Введение

Элементы поля, например, действительные числа, в контексте линейной алгебры.

Скаляр – это элемент поля, используемый для определения векторного пространства. В линейной алгебре действительные числа или, в общем случае, элементы поля называются скалярами и связаны с векторами в соответствующем векторном пространстве посредством операции скалярного умножения (определенной в векторном пространстве), в которой вектор может быть умножен на скаляр заданным образом для получения другого вектора. В общем случае векторное пространство может быть определено с использованием любого поля вместо действительных чисел (например, комплексных чисел). Тогда скалярами этого векторного пространства будут элементы соответствующего поля (например, комплексные числа). На векторном пространстве может быть определена операция скалярного произведения – не следует путать с скалярным умножением – позволяющая умножать два вектора заданным образом для получения скаляра. Векторное пространство, снабженное скалярным произведением, называется евклидовым пространством. Величина, описываемая несколькими скалярами, например, имеющая направление и величину, называется вектором. Термин «скаляр» также иногда неформально используется для обозначения вектора, матрицы, тензора или другого, как правило, «составного» значения, которое фактически сводится к одному компоненту. Например, произведение матрицы 1 × n и матрицы n × 1, которое формально является матрицей 1 × 1, часто называют скаляром. Действительная компонента кватерниона также называется его скалярной частью. Термин «скалярная матрица» используется для обозначения матрицы вида kI, где k – скаляр, а I – единичная матрица.

Этимология

Слово «скаляр» происходит от латинского слова scalaris, являющегося прилагательной формой слова scala (латинское слово для «лестницы»), от которого также происходит английское слово scale. Первое зафиксированное употребление слова «скаляр» в математике встречается в работе Франсуа Виета «Аналитическое искусство» (In artem analyticem isagoge) (1591):

Величины, которые пропорционально возрастают или убывают в соответствии со своей природой, переходя от одного вида к другому, могут называться скалярными членами. (лат. Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi proportionaliter adscendunt vel descendunt, vocentur Scalares). Согласно цитате в Оксфордском английском словаре, первое зафиксированное употребление термина «скаляр» в английском языке относится к 1846 году и связано с именем В. Р. Гамильтона, который использовал его для обозначения вещественной части кватерниона:

Алгебраически вещественная часть может принимать, в зависимости от рассматриваемого вопроса, все значения, содержащиеся в одном ряду чисел от отрицательной до положительной бесконечности; мы будем называть ее, следовательно, скалярной частью.

Скаляры векторных пространств

Векторное пространство определяется как множество векторов (аддитивная абелева группа), множество скаляров (поле) и операция скалярного умножения, которая сопоставляет скаляру k и вектору v другой вектор kv. Например, в координатном пространстве скалярное умножение дает. В (линейном) функциональном пространстве kf является функцией. Скаляры могут быть взяты из любого поля, включая рациональные, алгебраические, действительные и комплексные числа, а также конечные поля.

Скалярные элементы как векторные компоненты

Согласно фундаментальной теореме линейной алгебры, каждое векторное пространство имеет базис. Следовательно, каждое векторное пространство над полем K изоморфно соответствующему координатному векторному пространству, в котором каждая координата является элементом поля K (например, координаты (a1, a2, ..., an), где ai ∈ K и n – размерность рассматриваемого векторного пространства). Например, любое вещественное векторное пространство размерности n изоморфно n-мерному вещественному пространству Rn.

Скаляры в нормированных векторных пространствах

В качестве альтернативы, векторное пространство V может быть снабжено функцией нормы, которая сопоставляет каждому вектору v в V скаляр ||v||. По определению, умножение вектора v на скаляр k также умножает его норму на |k|. Если ||v|| интерпретировать как длину вектора v, то эта операция может быть описана как масштабирование длины v на |k|. Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированным векторным пространством (или нормированным линейным пространством). Норма обычно определяется как элемент скалярного поля K пространства V, что ограничивает выбор полями, допускающими понятие знака. Более того, если размерность V равна 2 или более, поле K должно быть замкнуто относительно операции извлечения квадратного корня и четырех арифметических операций; таким образом, рациональные числа Q не подходят, но поле действительных чисел допустимо. По этой причине не каждое пространство с заданным скалярным произведением является нормированным векторным пространством.

Скаляры в модулях

Когда требование, что множество скаляров образует поле, ослабляется таким образом, что достаточно, чтобы они образовывали кольцо (например, деление скаляров не обязано быть определено, или скаляры не обязаны быть коммутативными), то полученная более общая алгебраическая структура называется модулем. В этом случае "скаляры" могут быть сложными объектами. Например, если R — кольцо, то векторы пространства произведений Rn можно рассматривать как модуль, где скалярами выступают n×n матрицы с элементами из R. Другой пример можно найти в теории многообразий, где пространство сечений касательного расслоения образует модуль над алгеброй вещественных функций на многообразии.

Трансформация масштабирования

Скалярное умножение векторных пространств и модулей является частным случаем масштабирования, являющимся разновидностью линейного преобразования.