Кіріспе

Месопотамиядағы математика 1830–539 б.з.д.

Вавилон математикасы (сонымен қатар Ассирия-Вавилон математикасы деп те аталады) – Месопотамия халқының ертедегі шумерлер заманынан бастап, 539 ж.б.з.д. Вавилон құлағаннан кейінгі ғасырларға дейінгі аралықта дамытқан немесе қолданған математикасы. Вавилон математикалық мәтіндері көптеп сақталған және жақсы өңделген. Уақыт бойынша олар екі ерекше топқа бөлінеді: бірі ежелгі Вавилон кезеңінен (1830–1531 ж.б.з.д.), екіншісі – негізінен Селевкидтер дәуірінен, соңғы үш немесе төрт ғасырдан. Мазмұны жағынан екі топ мәтіндердің арасында айтарлықтай айырмашылық жоқ. Вавилон математикасы мінезі мен мазмұны тұрақтылығын мың жылдан астам сақтап келді. Вавилон математикасы негізінен аккад немесе шумер тілдерінде, клинописьпен балшық тақташаларға жазылған. "Вавилон математикасы" термині шартты, себебі оның алғашқы пайда болуына қатысты ұсыныстар б.з.б. 5 мыңжылдықтағы есептеу құралдарының, мысалы, дөңгелектер мен белгілердің қолданылуына дейін жетеді.

Бабыл цифрлары

Вавилондық математика жүйесі сексагесималдық (60-дық) сандық жүйе болды. Осыдан бүгінгі күні минутта 60 секунд, сағатта 60 минут және шеңберде 360 градус қолданысы туындады. Вавилондықтар математикада үлкен жетістіктерге екі себептің арқасында қол жеткізді. Біріншіден, 60 саны – өте құрамды сан, оның 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (құрама сандарды қоса алғанда) бөлгіштері бар, бұл бөлшектермен есептеуді жеңілдетеді. Екіншіден, египеттіктер мен римдіктерден айырмашылығы, вавилондықтарда нақты разрядтық жүйе болды, онда сол жақ бағанға жазылған цифрлар үлкен мәнді білдіретін (мысалы, біздің ондық жүйеде 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1).

Шумерлік математика

Месопотамияның ежелгі шумерлері б.з.д. 3000 жылдан бастап күрделі өлшемдер жүйесін жасады. Б.з.д. 2600 жылдан бастап шумерлер қыш тақташаларға көбейту кестелерін жазып, геометриялық есептер мен бөлу мәселелерін шешті. Бабыл сандарының ең алғашқы іздері де осы кезеңге дейін барады.

Ежелгі Вавилон математикасы (20001600 б.з.д.)

Вавилондық математиканы сипаттайтын көптеген саз тақташалар Ежелгі Вавилон дәуіріне жатады, сондықтан Месопотамия математикасы көбінесе Вавилон математикасы деп аталады. Кейбір саз тақташаларда математикалық тізімдер мен кестелер кездеседі, ал басқаларында есептер мен олардың шешімдері жазылған.

Арифметика

Бабылдықтар арифметикалық есептеулерде көмектесу үшін алдын ала есептелген кестелерді пайдаланған. Мысалы, 1854 жылы Евфрат өзенінің жағасындағы Сенкерада табылған екі тақташада б.з.д. 2000 жылға дейінгі кезеңге жататын сандардың 59-ға дейінгі квадраттары және 32-ге дейінгі кубтарының тізімі келтірілген. Вавилондықтар көбейтуді жеңілдету үшін квадраттар тізімін мынадай формуламен бірге қолданған: . Бабылдықтарда ұзын бөлу алгоритмі болмаған. Олар өз әдісін мына фактіге негіздеген: , сонымен қатар, өзара шамалардың кестесін пайдаланған. Жақтары 2, 3 немесе 5-тен басқа жай санға бөлінетін (5-ке тегіс немесе тұрақты сандар деп аталатын) сандардың алтылық санау жүйесінде шекті өзара шамалары болады, және осы өзара шамалардың кең тізімдері бар кестелер табылды. 1/7, 1/11, 1/13 сияқты өзара шамалар алтылық санау жүйесінде шекті түрде бейнеленбейді. 1/13-ті есептеу үшін немесе санды 13-ке бөлу үшін бабылдықтар мынадай жуықтауды қолданған: .

