Кіріспе
Нүктелік топтарда, жазықтық топтарда және кеңістіктік топтардағы симметрияны көрсету үшін нотация қолданылады. Геометрияда Германн-Моген нотациясы нүктелік топтарда, жазықтық топтарда және кеңістіктік топтардағы симметрия элементтерін көрсету үшін пайдаланылады. Ол неміс кристаллографы Карл Германнның (1928 жылы енгізген) және француз минералогі Чарльз Виктор Могеннің (1931 жылы өзгертіп дамытқан) құрметіне аталған. Бұл нотация кейде халықаралық нотация деп те аталады, себебі ол 1935 жылғы алғашқы басылымынан бастап Халықаралық кристаллография кестелерімен стандарт ретінде қабылданды. Шенфлайс нотациясымен салыстырғанда Германн-Моген нотациясы кристаллографияда басымдыққа ие, өйткені оны трансляциялық симметрия элементтерін қосу үшін оңай қолдануға болады және симметрия осьтерінің бағыттарын нақтылайды.
In geometry, Hermann–Mauguin notation is used to represent the symmetry elements in point groups, plane groups and space groups. It is named after the German crystallographer Carl Hermann (who introduced it in 1928) and the French mineralogist Charles Victor Mauguin (who modified it in 1931). This notation is sometimes called international notation, because it was adopted as standard by the International Tables For Crystallography since their first edition in 1935. The Hermann–Mauguin notation, compared with the Schoenflies notation, is preferred in crystallography because it can easily be used to include translational symmetry elements, and it specifies the directions of the symmetry axes.
Нысандар топтары
Оралу осьтері n нөмірімен (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) және оралу бұрышымен белгіленеді. Бұрылмалы айналулар үшін Германн-Моген символдары ротоинверсиялық осьтерді көрсетеді, ал Шоенфлайз және Шубников белгілері айналу-шағылысу осьтерін көрсетеді. Ротоинверсиялық осьтер макроны бар сәйкес санмен бейнеленеді – , , , , , , , , , – және айна жазықтығына тең болып, әдетте m деп белгіленеді. Германн-Моген символдары тең емес осьтер мен жазықтықтарды симметриялық түрде көрсетеді. Симметриялық элементтің бағыты Германн-Моген символындағы оның орнына сәйкес келеді. Егер айналу осі n және айна жазықтығы m бір бағытта болса (яғни жазықтық n осіне перпендикуляр болса), онда олар бөлшек түрінде немесе n/m деп белгіленеді. Егер екі немесе одан көп ось бір бағытта болса, жоғары симметриялы ось көрсетіледі. Жоғары симметрия дегеніміз, ось көбірек нүктелі үлгі жасайды. Мысалы, 3, 4, 5, 6, 7, 8 айналу осьтері сәйкесінше 3, 4, 5, 6, 7, 8 нүктелі үлгілерді тудырады. Бұрылмалы айналу осьтері , , , , , сәйкесінше 6, 4, 10, 6, 14, 8 нүктелі үлгілерді тудырады. Егер айналу және ротоинверсиялық ось бірдей нүктелер санын тудырса, айналу осін таңдау керек. Мысалы, комбинациясы 6 нүкте тудыратындықтан, ал 3 тек 3 нүкте ғана тудыратындықтан, оның орнына жазылуы керек (бірақ емес, өйткені осы белгіде айна жазықтығы m бар). Сол сияқты, егер 3 және осьтерінің екеуі де болса, жазылуы керек. Бірақ жазбаймыз, өйткені 4 және 4-тің екеуі де төрт нүкте тудырады. Егер 2, 3, 6, және осьтерінің комбинациясы болса, , , және 6 осьтерінің барлығы да 6 нүктелі үлгілерді тудырады (суретте көрініп тұрғанындай), бірақ соңғысын пайдалану керек, өйткені ол айналу осі – символ болады.
Соңында, Германн-Моген символы топтың типіне байланысты.
