Жинақтың ішкі моделі теориясы ZFC және үлкен кардиналдарды зерттейді. Гёдельдің құрылымдық әлем L – бірінші маңызды мысал. Теория, жиын теориясының бөлігі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жинақтар теориясында ішкі модельдер теориясы – ZFC немесе оның кейбір бөлімдерінің немесе күшейтілімдерінің белгілі бір модельдерін зерттеу саласы. Көбінесе бұл модельдер фон Нейман ғаламы V-нің транзитивті жиынтықтары немесе субкластары болып табылады, кейде V-нің кеңейтілген түрі де қарастырылады. Ішкі модельдер теориясы осы модельдердің анықтық, үлкен кардиналдар және сипаттамалық жиынтар теориясымен байланысын зерттейді. Атауына қарамастан, бұл теория модельдер теориясынан гөрі жинақтар теориясының бір саласы ретінде қарастырылады.
In set theory, inner model theory is the study of certain models of ZFC or some fragment or strengthening thereof. Ordinarily these models are transitive subsets or subclasses of the von Neumann universe V, or sometimes of a generic extension of V. Inner model theory studies the relationships of these models to determinacy, large cardinals, and descriptive set theory. Despite the name, it is considered more a branch of set theory than of model theory.
Мысалдар
Барлық жиынтықтар класы – барлық басқа ішкі модельдерді қамтитын ішкі модель. Ішкі модельдің алғашқы маңызды мысалы Курт Гёдель жасаған L құрастырылатын әлем болды. ZF-тің кез келген M моделі құрастырылу аксиомасын қанағаттандыратын LM ішкі моделіне ие, және бұл M-нің барлық ординалдарын қамтитын ең кішкентай ішкі модель болады. Бастапқы модельдің қасиеттеріне қарамастан, LM жалпыланған континуум гипотезасын және алмаз принципі ◊ сияқты комбинаторлық аксиомаларды қанағаттандырады. HOD, мұрагерлік түрде ординалмен анықталатын жиынтар класы, ZFC-ге сәйкес келетін ішкі модель құрайды. Ординалдардың санаулы тізбегі бойынша мұрагерлік анықталатын жиынтар Соловай теоремасында қолданылатын ішкі модель құрайды. L(R), барлық нақты сандар мен барлық ординалдарды қамтитын ең кішкентай ішкі модель. L[U], нормальді, негізгі емес, толық ультрафильтр U-ға қатысты құрастырылған класс (нөлдік пышаққа қараңыз).
The class of all sets is an inner model containing all other inner models. The first non trivial example of an inner model was the constructible universe L developed by Kurt Gödel. Every model M of ZF has an inner model LM satisfying the axiom of constructibility, and this will be the smallest inner model of M containing all the ordinals of M. Regardless of the properties of the original model, LM will satisfy the generalized continuum hypothesis and combinatorial axioms such as the diamond principle ◊. HOD, the class of sets that are hereditarily ordinal definable, form an inner model, which satisfies ZFC. The sets that are hereditarily definable over a countable sequence of ordinals form an inner model, used in Solovay's theorem. L(R), the smallest inner model containing all real numbers and all ordinals. L[U], the class constructed relative to a normal, non principal, complete ultrafilter U over an ordinal (see zero dagger).
Тұтастықтың нәтижелері
Ішкі модельдердің маңызды қолданылуларының бірі – сәйкестік туралы нәтижелерді дәлелдеу. Егер A аксиомасының кез келген моделі B аксиомасын қанағаттандыратын ішкі модельге ие екені көрсетілсе, онда A сәйкес болса, B да сәйкес болуы керек. Бұл талдау, әсіресе A аксиомасы ZFC-ден тәуелсіз болғанда, мысалы, үлкен кардинал аксиомасы болғанда, тиімдірек. Бұл аксиомаларды сәйкестік күші бойынша бағалауға қолданылатын құралдардың бірі.
One important use of inner models is the proof of consistency results. If it can be shown that every model of an axiom A has an inner model satisfying axiom B, then if A is consistent, B must also be consistent. This analysis is most useful when A is an axiom independent of ZFC, for example a large cardinal axiom; it is one of the tools used to rank axioms by consistency strength.