Введение

Аксиома теории множеств

В математике аксиома регулярности (также известная как аксиома основания) является аксиомой теории множеств Зермело — Френкеля, которая утверждает, что каждое непустое множество A содержит элемент, не пересекающийся с A. В логике первого порядка аксиома формулируется следующим образом:

Аксиома регулярности вместе с аксиомой парности влечет, что ни одно множество не является элементом самого себя, и что не существует бесконечной последовательности (an), такой, что ai+1 является элементом ai для всех i. С аксиомой зависимого выбора (которая является ослабленной формой аксиомы выбора) этот результат можно обратить: если таких бесконечных последовательностей не существует, то аксиома регулярности верна. Следовательно, в этом контексте аксиома регулярности эквивалентна утверждению об отсутствии бесконечно убывающих цепочек принадлежности. Аксиома является вкладом ; она была принята в формулировке, более близкой к той, что встречается в современных учебниках, практически все результаты в областях математики, основанных на теории множеств, остаются верными даже без аксиомы регулярности; см. главу 3 . Однако аксиома регулярности упрощает доказательство некоторых свойств ординалов; она позволяет проводить индукцию не только по хорошо упорядоченным множествам, но и по собственным классам, являющимся хорошо обоснованными реляционными структурами, таким как лексикографический порядок на.

Принимая во внимание остальные аксиомы теории множеств Зермело — Френкеля, аксиома регулярности эквивалентна аксиоме индукции. Аксиома индукции обычно используется вместо аксиомы регулярности в интуиционистских теориях (не принимающих закон исключённого третьего), где эти две аксиомы не эквивалентны. Помимо исключения аксиомы регулярности, нестандартные теории множеств действительно постулировали существование множеств, являющихся элементами самих себя.

Никакая множество не является элементом само по себе

Пусть A — множество, и применим аксиому регулярности к {A}, которое является множеством по аксиоме пар. Мы видим, что должен существовать элемент в {A}, не имеющий общих элементов с {A}. Поскольку единственным элементом {A} является A, то A не должен иметь общих элементов с {A}. Следовательно, мы не можем иметь A ∈ A (по определению непересекающихся множеств).

Не существует бесконечной нисходящей последовательности множеств

Предположим, напротив, что существует функция f на натуральных числах, такая что f(n+1) является элементом f(n) для каждого n. Определим S = {f(n): n – натуральное число}, область значений f, которую можно рассматривать как множество, полученное из аксиоматической схемы замещения. Применяя аксиому регулярности к S, пусть B – элемент S, который не пересекается с S. По определению S, B должно быть равно f(k) для некоторого натурального числа k. Однако, нам дано, что f(k) содержит f(k+1), который также является элементом S. Следовательно, f(k+1) принадлежит пересечению f(k) и S. Это противоречит тому факту, что они являются непересекающимися множествами. Поскольку наше предположение привело к противоречию, такой функции f не существует.

Несуществование множества, содержащего себя, можно рассматривать как частный случай, когда последовательность бесконечна и постоянна. Обратите внимание, что этот аргумент применим только к функциям f, которые могут быть представлены как множества, а не как неопределимые классы. Наследственно конечные множества Vω удовлетворяют аксиоме регулярности (и всем остальным аксиомам ZFC, кроме аксиомы бесконечности). Поэтому, если сформировать нетривиальную ультрастепень Vω, она также будет удовлетворять аксиоме регулярности. Полученная модель будет содержать элементы, называемые нестандартными натуральными числами, которые удовлетворяют определению натуральных чисел в этой модели, но фактически не являются натуральными числами. Это "ложные" натуральные числа, которые "больше" любого действительного натурального числа. Эта модель будет содержать бесконечные убывающие последовательности элементов. Например, предположим, что n – нестандартное натуральное число, тогда и так далее. Для любого действительного натурального числа k, это бесконечная убывающая последовательность элементов. Но эта последовательность не определима в модели и, следовательно, не является множеством. Таким образом, доказать какое-либо противоречие с аксиомой регулярности невозможно.

Проще теоретическое определение упорядоченной пары

Аксиома регулярности позволяет определить упорядоченную пару (a,b) как {a,{a,b}; см. упорядоченную пару для подробностей. Это определение устраняет одну пару фигурных скобок из канонического определения Куратовского: (a,b) = {a},{a,b}.

Каждый набор имеет порядковый ранг

Это была фактически первоначальная формулировка аксиомы в аксиоматизации фон Неймана. Предположим, что x – любое множество. Пусть t – транзитивное замыкание {x}. Пусть u – подмножество t, состоящее из неранжированных множеств. Если u пусто, то множество x ранжировано, и мы закончили. В противном случае применим аксиому регулярности к u, чтобы получить элемент w из u, который не пересекается с u. Поскольку w принадлежит u, w неранжировано. По определению транзитивного замыкания, w является подмножеством t. Так как w не пересекается с u, каждый элемент w ранжирован. Применяя аксиомы замены и объединения, объединим ранги элементов w и получим ординальный ранг для w, а именно… Это противоречит выводу о том, что w неранжировано. Следовательно, предположение о том, что u не пусто, должно быть ложным, и x должно иметь ранг.