Жоғары сатылы осьтері жоқ топтар (үш немесе одан да көп сатылы осьтер)
Бұл топтарда тек екі бүктеу осьтері, айна жазықтықтары және/немесе инверсия орталығы болуы мүмкін. Бұл кристаллографиялық нүктелік топтар: 1 және (триклиникалық кристалл жүйесі), 2, m және (моноклиникалық), 222, , және mm2 (орторомбалық). («ммм» – бұл қысқартылған жазуы.) Егер символ үш позициядан тұрса, онда олар сәйкесінше x, y, z бағыттарындағы симметрия элементтерін көрсетеді.
Бір жоғары сатылы осьті топтар
Бірінші орын – негізгі бағыт – z бағыты, жоғары реттік оське беріледі. Екінші позиция – z оське перпендикуляр болатын симметриялық эквивалентті екінші бағыттар. Бұл 2, m немесе үшінші позицияның симметриялық эквивалентті үштік бағыттары болуы мүмкін, олар екінші бағыттардың арасында өтеді. Бұл 2, m немесе 3, 32, 3m, және (тригональды кристалл жүйесі), 4, 422, 4mm, , 2m, және (тетрагональды), және 6, 622, 6mm, , m2, және (шестиқырлы) кристаллографиялық топтар болуы мүмкін. Сол сияқты, кристаллографиялық емес топтардың символдары (осі 5, 7, 8, 9,) құрастыруға болады. Бұл топтарды келесі кестеде орналастыруға болады:
Third position – symmetrically equivalent tertiary directions, passing between secondary directions. These can be 2, m, or
These are the crystallographic groups 3, 32, 3m, , and (trigonal crystal system), 4, 422, 4mm, , 2m, , and (tetragonal), and 6, 622, 6mm, , m2, , and (hexagonal). Analogously, symbols of non crystallographic groups (with axes of order 5, 7, 8, 9, ) can be constructed. These groups can be arranged in the following table
Schoenflies H–M symbol 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞ Cn n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞ Cnv nm 3m 5m 7m 9m 11m ∞m nmm 4mm 6mm 8mm 10mm 12mm S2n Sn Ch Cnh Dn n2 32 52 72 92 (11)2 ∞2 n22 422 622 822 (10)22 (12)22 Dnd m Dd2m = m2 2m 2m 2m Dh m2 m2 Dnh
It can be noticed that in groups with odd order axes n and the third position in symbol is always absent, because all n directions, perpendicular to higher order axis, are symmetrically equivalent. For example, in the picture of a triangle all three mirror planes (S0, S1, S2) are equivalent – all of them pass through one vertex and the center of the opposite side. For even order axes n and there are secondary directions and tertiary directions. For example, in the picture of a regular hexagon one can distinguish two sets of mirror planes – three planes go through two opposite vertexes, and three other planes go through the centers of opposite sides. In this case any of two sets can be chosen as secondary directions, the rest set will be tertiary directions. Hence groups 2m, 2m, 2m, can be written as m2, m2, m2, For symbols of point groups this order usually doesn't matter; however, it will be important for Hermann–Mauguin symbols of corresponding space groups, where secondary directions are directions of symmetry elements along unit cell translations b and c, while the tertiary directions correspond to the direction between unit cell translations b and c. For example, symbols Pm2 and P2m denote two different space groups. This also applies to symbols of space groups with odd order axes 3 and The perpendicular symmetry elements can go along unit cell translations b and c or between them. Space groups P321 and P312 are examples of the former and the latter cases, respectively. The symbol of point group may be confusing; the corresponding Schoenflies symbol is D3d, which means that the group consists of 3 fold axis, three perpendicular 2 fold axes, and 3 vertical diagonal planes passing between these 2 fold axes, so it seems that the group can be denoted as 32m or 3m2. However, one should remember that, unlike Schoenflies notation, the direction of a plane in a Hermann–Mauguin symbol is defined as the direction perpendicular to the plane, and in the D3d group all mirror planes are perpendicular to 2 fold axes, so they should be written in the same position as Second, these complexes generate an inversion center, which combining with the 3 fold rotation axis generates a rotoinversion axis. Groups with n = ∞ are called limit groups or Curie groups.
