составит *d/v* (где *v* – известная скорость распространения волны). Таким образом, (игнорируя масштабный фактор), величина перемещения удваивается в TDOA. Если бы измерялись истинные дальности вместо псевдодальностей, разность измерений была бы идентичной. Однако эта одномерная система псевдодальностей не будет работать вообще, когда локомотив находится за пределами участка между двумя станциями. В любой из этих областей, если локомотив движется между двумя передачами, он неизбежно удаляется от обеих станций, и TDOA не изменится. При отсутствии ошибок, изменения во времени прибытия сигналов от двух станций полностью компенсируют друг друга при формировании TDOA. В этих областях система всегда будет указывать, что локомотив находится на ближайшей станции, независимо от его фактического положения. В отличие от этого, система, измеряющая истинные дальности, будет функционировать в этих областях точно так же, как и когда локомотив находится между станциями. Эта одномерная система представляет собой крайний пример рабочей области системы многосторонней локации. В многомерной (т.е. двумерной или трехмерной) ситуации, крайние значения измерений, характерные для одномерного сценария, встречаются редко. Когда объект находится внутри периметра, очерчиваемого станциями, он обычно частично удаляется от одних станций и частично приближается к другим. Крайне маловероятно, что он будет двигаться непосредственно к одной станции и одновременно непосредственно от другой; более того, он не может двигаться непосредственно к или от всех станций одновременно. Проще говоря, внутри периметра станций последовательные значения TDOA обычно усиливают, но не удваивают перемещение объекта, произошедшее за данный интервал времени. И наоборот, за пределами периметра последовательные значения TDOA обычно ослабляют, но не компенсируют перемещение объекта. Величина усиления или ослабления будет зависеть от местоположения объекта. Производительность системы, усредненная по всем направлениям, непрерывно изменяется в зависимости от местоположения пользователя.

Разбавление точности (DOP)

При анализе 2D или 3D многосторонней системы, разбавление точности (DOP) обычно используется для количественной оценки влияния геометрии расположения пользовательских станций на точность определения позиции. Символ обозначает, что существует несколько "видов" DOP, выбор которых зависит от количества пространственных измерений и от того, включена ли ошибка решения TOT в метрику. В числителе и знаменателе этой дроби необходимо использовать одинаковые единицы измерения расстояния, например, метры. ?DOP – это безразмерный коэффициент, обычно превышающий единицу, но не зависящий от ошибки измерения псевдодальности (PR). (При использовании избыточных станций возможно, что 0 < ?DOP < 1.) HDOP обычно используется (? = H, и XXX = горизонтальное положение), когда основное внимание уделяется положению транспортного средства на плоскости. Предполагается, что ошибки псевдодальности добавляются к измеренным TOA, имеют гауссовское распределение, нулевое среднее значение и одинаковое стандартное отклонение независимо от местоположения транспортного средства или станции. Обозначив ортогональные оси на плоскости как и , статистически ошибка горизонтального положения характеризуется как. Математически, каждый "вид" DOP представляет собой различную чувствительность ("производную") стандартного отклонения определяемой величины (например, горизонтального положения) по отношению к стандартному отклонению ошибки псевдодальности. (Приблизительно, DOP соответствует условию .) То есть, ?DOP – это скорость изменения стандартного отклонения определяемой величины от его истинного значения из-за ошибок измерений, при условии использования алгоритма линейных наименьших квадратов. (Это также наименьшая дисперсия для любого алгоритма.) В частности, HDOP – это чувствительность ("производная") стандартного отклонения горизонтального положения пользователя (т.е. его чувствительность) к стандартному отклонению ошибки псевдодальности. Для трех станций точность многосторонней локации достаточно высока почти во всей области треугольника, образованного станциями – например, 1 < HDOP < 1.5, и близка к HDOP для измерений истинной дальности с использованием тех же станций. Однако HDOP многосторонней системы быстро ухудшается для местоположений за пределами периметра станций. На рисунке 5 показана приблизительная область обслуживания двумерной многосторонней системы с тремя станциями, образующими равносторонний треугольник. Станции обозначены как M–U–V. BLU обозначает базовый интервал (расстояние между станциями). Внутренний круг более "консервативен" и соответствует "холодному старту" (отсутствие информации о начальном положении транспортного средства). Внешний круг более типичен и соответствует старту из известного местоположения. Оси нормализованы по расстоянию между станциями. На рисунке 6 показаны контуры HDOP для той же многосторонней системы. Минимальный HDOP, равный 1.155, достигается в центре треугольника, образованного станциями (и будет таким же для измерений истинной дальности). Начиная с HDOP = 1.25, контуры, показанные на рисунке, следуют прогрессии с коэффициентом 2. Их примерно равное расстояние (за исключением трех V-образных областей между продолжениями базовых линий) соответствует быстрому росту ошибки горизонтального положения с увеличением расстояния от станций. Поведение HDOP системы качественно отличается в трех V-образных областях между продолжениями базовых линий. HDOP становится бесконечным вдоль продолжений базовых линий и значительно возрастает в этих областях. (Математически HDOP не определен на станциях; следовательно, несколько контуров DOP могут заканчиваться на станции.) Не следует использовать систему из трех станций между продолжениями базовых линий. Для местоположений за пределами периметра станций многостороннюю систему обычно следует использовать только вблизи центра ближайшей базовой линии, соединяющей две станции (двухмерная плоская ситуация), или вблизи центра ближайшей плоскости, содержащей три станции (трехмерная ситуация). Кроме того, многостороннюю систему следует использовать только для местоположений пользователей, находящихся на доле средней длины базовой линии (например, менее 25%) от ближайшей базовой линии или плоскости. Например: чтобы обеспечить нахождение пользователей в пределах периметра станций, станции Loran C часто размещались в местах, которые многие сочли бы "удаленными", например, для обеспечения навигационного обслуживания судов и самолетов в районе Северной Атлантики, станции располагались на Фарерских островах (Дания), острове Ян-Майен (Норвегия) и Ангисске (Гренландия). В то время как пользователи GPS на/вблизи поверхности Земли всегда находятся за пределами периметра видимых спутников, пользователь обычно находится близко к центру ближайшей плоскости, содержащей три спутника с низким углом возвышения, и находится на расстоянии от 5% до 10% длины базовой линии от этой плоскости. Если доступно больше минимально необходимого количества станций (что часто бывает для пользователя GPS), HDOP можно улучшить (уменьшить). Однако ограничения на использование системы за пределами многоугольного периметра станций в значительной степени сохраняются. Конечно, система обработки (например, GPS-приемник) должна иметь возможность использовать дополнительные TOA. Это не является проблемой сегодня, но в прошлом было ограничением.