Введение

Геометрическая ось вращения и перемещения

Винтовая ось (геликоидальная ось или ось скручивания) — это линия, которая одновременно является осью вращения и линией, вдоль которой происходит перемещение тела. Теорема Чейза показывает, что каждое евклидово смещение в трёхмерном пространстве имеет винтовую ось, и смещение можно разложить на вращение вокруг и скольжение вдоль этой винтовой оси. Координаты Плюккера используются для определения винтовой оси в пространстве и состоят из пары трёхмерных векторов. Первый вектор определяет направление оси, а второй — её положение. Особый случай, когда первый вектор равен нулю, интерпретируется как чистое перемещение в направлении второго вектора. С каждой парой векторов в алгебре винтов, также известной как теория винтов, связана винтовая ось. Пространственное движение тела может быть представлено непрерывным набором смещений. Поскольку каждое из этих смещений имеет винтовую ось, движение имеет связанную с ним развивающая поверхность, известную как винтовая поверхность. Эта поверхность не тождественна аксоде, которая описывается мгновенными винтовыми осями движения тела. Мгновенная винтовая ось (или геликоидальная ось мгновенного вращения) — это ось геликоидального поля, создаваемого скоростями каждой точки в движущемся теле. Когда пространственное смещение специализируется до плоского смещения, винтовая ось становится полюсом смещения, а мгновенная винтовая ось — полюсом скорости, или мгновенным центром вращения, также называемым мгновенным центром. Термин «центро» также используется для обозначения полюса скорости, а геометрическое место этих точек для плоского движения называется центродом.

История

Доказательство того, что пространственное перемещение можно разложить на вращение вокруг и поступательное движение вдоль прямой в пространстве, приписывается Мишелю Шалю в 1830 году. Недавно работы Джулио Моцци было установлено, что они содержат схожий результат, полученный еще в 1763 году.

Симметрия оси винта

Сдвиг винта (также винтовое действие или вращательное перемещение) — это комбинация вращения на угол φ вокруг оси (называемой осью винта) с перемещением на расстояние d вдоль этой оси. Положительное направление вращения обычно соответствует направлению перемещения согласно правилу правой руки. Это означает, что если вращение происходит по часовой стрелке, смещение направлено от наблюдателя. За исключением φ = 180°, необходимо различать сдвиг винта и его зеркальное отражение. В отличие от вращений, правый и левый винтовые действия порождают разные группы. Комбинация вращения вокруг оси и перемещения в направлении, перпендикулярном этой оси, является вращением вокруг параллельной оси. Однако винтовое действие с ненулевым вектором перемещения вдоль оси нельзя свести к такому виду. Таким образом, эффект вращения в сочетании с любым перемещением представляет собой винтовую операцию в общем смысле, с частными случаями чистого перемещения, чистого вращения и тождественного преобразования. Вместе они составляют все прямые изометрии в 3D. В кристаллографии симметрия оси винта — это комбинация вращения вокруг оси и трансляции, параллельной этой оси, которая оставляет кристалл неизменным. Если φ = 360°/n для некоторого положительного целого числа n, то симметрия оси винта подразумевает трансляционную симметрию с трансляционным вектором, который в n раз больше вектора сдвига винта. Для пространственных групп применим поворот на 360°/n вокруг оси, в сочетании с трансляцией вдоль оси, кратной расстоянию трансляционной симметрии, деленному на n. Этот множитель обозначается индексом. Например, 6₃ — это вращение на 60° в сочетании с перемещением на 1/2 вектора решетки, что подразумевает наличие также трехкратной вращательной симметрии вокруг этой оси. Возможны варианты 2₁, 3₁, 4₁, 4₂, 6₁, 6₂, и 6₃, а также энантиоморфные 3₂, 4₃, 6₄ и 6₅. Рассматривая ось винта n, если g — наибольший общий делитель n и m, то существует также ось вращения порядка g. После выполнения n/g винтовых операций смещение составит m/g, что, поскольку является целым числом, означает переход в эквивалентную точку решетки при вращении на 360°/g. Таким образом, 4, 6 и 6 создают двукратные оси вращения, а 6 создает трехкратную ось. Группа изометрий недискретной винтовой оси содержит все комбинации вращения вокруг некоторой оси и пропорционального перемещения вдоль оси (в нарезке ствола оружия константу пропорциональности называют шагом нарезов); в общем случае это сочетается с вращательными изометриями порядка k вокруг той же оси (k ≥ 1); множество изображений точки при изометриях представляет собой спираль порядка k; кроме того, может быть двукратное вращение вокруг перпендикулярно пересекающейся оси, и, следовательно, спираль порядка k таких осей.