Шенфли H–M символы 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞
Cn n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞
Cnv nm 3m 5m 7m 9m 11m ∞m
nmm 4mm 6mm 8mm 10mm 12mm
S2n Sn Ch Cnh Dn
n2 32 52 72 92 (11)2 ∞2
n22 422 622 822 (10)22 (12)22
Dnd m
Dd2m = m2 2m 2m 2m
Dh m2 m2 Dnh
Third position – symmetrically equivalent tertiary directions, passing between secondary directions. These can be 2, m, or
These are the crystallographic groups 3, 32, 3m, , and (trigonal crystal system), 4, 422, 4mm, , 2m, , and (tetragonal), and 6, 622, 6mm, , m2, , and (hexagonal). Analogously, symbols of non crystallographic groups (with axes of order 5, 7, 8, 9, ) can be constructed. These groups can be arranged in the following table
Schoenflies H–M symbol 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞ Cn n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞ Cnv nm 3m 5m 7m 9m 11m ∞m nmm 4mm 6mm 8mm 10mm 12mm S2n Sn Ch Cnh Dn n2 32 52 72 92 (11)2 ∞2 n22 422 622 822 (10)22 (12)22 Dnd m Dd2m = m2 2m 2m 2m Dh m2 m2 Dnh
It can be noticed that in groups with odd order axes n and the third position in symbol is always absent, because all n directions, perpendicular to higher order axis, are symmetrically equivalent. For example, in the picture of a triangle all three mirror planes (S0, S1, S2) are equivalent – all of them pass through one vertex and the center of the opposite side. For even order axes n and there are secondary directions and tertiary directions. For example, in the picture of a regular hexagon one can distinguish two sets of mirror planes – three planes go through two opposite vertexes, and three other planes go through the centers of opposite sides. In this case any of two sets can be chosen as secondary directions, the rest set will be tertiary directions. Hence groups 2m, 2m, 2m, can be written as m2, m2, m2, For symbols of point groups this order usually doesn't matter; however, it will be important for Hermann–Mauguin symbols of corresponding space groups, where secondary directions are directions of symmetry elements along unit cell translations b and c, while the tertiary directions correspond to the direction between unit cell translations b and c. For example, symbols Pm2 and P2m denote two different space groups. This also applies to symbols of space groups with odd order axes 3 and The perpendicular symmetry elements can go along unit cell translations b and c or between them. Space groups P321 and P312 are examples of the former and the latter cases, respectively. The symbol of point group may be confusing; the corresponding Schoenflies symbol is D3d, which means that the group consists of 3 fold axis, three perpendicular 2 fold axes, and 3 vertical diagonal planes passing between these 2 fold axes, so it seems that the group can be denoted as 32m or 3m2. However, one should remember that, unlike Schoenflies notation, the direction of a plane in a Hermann–Mauguin symbol is defined as the direction perpendicular to the plane, and in the D3d group all mirror planes are perpendicular to 2 fold axes, so they should be written in the same position as Second, these complexes generate an inversion center, which combining with the 3 fold rotation axis generates a rotoinversion axis. Groups with n = ∞ are called limit groups or Curie groups.