Для каждых двух наборов, только один может быть элементом другого

Пусть X и Y — множества. Применим аксиому регулярности к множеству {X, Y} (которое существует по аксиоме пар). Мы видим, что должен существовать элемент из {X, Y}, который также не пересекается с ним. Этот элемент должен быть либо X, либо Y. Следовательно, по определению непересекаемости, либо Y не является элементом X, либо X не является элементом Y.

Аксиома зависимого выбора и отсутствия бесконечной нисходящей последовательности множеств предполагает регулярность

Пусть непустое множество S является контрпримером к аксиоме регулярности; то есть, для каждого элемента S его пересечение с S непусто. Мы определяем бинарное отношение R на S как , которое по предположению является полным. Следовательно, по аксиоме зависимого выбора, существует последовательность (an) в S такая, что anRan+1 для всех n из N. Поскольку это бесконечная убывающая цепочка, мы приходим к противоречию, и, следовательно, такого S не существует.

Обычность и остальные аксиомы ZF ((C)

Было показано, что регулярность относительно согласована с остальной частью ZF, согласно работам и , что означает, что если ZF без аксиомы регулярности является согласованной, то ZF (с аксиомой регулярности) также является согласованной. Доказательство в современной нотации можно найти, например, в . Также было показано, что аксиома регулярности независима от остальных аксиом ZF(C), при условии их согласованности. Результат был объявлен Полом Бернейсом в 1941 году, хотя публикация доказательства состоялась лишь в 1954 году. Доказательство опирается на (и послужило стимулом для изучения) модели (или метода) перестановок Ригера-Бернейса, которые впоследствии использовались для доказательств независимости других не-хорошо-обоснованных систем (и).

Регулярность и парадокс Рассела

Наивная теория множеств (аксиоматическая схема неограниченного понимания и аксиома экстенсиональности) противоречива из-за парадокса Рассела. В ранних формализациях теории множеств математики и логики избегали этого противоречия, заменив аксиоматическую схему понимания гораздо более слабой аксиоматической схемой разделения. Однако, один лишь этот шаг приводит к теориям множеств, которые считаются слишком слабыми. Поэтому часть мощности понимания была возвращена посредством других аксиом существования в теории множеств ZF (аксиомы парности, объединения, множества степеней, замены и бесконечности), которые можно рассматривать как частные случаи понимания. Пока эти аксиомы не приводят ни к каким противоречиям. Впоследствии, для исключения моделей с нежелательными свойствами, были добавлены аксиома выбора и аксиома регулярности. Известно, что эти две аксиомы относительно непротиворечивы. В присутствии аксиоматической схемы разделения парадокс Рассела становится доказательством того, что не существует множества всех множеств. Аксиома регулярности вместе с аксиомой парности также запрещают такое универсальное множество. Однако парадокс Рассела предоставляет доказательство того, что не существует "множества всех множеств", используя только аксиоматическую схему разделения, без каких-либо дополнительных аксиом. В частности, ZF без аксиомы регулярности уже запрещает такое универсальное множество. Если теория расширяется путем добавления аксиомы или аксиом, то любые (возможно, нежелательные) следствия исходной теории остаются следствиями расширенной теории. В частности, если ZF без регулярности расширяется добавлением регулярности для получения ZF, то любое противоречие (например, парадокс Рассела), вытекающее из исходной теории, останется верным и в расширенной теории. Существование атомов Куина (множеств, удовлетворяющих уравнению x = {x}, то есть имеющих себя в качестве единственного элемента) согласуется с теорией, полученной путем удаления аксиомы регулярности из ZFC. Различные нефундаментальные теории множеств допускают "безопасные" циклические множества, такие как атомы Куина, не приводя к противоречиям посредством парадокса Рассела.

История

Понятие обоснованности и ранга множества были введены Дмитрием Миримановым (1917) см. и Мириманов называл множество x "регулярным" (фр. "ordinaire"), если любая нисходящая цепь x ∋ x1 ∋ x2 ∋ … конечна. Однако Мириманов не считал свое понятие регулярности (и обоснованности) аксиомой, которую должны соблюдать все множества; в более поздних работах Мириманов также исследовал то, что теперь называется не обоснованными множествами ("extraordinaire" в терминологии Мириманова), и указал, что не обоснованные множества излишни (на стр. 404 в переводе ван Хейеноорта), а в той же публикации фон Нейман дает аксиому (с. 412 в переводе), которая исключает некоторые, но не все, не обоснованные множества. В последующей публикации была представлена эквивалентная, но более сложная версия аксиомы основания классов, см. и: Современная и окончательная форма аксиомы обусловлена .

Регулярность в присутствии ураллелей

Урелементы – это объекты, которые не являются множествами, но могут быть элементами множеств. В теории множеств ZF урелементов нет, но они существуют в некоторых других теориях множеств, таких как ZFA. В этих теориях аксиому регулярности необходимо модифицировать. Утверждение "" следует заменить утверждением, которое не пусто и не является урелементом. Подходящей заменой является , утверждающее, что x непусто.