Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометриялық айналу және аударма осі
Geometric axis of rotation and translation
Бұранда осі (спиральді осі немесе бұрылыс осі) – бір мезгілде айналу осі болып табылатын және дененің аударма қозғалысын жүзеге асыратын сызық. Чейзлдің теоремасы үш өлшемді кеңістіктегі кез келген Евклидтік орын ауыстыруының бұранда осі болатынын көрсетеді, ал орын ауыстыруын осы бұранда осінің бойымен айналу және сырғуға бөлуге болады. Бұранда осін кеңістікте анықтау үшін Плюкер координаталары қолданылады, олар үш өлшемді векторлар жұбынан тұрады. Бірінші вектор осінің бағытын, ал екіншісі оның орналасуын анықтайды. Бірінші вектордың нөлге тең болатын ерекше жағдайда, екінші вектор бағытындағы таза аударма деп түсіндіріледі. Бұранда алгебрасындағы әрбір вектор жұбы бұранда осімен байланысты, бұл бұранда теориясы деп те аталады. Дененің кеңістіктегі қозғалысын орын ауыстырулардың үздіксіз жиынтығы арқылы бейнелеуге болады. Орын ауыстырулардың әрқайсысының бұранда осі болғандықтан, қозғалыс бұранда беті деп аталатын басқарылатын бетпен байланысты. Бұл бет дене қозғалысының мигтік бұранда осьтерімен салыстырылатын аксодадан өзгеше. Мигтік бұранда осі немесе "мигтік спиральді ось" (IHA) – қозғалатын дененің кез келген нүктесінің жылдамдықтарымен туындайтын спиральдік өрістің осі. Егер кеңістіктегі орын ауыстыру жазық орын ауыстыруға маманданса, бұранда осі орын ауыстыру полюсіне айналады, ал мигтік бұранда осі жылдамдық полюсіне айналады немесе мигтік айналу орталығына айналады, оны мигтік орталық деп те атайды. Орталық термині жылдамдық полюсі үшін де қолданылады, ал жазық қозғалысы үшін осы нүктелердің орны центрод деп аталады.
A screw axis (helical axis or twist axis) is a line that is simultaneously the axis of rotation and the line along which translation of a body occurs. Chasles' theorem shows that each Euclidean displacement in three dimensional space has a screw axis, and the displacement can be decomposed into a rotation about and a slide along this screw axis. Plücker coordinates are used to locate a screw axis in space, and consist of a pair of three dimensional vectors. The first vector identifies the direction of the axis, and the second locates its position. The special case when the first vector is zero is interpreted as a pure translation in the direction of the second vector. A screw axis is associated with each pair of vectors in the algebra of screws, also known as screw theory. The spatial movement of a body can be represented by a continuous set of displacements. Because each of these displacements has a screw axis, the movement has an associated ruled surface known as a screw surface. This surface is not the same as the axode, which is traced by the instantaneous screw axes of the movement of a body. The instantaneous screw axis, or 'instantaneous helical axis' (IHA), is the axis of the helicoidal field generated by the velocities of every point in a moving body. When a spatial displacement specializes to a planar displacement, the screw axis becomes the displacement pole, and the instantaneous screw axis becomes the velocity pole, or instantaneous center of rotation, also called an instant center. The term centro is also used for a velocity pole, and the locus of these points for a planar movement is called a centrode.
Тарих
Мишель Часлес 1830 жылы кеңістіктегі орынның жылжуын кеңістіктегі түзу бойымен айналу және орын ауыстыруға бөлуге болатынын дәлелдеген. Жақында Джулио Моццидің 1763 жылғы еңбегі ұқсас нәтижелерді көрсеткені анықталды.
The proof that a spatial displacement can be decomposed into a rotation around, and translation along, a line in space is attributed to Michel Chasles in 1830. Recently the work of Giulio Mozzi has been identified as presenting a similar result in 1763.
