Введение

Математика в Месопотамии 1830–539 гг. до н.э.

Вавилонская математика (также известная как ассиро-вавилонская математика) – это математика, разработанная или практиковавшаяся народами Месопотамии, начиная с эпохи ранних шумеров и вплоть до веков, последовавших за падением Вавилона в 539 г. до н.э. Вавилонские математические тексты многочисленны и хорошо изучены. По времени их можно разделить на две отчетливые группы: одна относится к древневавилонскому периоду (1830–1531 гг. до н.э.), другая – преимущественно к периоду Селевкидов, охватывающему последние три-четыре столетия до н.э. По содержанию эти две группы текстов практически не различаются. Вавилонская математика оставалась неизменной по своему характеру и содержанию на протяжении более тысячелетия. Вавилонская математика в основном записывалась на глиняных табличках клинописью на аккадском или шумерском языках. Термин "вавилонская математика", возможно, не совсем удачен, поскольку самые ранние известные истоки восходят к использованию счетных устройств, таких как булли и жетоны, в 5-м тысячелетии до н.э.

Вавилонские цифры

Вавилонская система математики была шестидесятеричной (основанием 60) системой счисления. Отсюда происходит современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 градусов в окружности. Вавилоняне смогли добиться значительных успехов в математике по двум причинам. Во-первых, число 60 – это высокосоставное число с большим количеством делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60 (включая составные числа), что облегчало вычисления с дробями. Во-вторых, в отличие от египтян и римлян, вавилоняне использовали позиционную систему счисления, где значение цифры зависело от её позиции (как, например, в нашей десятичной системе, 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).

Шумерская математика

Древние шумеры Месопотамии разработали сложную систему мер с 3000 года до н.э. Начиная с 2600 года до н.э., шумеры записывали таблицы умножения на глиняных табличках и решали геометрические задачи и примеры на деление. Самые ранние свидетельства вавилонских чисел также датируются этим периодом.

Древневавилонская математика (20001600 г. до н. э.)

Большинство глиняных табличек, описывающих вавилонскую математику, относятся к старовавилонскому периоду, поэтому математику Месопотамии обычно называют вавилонской математикой. Некоторые таблички содержат математические списки и таблицы, другие – задачи с решениями.

Арифметика

Вавилоняне использовали предварительно вычисленные таблицы для помощи в арифметических вычислениях. Например, две таблички, найденные в Сенкере на Евфрате в 1854 году и датируемые 2000 годом до н.э., содержат списки квадратов чисел до 59 и кубов чисел до 32. Вавилоняне использовали списки квадратов вместе с формулами: для упрощения умножения. У вавилонян не было алгоритма для деления в столбик. Вместо этого они основывали свой метод на факте, что: вместе с таблицей обратных величин. Числа, единственными простыми множителями которых являются 2, 3 или 5 (известные как 5-гладкие или регулярные числа), имеют конечные обратные величины в сексагезимальной системе счисления, и были найдены таблицы с обширными списками этих обратных величин. Обратные величины, такие как 1/7, 1/11, 1/13 и т.д., не имеют конечного представления в сексагезимальной системе счисления. Для вычисления 1/13 или деления числа на 13 вавилоняне использовали приближение, такое как:

Рост

Вавилоняне моделировали экспоненциальный рост, ограниченный рост (с помощью сигмоидных функций) и время удвоения, причем последнее – в контексте начисления процентов по ссудам. На глиняных табличках, датированных ок. 2000 г. до н.э., содержится задача: "Если процентная ставка составляет 1/60 в месяц (без капитализации), вычислите время удвоения". Это соответствует годовой процентной ставке 12/60 = 20%, а значит, время удвоения составляет 100% роста / 20% роста в год = 5 лет.

Геометрия

Вавилоняне знали общие правила измерения объемов и площадей. Они измеряли окружность круга как утроенный диаметр, а площадь – как одну двенадцатую часть квадрата окружности, что было бы верно, если бы число π оценивалось как 3. Они осознавали, что это приближение, и одна древневавилонская математическая табличка, раскопанная близ Сузы в 1936 году (датируемая периодом между 19-м и 17-м веками до н.э.), дает более точное приближение π как 25/8 = 3,125, что примерно на 0,5 процента ниже точного значения. Объем цилиндра определялся как произведение площади основания на высоту, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды ошибочно принимался равным произведению высоты на полусумму площадей оснований. Вавилонянам также было известно правило Пифагора. «Вавилонская миля» была мерой расстояния, равной приблизительно 11,3 км (или около семи современных миль). Эта мера расстояний впоследствии была преобразована в «временную милю», используемую для измерения движения Солнца, и, следовательно, представляла время. Древние вавилоняне на протяжении многих веков знали формулы, касающиеся соотношений сторон подобных треугольников, но им не хватало понятия об измерении угла и, как следствие, они изучали стороны треугольников. Вавилонские астрономы вели подробные записи о восходе и заходе звезд, движении планет, солнечных и лунных затмениях, что требовало знания угловых расстояний, измеряемых на небесной сфере. Они также использовали разновидность анализа Фурье для вычисления эфемерид (таблиц астрономических положений), открытую в 1950-х годах Отто Нойгебауэром. Для вычисления движения небесных тел вавилоняне использовали элементарную арифметику и систему координат, основанную на эклиптике – части небесной сферы, по которой движутся Солнце и планеты. Таблички, хранящиеся в Британском музее, свидетельствуют о том, что вавилоняне даже дошли до понимания объектов в абстрактном математическом пространстве. Эти таблички датируются периодом между 350 и 50 годами до н.э., что показывает, что вавилоняне понимали и использовали геометрию еще раньше, чем считалось. Вавилоняне использовали метод оценки площади под кривой, проводя под ней трапецию, технику, которая ранее считалась возникшей в Европе в XIV веке. Этот метод оценки позволял им, например, определять расстояние, пройденное Юпитером за определенный промежуток времени.