Бірнеше рет n және үшінші символдың орнында әрқашан жоқ топтарда симметриялы түрде тең болады, өйткені жоғары реттік оське перпендикуляр барлық n бағыттар симметриялы түрде тең. Мысалы, үшбұрыштың суретіне барлық үш айна жазықтығы (S0, S1, S2) тең – олардың барлығы бір түбі мен қарама-қарсы жақтың ортасынан өтеді. Тіпті n және n реттік осьтер үшін екіншілік бағыттар мен үшіншілік бағыттар бар. Мысалы, тұрақты алтыбұрыштың кескіндемесінде айналық жазықтықтың екі жиынтығын ажыратуға болады – үш жазықтық екі қарама-қарсы түбектен өтеді, ал басқа үш жазықтық қарама-қарсы жақтарының орталықтарынан өтеді. Бұл жағдайда екінші бағыттар ретінде екі жиынның кез келгенін таңдауға болады, қалған жиын үшінші бағыттар болады. Сондықтан 2m, 2m, 2m топтары m2, m2, m2 деп жазылуы мүмкін. Нүктелік топтардың символдары үшін бұл реті әдетте маңызды емес; дегенмен, Hermann–Mauguin сәйкес келетін кеңістік топтарының символдары үшін маңызды болады, мұнда екіншілік бағыттар бірлік ұяшықтың b және c котормалары бойынша симметрия элементтерінің бағыттары, ал үшіншілік бағыттар бірлік ұяшықтың b және c котормалары арасындағы бағытқа сәйкес келеді. Мысалы, Pm2 және P2m символдары екі түрлі кеңістік топтарды білдіреді. Бұл 3 және 3 ретіндегі тақ реттік осьтері бар кеңістік топтарының символдарына да қолданылады. Перпендикулярлы симметрия элементтері b және c бірлік ұяшықтар аудармалары бойынша немесе олардың арасында жүруге болады. P321 және P312 кеңістіктік топтары сәйкесінше бірінші және соңғы жағдайларға мысал болып табылады. Нүктелік топтың символы шатастыратын болуы мүмкін; сәйкес келетін Шоенфлайз символы D3d, яғни топ 3 бүктелген осьтен, 3 перпендикуляр 2 бүктелген осьтен және осы 2 бүктелген осьтер арасында өтетін 3 тік диагональді жазықтықтан тұрады, сондықтан топты 32m немесе 3m2 деп көрсетуге болады. Алайда, Шоенфлайс белгісінен айырмашылығы, Hermann–Mauguin символында жазықтықтың бағыты жазықтыққа перпендикуляр бағыт ретінде анықталады, ал D3d тобында барлық айна жазықтықтары 2 бүктелген оське перпендикуляр, сондықтан олар Екінші сияқты бірдей орналасуда жазылуы керек, бұл кешендер инверсия орталығын тудырады, ол 3 бүктелген айналу осьпен бірігіп ротоинверсия осі пайда болады. n = ∞ топтар шекті топтар немесе Кюри топтары деп аталады.
Third position – symmetrically equivalent tertiary directions, passing between secondary directions. These can be 2, m, or
These are the crystallographic groups 3, 32, 3m, , and (trigonal crystal system), 4, 422, 4mm, , 2m, , and (tetragonal), and 6, 622, 6mm, , m2, , and (hexagonal). Analogously, symbols of non crystallographic groups (with axes of order 5, 7, 8, 9, ) can be constructed. These groups can be arranged in the following table
Schoenflies H–M symbol 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞ Cn n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞ Cnv nm 3m 5m 7m 9m 11m ∞m nmm 4mm 6mm 8mm 10mm 12mm S2n Sn Ch Cnh Dn n2 32 52 72 92 (11)2 ∞2 n22 422 622 822 (10)22 (12)22 Dnd m Dd2m = m2 2m 2m 2m Dh m2 m2 Dnh
It can be noticed that in groups with odd order axes n and the third position in symbol is always absent, because all n directions, perpendicular to higher order axis, are symmetrically equivalent. For example, in the picture of a triangle all three mirror planes (S0, S1, S2) are equivalent – all of them pass through one vertex and the center of the opposite side. For even order axes n and there are secondary directions and tertiary directions. For example, in the picture of a regular hexagon one can distinguish two sets of mirror planes – three planes go through two opposite vertexes, and three other planes go through the centers of opposite sides. In this case any of two sets can be chosen as secondary directions, the rest set will be tertiary directions. Hence groups 2m, 2m, 2m, can be written as m2, m2, m2, For symbols of point groups this order usually doesn't matter; however, it will be important for Hermann–Mauguin symbols of corresponding space groups, where secondary directions are directions of symmetry elements along unit cell translations b and c, while the tertiary directions correspond to the direction between unit cell translations b and c. For example, symbols Pm2 and P2m denote two different space groups. This also applies to symbols of space groups with odd order axes 3 and The perpendicular symmetry elements can go along unit cell translations b and c or between them. Space groups P321 and P312 are examples of the former and the latter cases, respectively. The symbol of point group may be confusing; the corresponding Schoenflies symbol is D3d, which means that the group consists of 3 fold axis, three perpendicular 2 fold axes, and 3 vertical diagonal planes passing between these 2 fold axes, so it seems that the group can be denoted as 32m or 3m2. However, one should remember that, unlike Schoenflies notation, the direction of a plane in a Hermann–Mauguin symbol is defined as the direction perpendicular to the plane, and in the D3d group all mirror planes are perpendicular to 2 fold axes, so they should be written in the same position as Second, these complexes generate an inversion center, which combining with the 3 fold rotation axis generates a rotoinversion axis. Groups with n = ∞ are called limit groups or Curie groups.
