Теория Калуцы — Клейна: Объединение гравитации и электромагнетизма.

Введение

Теория единого поля гравитации и электромагнетизма

В физике, теория Калуцы — Клейна (теория КК) — классическая теория единого поля гравитации и электромагнетизма, построенная вокруг идеи пятого измерения, выходящего за рамки обычных 4D пространства и времени, и считается важным предшественником теории струн. В рамках этой теории вакуум имеет обычные 3 измерения пространства и одно измерение времени, но с дополнительным микроскопическим пространственным измерением в форме крошечного круга. Гуннар Нордстрём ранее выдвинул схожую идею. Однако в этом случае к электромагнитному векторному потенциалу был добавлен пятый компонент, представляющий ньютоновский гравитационный потенциал, и уравнения Максвелла были записаны в пяти измерениях. Пятимерная (5D) теория развивалась в три этапа. Первоначальная гипотеза была предложена Теодором Калуцей, который в 1919 году отправил свои результаты Эйнштейну и опубликовал их в 1921 году. Калуца представил чисто классическое расширение общей теории относительности до 5D, с метрическим тензором, содержащим 15 компонентов. Десять компонентов отождествляются с 4D пространственно-временной метрикой, четыре компонента — с электромагнитным векторным потенциалом, а один компонент — с неидентифицированным скалярным полем, иногда называемым «радиoном» или «дилатoном». Соответственно, 5D уравнения Эйнштейна дают 4D уравнения поля Эйнштейна, уравнения Максвелла для электромагнитного поля и уравнение для скалярного поля. Калуца также ввёл гипотезу «цилиндрического условия», согласно которой ни один компонент пятимерной метрики не зависит от пятого измерения. Без этого ограничения вводятся члены, включающие производные полей по пятой координате, и эта дополнительная степень свободы делает математику полностью переменной 5D-относительности чрезвычайно сложной. Стандартная 4D-физика, по-видимому, проявляет это «цилиндрическое условие» и, вместе с ним, более простую математику. В 1926 году Оскар Клейн дал классической пятимерной теории Калуцы квантовую интерпретацию, чтобы согласовать её с недавними открытиями Гейзенберга и Шрёдингера. Клейн выдвинул гипотезу, что пятое измерение свернуто и микроскопично, чтобы объяснить цилиндрическое условие. Клейн предположил, что геометрия дополнительного пятого измерения может иметь форму круга с радиусом e = 30. Более точно, радиус кругового измерения равен 23 длинам Планка, которая, в свою очередь, имеет порядок e = 33. Тири, работавший во Франции над диссертацией под руководством Лихнеровича; Джордан, Людвиг и Мюллер в Германии, с критическим вкладом от Паули и Фиерца; и Шеррер, работавший в одиночку в Швейцарии. Работа Джордана привела к скалярно-тензорной теории Бранса — Дикке; Бранс и Дикке, по-видимому, не знали о Тири или Шеррере. Полные уравнения Калуцы при цилиндрическом условии довольно сложны, и большинство англоязычных обзоров, а также английские переводы работ Тири, содержат некоторые ошибки. Тензоры кривизны для полных уравнений Калуцы были вычислены с использованием программного обеспечения для тензорной алгебры в 2015 году, что подтвердило результаты Феррари и Кокеро и Эспозито Фарезе. 5D ковариантная форма членов энергии-импульса рассматривается Уильямсом.

In physics, Kaluza–Klein theory (KK theory) is a classical unified field theory of gravitation and electromagnetism built around the idea of a fifth dimension beyond the common 4D of space and time and considered an important precursor to string theory. In their setup, the vacuum has the usual 3 dimensions of space and one dimension of time but with another microscopic extra spatial dimension in the shape of a tiny circle. Gunnar Nordström had an earlier, similar idea. But in that case, a fifth component was added to the electromagnetic vector potential, representing the Newtonian gravitational potential, and writing the Maxwell equations in five dimensions. The five dimensional (5D) theory developed in three steps. The original hypothesis came from Theodor Kaluza, who sent his results to Einstein in 1919 and published them in 1921. Kaluza presented a purely classical extension of general relativity to 5D, with a metric tensor of 15 components. Ten components are identified with the 4D spacetime metric, four components with the electromagnetic vector potential, and one component with an unidentified scalar field sometimes called the "radion" or the "dilaton". Correspondingly, the 5D Einstein equations yield the 4D Einstein field equations, the Maxwell equations for the electromagnetic field, and an equation for the scalar field. Kaluza also introduced the "cylinder condition" hypothesis, that no component of the five dimensional metric depends on the fifth dimension. Without this restriction, terms are introduced that involve derivatives of the fields with respect to the fifth coordinate, and this extra degree of freedom makes the mathematics of the fully variable 5D relativity enormously complex. Standard 4D physics seems to manifest this "cylinder condition" and, along with it, simpler mathematics. In 1926, Oskar Klein gave Kaluza's classical five dimensional theory a quantum interpretation, to accord with the then recent discoveries of Heisenberg and Schrödinger. Klein introduced the hypothesis that the fifth dimension was curled up and microscopic, to explain the cylinder condition. Klein suggested that the geometry of the extra fifth dimension could take the form of a circle, with the radius of e= 30. More precisely, the radius of the circular dimension is 23 times the Planck length, which in turn is of the order of e= 33. Thiry, working in France on his dissertation under Lichnerowicz; Jordan, Ludwig, and Müller in Germany, with critical input from Pauli and Fierz; and Scherrer working alone in Switzerland. Jordan's work led to the scalar–tensor theory of Brans–Dicke; Brans and Dicke were apparently unaware of Thiry or Scherrer. The full Kaluza equations under the cylinder condition are quite complex, and most English language reviews, as well as the English translations of Thiry, contain some errors. The curvature tensors for the complete Kaluza equations were evaluated using tensor algebra software in 2015, verifying results of Ferrari and Coquereaux & Esposito Farese. The 5D covariant form of the energy–momentum source terms is treated by Williams.

