Кіріспе

Өрістің элементтері, мысалы, нақты сандар, сызықтық алгебра контекстінде.

Скаляр – векторлық кеңістікті анықтау үшін қолданылатын өрістің элементі. Сызықтық алгебрада нақты сандар немесе жалпы өрістің элементтері скалярлар деп аталады және скалярлық көбейту (векторлық кеңістікте анықталған) операциясы арқылы байланысты векторлық кеңістіктегі векторлармен байланыстырылады, онда векторды белгілі бір тәсілмен скалярға көбейту арқылы басқа вектор алуға болады. Жалпы айтқанда, векторлық кеңістік нақты сандардың (мысалы, кешенді сандардың) орнына кез келген өріс арқылы анықталуы мүмкін. Онда осы векторлық кеңістіктің скалярлары байланысты өрістің элементтері болады (мысалы, кешенді сандар). Скалярлық көбейту операциясы – скалярлық көбейтумен шатастырылмауы керек – векторлық кеңістікте анықталуы мүмкін, бұл екі векторды белгілі бір тәсілмен көбейтуге және скаляр алуға мүмкіндік береді. Скалярлық көбейтіндісі бар векторлық кеңістік ішкі көбейтінді кеңістігі деп аталады. Бағыты мен шамасы сияқты бірнеше скалярлармен сипатталатын шама вектор деп аталады. Скаляр термині кейде векторды, матрицаны, тензорды немесе басқа, көбінесе бір компонентке дейін келтірілген "құрама" мәнді білдіру үшін бейресми түрде қолданылады. Мысалы, 1 × n матрицасы мен формальды түрде 1 × 1 матрица болып табылатын n × 1 матрицасының көбейтіндісі көбінесе скаляр деп аталады. Кватернионның нақты бөлігі де оның скалярлық бөлігі деп аталады. Скалярлық матрица термині kI түріндегі матрицаны белгілеу үшін қолданылады, мұнда k – скаляр, ал I – бірлік матрица.

Этимология

Скаляр сөзі латын сөзі scalaris-тен шыққан, ол скаланың (латынша "бағана") сын есімдік түрі, содан ағылшын тіліндегі scale сөзі де осыдан келген. Математикада "скаляр" сөзінің алғаш рет қолданылуы Франсуа Виеттің "Аналитикалық өнерге кіріспе" (In artem analyticem isagoge) (1591) еңбегінде кездеседі:

Табиғатына қарай бір түрден екіншісіне пропорционалды түрде өсетін немесе кемитін шамалар скалярлық шамалар деп аталуы мүмкін. (лат. Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi proportionaliter adscendunt vel descendunt, vocentur Scalares.) Оксфорд ағылшын сөздігіндегі сілтемеге сәйкес, "скаляр" терминінің ағылшын тілінде алғаш рет қолданылуы 1846 жылы В. Р. Гамильтонмен байланысты, ол кватернионның нақты бөлігін атады:

Алгебралық жағынан нақты бөлік, ол қандай мәселеде пайда болса, сол мәселеге қарай, теріс шексізден оң шексізге дейінгі сандар қатарының бір шкаласындағы барлық мәндерді қабылдай алады; сондықтан оны скалярлық бөлік деп атаймыз.

Векторлық кеңістіктердің скалярлары

Векторлық кеңістік – векторлар жиынтығы (қосымша абелдік топ), скалярлар жиынтығы (дала) және скалярлық көбейту операциясы ретінде анықталады, бұл операция скаляр k пен вектор v-ді алып, kv деген жаңа вектор құрайды. Мысалы, координаталық кеңістікте скалярлық көбейту нәтижесінде, ал (сызықтық) функция кеңістігінде kf – функция болып табылады. Скалярлар рационал, алгебралық, нақты және кешенді сандарды қоса, кез келген даладан алынуы мүмкін, сондай-ақ шекті далалардан да алынуы мүмкін.

Вектор компоненттері ретінде скалярлар

Сызықтық алгебраның негізгі теоремасына сәйкес, әрбір векторлық кеңістіктің негізі болады. Осыдан, K өрісіндегі әрбір векторлық кеңістік, K өрісінің элементтерінен құралған координаттары бар сәйкес координаттық векторлық кеңістікке изоморфты. (Мысалы, (a1, a2, ..., an) координаттары, мұнда ai ∈ K және n – қарастырылып отырған векторлық кеңістіктің өлшемі). Атап айтқанда, n өлшемді кез келген нақты векторлық кеңістік, Rn нөл өлшемді нақты кеңістікке изоморфты.

Нормаланған векторлық кеңістіктердегі скалярлар

Векторлық кеңістік V-ге V-дегі әрбір векторға скалярлық ||v||-ге сәйкес келетін норма функциясын қосуға болады. Анықтама бойынша, v векторын скалярлық k-ға көбейту оның нормасын |k| есе көбейтеді. Егер ||v|| векторының ұзындығы ретінде қарастырылса, бұл операцияны v векторының ұзындығын k еселеу деп сипаттауға болады. Нормамен жабдықталған векторлық кеңістік нормаланған векторлық кеңістік (немесе нормаланған сызықтық кеңістік) деп аталады. Норма әдетте V векторлық кеңістігінің скалярлық өрісі K-ның елеуі ретінде анықталады, бұл K-ны таңба ұғымын қолдайтын өрістермен шектейді. Сонымен қатар, егер V-дің өлшемі 2 немесе одан жоғары болса, K квадрат түбірге қатысты жабық болуы керек, сондай-ақ төрт арифметикалық амалға да жабық болуы тиіс; осылайша, рационал сандар Q қолданылмайды, бірақ иррационал сандар өрісі қабылданады. Осы себепті, барлық скалярлық көбейтінді кеңістіктері нормаланған векторлық кеңістіктер болып табылмайды.

Модульдегі скалярлар

Скалярлар жиынының өріс құрауы талабы жеңілдетіліп, олар тек сақинаны құрауы жеткілікті болғанда (мысалы, скалярларды бөлу міндетті емес немесе скалярлар коммутативті болуы қажет емес), пайда болатын көбірек жалпы алгебралық құрылым модуль деп аталады. Бұл жағдайда "скалярлар" күрделі объектілер болуы мүмкін. Мысалы, егер R – сақина болса, Rn көбейту кеңістігінің векторларын R элементтерінен құралған n×n матрицаларын скалярлар ретінде қолдана отырып, модульге айналдыруға болады. Тағы бір мысал – көптеу теориясынан, онда тангенс шоғырының қималары кеңістігі көптеудегі нақты функциялар алгебрасы бойынша модуль құрайды.

Масштабтастыру түрлендіруі

Векторлық кеңістіктер мен модульдердің скалярлық көбейтілуі – масштабтаудың ерекше жағдайы, сызықтық трансформацияның бір түрі.