Шинаның осьтік симметриясы
Бұрандалы жылжу (сондай-ақ бұрандалы операция немесе айналмалы аударма) – бұл белгілі бір осьтің (бұрандалы ось деп аталады) бойындағы d қашықтыққа аудармамен бірге φ бұрышына айналудың комбинациясы. Оң айналу бағыты әдетте оң қол ережесі бойынша аударма бағытына сәйкес келеді. Яғни, айналу сағат тілі бойынша болса, жылжу көрерменнен алшақтайды. φ = 180° болмаса, бұрандалы жылжуды оның көлеңкесінен ажырату қажет. Айналудан айырмашылығы, оң және сол жақ бұрандалы операциялар әртүрлі топтарды жасайды. Оське айналу мен осы оське перпендикуляр бағыттағы аударманың комбинациясы параллель ось бойынша айналу болып табылады. Дегенмен, ось бойымен нөлден өзгеше аударма векторы бар бұрандалы операцияны осылай қысқартуға болмайды. Сондықтан, кез келген аудармамен біріктірілген айналудың әсері – бұл жалпы мағынада бұрандалы операция, ал ерекше жағдайларда – таза аударма, таза айналу және сәйкестік. Бұл 3D кеңістігіндегі барлық тікелей изометриялар. Кристаллографияда бұрандалы осьтік симметрия – бұл ось маңында айналу және кристаллды өзгеріссіз қалдыратын сол оське параллель аударманың комбинациясы. Егер φ = 360°/n болса, мұндағы n – оң бүтін сан, онда бұрандалы осьтік симметрия аудармалық симметрияны білдіреді, оның аударма векторы бұрандалы жылжудың n еселенгеніне тең. Кеңістік топтары үшін, ось маңында 360°/n бұрышқа айналу, ось бойымен аудармамен біріктіріледі, бұл аудармалық симметрияның қашықтығының n-ге бөлінген еселігіне тең. Бұл еселік әріппен көрсетіледі. Мысалы, 63 – бұл 60° айналу, тор векторының 1/2 бөлігіне аудармамен біріктірілген, яғни, бұл ось маңында 3 есе айналу симметриясы бар екенін көрсетеді. Мүмкіндіктер: 21, 31, 41, 42, 61, 62, 63 және олардың энантиоморфтық түрі – 32, 43, 64, 65. Егер n бұрандалы ось болса және g – n мен m-нің ең үлкен ортақ бөлгіші болса, онда g еселі айналу осі де болады. n/g бұрандалы операция орындалғанда, жылжу m/g-ға тең болады, бұл бүтін сан болғандықтан, 360°/g бұрышқа айналу кезінде тордың эквивалентті нүктесіне жетуге болады. Сондықтан, 4, 6 және 6 – екі есе айналу осін жасайды, ал 6 – үш есе айналу осін жасайды. Дискретті емес бұрандалы осьтің изометрия тобында белгілі бір ось маңында айналу мен ось бойымен пропорционалды аударманың барлық комбинациялары бар (рифлингте пропорционалдық коэффициент бұрылу жылдамдығы деп аталады); әдетте, бұл бірдей ось маңындағы k есе айналу изометрияларымен (k ≥ 1) біріктіріледі; изометриялар астындағы нүктенің бейнесі k есе спираль құрайды; сонымен қатар, тік қиылысатын ось маңында 2 есе айналу болуы мүмкін, демек, мұндай осьтердің k есе спиралі пайда болады.
A screw displacement (also screw operation or rotary translation) is the composition of a rotation by an angle φ about an axis (called the screw axis) with a translation by a distance d along this axis. A positive rotation direction usually means one that corresponds to the translation direction by the right hand rule. This means that if the rotation is clockwise, the displacement is away from the viewer. Except for φ = 180°, we have to distinguish a screw displacement from its mirror image. Unlike for rotations, a righthand and lefthand screw operation generate different groups. The combination of a rotation about an axis and a translation in a direction perpendicular to that axis is a rotation about a parallel axis. However, a screw operation with a nonzero translation vector along the axis cannot be reduced like that. Thus the effect of a rotation combined with any translation is a screw operation in the general sense, with as special cases a pure translation, a pure rotation and the identity. Together these are all the direct isometries in 3D. In crystallography, a screw axis symmetry is a combination of rotation about an axis and a translation parallel to that axis which leaves a crystal unchanged. If φ = 360°/n for some positive integer n, then screw axis symmetry implies translational symmetry with a translation vector which is n times that of the screw displacement. Applicable for space groups is a rotation by 360°/n about an axis, combined with a translation along the axis by a multiple of the distance of the translational symmetry, divided by n. This multiple is indicated by a subscript. So, 63 is a rotation of 60° combined with a translation of 1/2 of the lattice vector, implying that there is also 3 fold rotational symmetry about this axis. The possibilities are 21, 31, 41, 42, 61, 62, and 63, and the enantiomorphous 32, 43, 64, and 65. Considering a screw axis n, if g is the greatest common divisor of n and m, then there is also a g fold rotation axis. When n/g screw operations have been performed, the displacement will be m/g, which since it is a whole number means one has moved to an equivalent point in the lattice, while carrying out a rotation by 360°/g. So 4, 6 and 6 create two fold rotation axes, while 6 creates a three fold axis. A non discrete screw axis isometry group contains all combinations of a rotation about some axis and a proportional translation along the axis (in rifling, the constant of proportionality is called the twist rate); in general this is combined with k fold rotational isometries about the same axis (k ≥ 1); the set of images of a point under the isometries is a k fold helix; in addition there may be a 2 fold rotation about a perpendicularly intersecting axis, and hence a k fold helix of such axes.