Бірнеше жоғары сатылы осьтері бар топтар
Бұл кубтық кристалл жүйесінің кристаллографиялық топтары: 23, 432, 3m және олардың барлығы төрт диагональды 3 есе бүктемелі осьті қамтиды. Бұл осьтер кубтың төрт кеңістіктік диагональдары бойынша бағытталған, кубтың өзі 3 есе айналу симметриясына ие. Бұл символдар келесідей құрастырылады: Бірінші позиция – x, y және z координаттық осьтерінің симметриялық түрде тең бағыттары. Олар диагональды 3 есе бүктемелі осьтердің болуына байланысты теңдес. Екінші позиция – диагональды 3 есе немесе осьтер. Үшінші позиция – үш координаттық осьтің (x, y және z) кез келген екеуі арасындағы диагональ бағыттары. Бұл 2, m немесе болуы мүмкін. Жоғарыда келтірілген барлық Германн-Моген символдары толық символдар деп аталады. Көптеген топтар үшін оларды n есе айналу осьтерін позициядан шығару арқылы ықшамдауға болады. Бұл айналу осьтерін символде ұсынылған симметрия элементтерінің комбинациясынан бірмәнді анықтау мүмкін болса ғана жасалуы мүмкін. Мысалы, үшін қысқа символ mmm, үшін mm, ал үшін mm болады. Бір жоғары реттік осьті қамтитын топтарда бұл жоғары реттік осьті шығаруға болмайды. Мысалы, және символдары 4/mmm (немесе mm) және 6/mmm (немесе mm) дейін ықшамдалуы мүмкін, бірақ mmm емес; ал үшін қысқа символ m болады. Барлық 32 кристаллографиялық нүктелік топтардың толық және қысқа символдары кристаллографиялық нүктелік топтар бетінде келтірілген. Кубтық бес топтан басқа, кристаллографиялық емес екі икосаэдрлік топ (Шоэнфлистің белгісінде I және Ih) және екі шекті топ (Шоэнфлистің белгісінде K және Kh) бар. Германн-Моген символдары кристаллографиялық емес топтар үшін жасалмаған, сондықтан олардың символдары шартты және кубтық кристалл жүйесінің кристаллографиялық топтарының символдарымен ұқсастыққа негізделген. I тобын 235, 25, 532, 53 деп белгілеуге болады. Ih үшін ықшам символдар m, m, mm, m. K шекті тобы үшін ∞∞ немесе 2∞, ал Kh үшін ∞ немесе m немесе ∞∞m символдары мүмкін.
First position – symmetrically equivalent directions of the coordinate axes x, y, and z. They are equivalent due to the presence of diagonal 3 fold axes. Second position – diagonal 3 or axes. Third position – diagonal directions between any two of the three coordinate axes x, y, and z. These can be 2, m, or
All Hermann–Mauguin symbols presented above are called full symbols. For many groups they can be simplified by omitting n fold rotation axes in positions. This can be done if the rotation axis can be unambiguously obtained from the combination of symmetry elements presented in the symbol. For example, the short symbol for is mmm, for is mm, and for is mm. In groups containing one higher order axis, this higher order axis cannot be omitted. For example, symbols and can be simplified to 4/mmm (or mm) and 6/mmm (or mm), but not to mmm; the short symbol for is m. The full and short symbols for all 32 crystallographic point groups are given in crystallographic point groups page. Besides five cubic groups, there are two more non crystallographic icosahedral groups (I and Ih in Schoenflies notation) and two limit groups (K and Kh in Schoenflies notation). The Hermann–Mauguin symbols were not designed for non crystallographic groups, so their symbols are rather nominal and based on similarity to symbols of the crystallographic groups of a cubic crystal system. Group I can be denoted as 235, 25, 532, 53. The possible short symbols for Ih are m, m, mm, m. The possible symbols for limit group K are ∞∞ or 2∞, and for Kh are ∞ or m or ∞∞m.
