Введение
В теории множеств теория внутренних моделей изучает определенные модели ZFC или их фрагменты и расширения. Как правило, эти модели являются транзитивными подмножествами или подклассами вселенной фон Неймана V, или иногда расширениями V, полученными с использованием принуждения. Теория внутренних моделей исследует связи между этими моделями и детерминированностью, большими кардиналами и описательной теорией множеств. Несмотря на название, она рассматривается скорее как раздел теории множеств, чем теории моделей.
Примеры
Класс всех множеств является внутренней моделью, содержащей все остальные внутренние модели. Первым нетривиальным примером внутренней модели была конструктивная вселенная L, разработанная Куртом Гёделем. Каждая модель M теории ZF имеет внутреннюю модель LM, удовлетворяющую аксиоме конструктивности, и это будет наименьшая внутренняя модель M, содержащая все ординалы M. Независимо от свойств исходной модели, LM будет удовлетворять обобщённой гипотезе континуума и комбинаторные аксиомы, такие как принцип алмаза ◊. HOD, класс множеств, которые являются наследственно ординально определимыми, образует внутреннюю модель, удовлетворяющую ZFC. Множества, которые наследственно определимы относительно счётной последовательности ординалов, образуют внутреннюю модель, используемую в теореме Соловэя. L(R), наименьшая внутренняя модель, содержащая все действительные числа и все ординалы. L[U], класс, построенный относительно нормального, не главного, полного ультрафильтра U над ординалом (см. нулевой даггер).
Результаты согласованности
Одним из важных применений внутренних моделей является доказательство результатов о непротиворечивости. Если удается показать, что каждая модель аксиомы A имеет внутреннюю модель, удовлетворяющую аксиоме B, то, если A непротиворечива, B также должна быть непротиворечива. Этот анализ наиболее полезен, когда A — аксиома, независимая от ZFC, например, аксиома о больших кардиналах; это один из инструментов, используемых для упорядочивания аксиом по силе непротиворечивости.