Геометрическая интерпретация

Теория Калуза — Клейна обладает особенно изящным представлением с точки зрения геометрии. В определенном смысле она выглядит как обычная гравитация в свободном пространстве, но сформулирована в пяти измерениях вместо четырех.

Уравнения Максвелла

С другой стороны, уравнения Максвелла, описывающие электромагнетизм, можно понимать как уравнения Ходжа для главного U(1)-расслоения или кругового расслоения с волокном U(1). То есть, электромагнитное поле является гармонической 2-формой в пространстве дифференцируемых 2-форм на многообразии. В отсутствие зарядов и токов, уравнения Максвелла для свободного поля имеют вид:

где * — оператор звезды Ходжа.

Обобщения

В вышеизложенном, размер петли выступает в роли константы связи между гравитационным и электромагнитным полями. Если базовое многообразие четырехмерно, то многообразие Калуцы — Клейна P является пятимерным. Пятое измерение — это компактное пространство, которое называется компактным измерением. Метод введения компактных измерений для получения многообразия большей размерности называется компактификацией. Компактификация не порождает групповых действий на хиральных фермионах, за исключением весьма специфических случаев: размерность полного пространства должна быть равна 2 по модулю 8, а индекс G оператора Дирака компактного пространства должен быть отличен от нуля. Описанное выше развитие в большей или меньшей степени прямолинейно обобщается на общие главные G-расслоения для произвольной группы Ли G, заменяющей U(1). В этом случае теория часто называется теорией Янга — Миллса и иногда рассматривается как синоним. Если лежащее в основе многообразие является суперсимметричным, то полученная теория представляет собой суперсимметричную теорию Янга — Миллса.

Эмпирические испытания

Официально не сообщалось об каких-либо экспериментальных или наблюдательных признаках дополнительных измерений. Было предложено множество теоретических методов поиска для обнаружения резонансов Калуза-Клейна, использующих связи масс этих резонансов с верхним кварком. Анализ результатов, полученных на Большом адронном коллайдере в декабре 2010 года, существенно ограничивает теории с большими дополнительными измерениями. Наблюдение бозона, подобного бозону Хиггса, на Большом адронном коллайдере представляет собой новый эмпирический тест, который можно применить в поисках резонансов Калуза-Клейна и суперсимметричных частиц. Петлевые диаграммы Фейнмана, существующие во взаимодействиях Хиггса, позволяют любой частице с электрическим зарядом и массой участвовать в такой петле. Частицы Стандартной модели, за исключением верхнего кварка и W-бозона, не вносят значительного вклада в поперечное сечение, наблюдаемое в распаде H → γγ, но если существуют новые частицы за пределами Стандартной модели, они потенциально могут изменить отношение предсказанного Стандартной моделью поперечного сечения H → γγ к экспериментально наблюдаемому поперечному сечению. Таким образом, измерение любого существенного отклонения поперечного сечения H → γγ от предсказаний Стандартной модели имеет решающее значение для изучения физики за ее пределами. Статья, опубликованная в июле 2018 года, вселяет некоторую надежду в эту теорию; в ней авторы оспаривают представление о том, что гравитация просачивается в высшие измерения, как это предполагается в теории бран. Однако в статье показано, что электромагнетизм и гравитация имеют одинаковое число измерений, и этот факт подтверждает теорию Калуза-Клейна; вопрос о том, действительно ли число измерений равно 3 + 1 или, возможно, 4 + 1, остается предметом дальнейших дискуссий.