Ұшақ топтары
Ұшақ топтарын Герман-Моген жүйесі арқылы бейнелеуге болады. Бірінші әріп – бастапқы немесе орталықтандырылған бірлік жасушаны көрсету үшін кіші әріпті p немесе c болады. Келесі сан – жоғарыда көрсетілгендей, айналу симметриясын көрсетеді. Көріністі жазықтықтар m әрпімен, ал жылжу шағылыстары тек g әрпімен белгіленеді. Бұрандалы осьтер екі өлшемді кеңістікте болмайды.
Ғарыш топтары
Ғарыш тобының символы тор түрін сипаттайтын үлкен әріппен және симметрия элементтерін анықтайтын символдарды біріктіру арқылы анықталады. Симметрия элементтері сәйкес нүктелік топтың символындағыдай реттелген (кеңістік топтан барлық трансляциялық компоненттерді алып тастағанда алынатын топ). Симметрия элементтерінің символдары көбірек әртүрлі, себебі айналу осьтері мен айналыс жазықтықтарынан басқа, ғарыш тобында бұрандалы осьтер (айналу мен трансляцияның комбинациясы) және жылжу жазықтықтары (айналыс шағылысу мен трансляцияның комбинациясы) сияқты күрделі симметрия элементтері болуы мүмкін. Нәтижесінде, бір нүктелік топқа көптеген әртүрлі ғарыш топтары сәйкес келуі мүмкін. Мысалы, әртүрлі тор түрлерін және жылжу жазықтықтарын таңдау арқылы mmm нүктелік тобынан Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd және т.б. сияқты 28 түрлі ғарыш тобын жасауға болады. Кейбір жағдайларда ғарыш тобы нүктелік топқа трансляцияларды қосу арқылы құрылады. Басқа жағдайларда нүктелік топтың қолданылатын нүктесі болмайды. Белгілеуі біршама екіұшты, оны толықтыратын кесте жоқ. Мысалы, I23 және I23 (№ 197 және 199) ғарыш топтарында екі еселі айналу осьтері де, екі еселі бұрандалы осьтері де бар. Біріншісінде екі еселі осьтер үш еселі осьтермен қиылысады, ал екіншісінде қиылыспайды.
Жылжымалы ұшақтар
Жылжымалы жазықтықтың бағыты, айна жазықтықтарындағыдай, Германн-Моген номенклатурасындағы символдың орналасуымен анықталады. Олар жылжудың қай ось (бағыт) бойымен болатынына байланысты a, b немесе c әріптерімен белгіленеді. Сонымен қатар, n жылжуы бар, ол жақ диагоналінің жартысы бойымен жылжуды білдіреді, ал d жылжуы бірлік жасушаның жақ немесе кеңістік диагоналінің төрттен бірі бойымен жылжуды білдіреді. d жылжуы көбінесе алмаз жылжу жазықтығы деп аталады, себебі ол алмаз құрылымында кездеседі. a, b және c арасында екі мүмкіндік болған жағдайларда (мысалы, a немесе b), e әрпі қолданылады. (Мұндай жағдайларда центрлеу екі жылжудың да болатынын білдіреді.) Қорытындылай келеде:
a, b немесе c – бұл жақтың тор векторының жартысы бойымен жылжу.
n – жақтың диагоналінің жартысы бойымен жылжу.
d – жақ диагоналінің немесе кеңістік диагоналінің төрттен бірі бойымен жылжумен жазықтықтар.
e – бірдей жылжу жазықтығы және екі (әртүрлі) жартылай тор векторлары бойымен екі жылжу.
a, b, or c glide translation along half the lattice vector of this face. n glide translation along half a face diagonal. d glide planes with translation along a quarter of a face diagonal or of a space diagonal. e two glides with the same glide plane and translation along two (different) half lattice vectors.