Өсу

Вавилондықтар экспоненциалды өсуді, шектелген өсуді (сигмоид функцияларының бір түрі арқылы) және екі еселеу уақытын модельдеген, соңғысы несиелерге төленетін сыйақымен байланысты. Шамамен 2000 жылға дейінгі саз тақташаларда "Ай сайынғы 1/60 мөлшерлеме (қосымша есептелмейді) болғанда, екі еселеу уақытын есептеңіз" деген есеп кездеседі. Бұл жылдық сыйақы мөлшерлемесінің 12/60 = 20% екенін көрсетеді, демек, 100% өсімді 20% жылдық өсімге бөлгенде екі еселеу уақыты 5 жылды құрайды.

Геометрия

Бабылдықтар көлем мен аумақты өлшеудің жалпы ережелерін білген. Олар шеңбердің ұзындығын диаметрінің үш есесіне тең деп өлшеген, ал ауданын шеңбер ұзындығының квадратынан он екіден бір бөлігі деп есептеген, егер π саны 3 деп алынса, бұл дұрыс болатын. Олар бұл жуықтау екенін білген, ал 1936 жылы Суза қаласының жанында қазылған ежелгі Бабыл математикалық тақташасы (б.з.д. 19-17 ғасырлар аралығында) π санының жақсырақ жуықтауын 25/8 = 3.125 деп көрсетеді, бұл нақты мәннен шамамен 0,5 процент төмен. Цилиндрдің көлемі негізі мен биіктігінің көбейтіндісі ретінде алынған, бірақ конус немесе тікбұрышты пирамиданың қиық бөлігінің көлемі биіктігі мен негіздерінің қосындысының жартысының көбейтіндісі ретінде дұрыс емес есептелген. Пифагор теоремасы да бабылдықтарға белгілі болған. "Бабыл милі" шамамен 11,3 км (немесе қазіргі 7 мильге жуық) қашықтықты өлшеу бірлігі болған. Бұл қашықтық өлшемі кейіннен Күннің қозғалысын өлшеуге арналған "уақыт миліне" айналдырылды, демек, уақытты білдірді. Ежелгі бабылдықтар ұқсас үшбұрыштардың қабырғаларының арақатынасына қатысты формулаларды көп ғасырлар бойы білген, бірақ бұрыш өлшемінің түсінігі болмағандықтан, үшбұрыштардың қабырғаларын зерттеген. Бабыл астрономдары жұлдыздардың шығуы мен батуын, планеталардың қозғалысын және күн мен айдың тұтылуын егжей-тегжейлі тіркеген, бұл шамалы бұрыштарды өлшеуді қажет еткен. Олар сондай-ақ эфемеридті (астрономиялық жағдайлардың кестесін) есептеу үшін Фурье талдауының бір түрін қолданған, оны 1950 жылдары Отто Нойгебауэр ашқан. Аспан денелерінің қозғалысын есептеу үшін бабылдықтар қарапайым арифметиканы және эклиптикаға негіделген координаттар жүйесін қолданған, эклиптика – күн мен планеталардың қозғалатын аспан шеңберінің бөлігі. Британ мұражайында сақталған тақташалар бабылдықтардың тіпті абстрактілі математикалық кеңістіктегі объектілер туралы түсінікке ие болғанын көрсетеді. Тақташалар б.з.д. 350-50 жылдары аралығында жасалған, бұл бабылдықтар геометрияны бұрынғысынан да ертерек түсінгенін және қолданғанын көрсетеді. Бабылдықтар қисық сызық астындағы ауданды есептеу үшін қисық сызықтың астына трапеция салу әдісін қолданған, бұл әдіс бұрын 14 ғасырлық Еуропада пайда болған деп есептелген. Бұл әдіс оларға, мысалы, Юпитердің белгілі бір уақыт ішінде қанша қашықтыққа жылғанын анықтауға мүмкіндік берді.