Введение

Обозначение для представления симметрии в точечных, плоскостных и пространственных группах.

В геометрии обозначение Германна — Могена используется для представления элементов симметрии в точечных, плоскостных и пространственных группах. Оно названо в честь немецкого кристаллографа Карла Германна (который ввел его в 1928 году) и французского минералога Шарля Виктора Могена (который модифицировал его в 1931 году). Это обозначение иногда называют международным, поскольку оно было принято в качестве стандарта Международными таблицами по кристаллографии начиная с первого издания в 1935 году. По сравнению с обозначением Шенфлиса, обозначение Германна — Могена предпочтительнее в кристаллографии, так как позволяет легко включать элементы трансляционной симметрии и указывает направления осей симметрии.

Точечные группы

Оси вращения обозначаются числом n – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (угол вращения). Для собственных и несобственных вращений символы Германна-Могена указывают оси ротоинверсии, в отличие от обозначений Шенфляйса и Шубникова, которые указывают оси вращения с отражением. Оси ротоинверсии обозначаются соответствующим числом с макроном, – , , , , , , , , эквивалентно зеркальной плоскости и обычно обозначается как m. Направление зеркальной плоскости определяется как направление, перпендикулярное ей (направление оси). Символы Германна-Могена симметрично отображают неэквивалентные оси и плоскости. Направление элемента симметрии соответствует его положению в символе Германна-Могена. Если ось вращения n и плоскость зеркала m имеют одно и то же направление (то есть плоскость перпендикулярна оси n), то они обозначаются в виде дроби n/m. Если две или более оси имеют одинаковое направление, отображается ось с более высокой симметрией. Более высокая симметрия означает, что ось генерирует узор с большим количеством точек. Например, оси вращения 3, 4, 5, 6, 7, 8 генерируют соответственно 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-точечные узоры. Несобственные оси вращения , , , , , генерируют соответственно 6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8-точечные узоры. Если ось вращения и ось ротоинверсии генерируют одинаковое количество точек, следует выбирать ось вращения. Например, комбинация эквивалентна , поскольку генерирует 6 точек, а 3 – только 3, поэтому следует писать вместо (не , потому что уже содержит зеркальную плоскость m). Аналогично, в случае, когда присутствуют и 3, и оси, следует писать . Однако мы пишем , а не , потому что и 4, и генерируют четыре точки. В случае комбинации, где присутствуют оси 2, 3, 6, , и , оси , , и 6 все генерируют 6-точечные узоры, как видно на рисунке справа, но последнюю следует использовать, поскольку это ось вращения – символ будет .

В конечном счете, символ Германна-Могена зависит от типа группы.

Группы без осей высшего порядка (оси третьего порядка или более)

Эти группы могут содержать только две оси вращения, зеркальные плоскости и/или центр инверсии. Это кристаллографические точечные группы 1 и (триклиническая кристаллическая система), 2, m и (моноклиническая), и 222, , и mm2 (орторомбическая). (Краткая форма – mmm.) Если символ содержит три позиции, то они обозначают элементы симметрии в направлениях x, y и z соответственно.

Группы с одной оси высшего порядка

Первое положение – основное направление – z направление, присвоенное оси высшего порядка. Второе положение – симметрично эквивалентные вторичные направления, которые перпендикулярны оси z. Это могут быть 2, m или. Третья позиция – симметрично эквивалентные третичные направления, проходящие между вторичными направлениями. Это могут быть 2, m или. Это кристаллографические группы 3, 32, 3m, и (тригональная кристаллическая система), 4, 422, 4mm, , 2m, и (тетрагональная), и 6, 622, 6mm, , m2, , и (гексагональная). Аналогичным образом, символы некристаллографических групп (с осью порядка 5, 7, 8, 9, ) могут быть построены. Эти группы можно расположить в следующей таблице: Символ Шенфляйса H–M 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞ Cn n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∞ Cnv nm 3m 5m 7m 9m 11m ∞m nmm 4mm 6mm 8mm 10mm 12mm S2n Sn Ch Cnh Dn n2 32 52 72 92 (11)2 ∞2 n22 422 622 822 (10)22 (12)22 Dnd m Dd2m = m2 2m 2m 2m 2m Dh m2 m2 Dnh

Можно заметить, что в группах с нечетными осями порядка n и третья позиция в символе всегда отсутствует, потому что все n направлений, перпендикулярных оси высшего порядка, симметрично эквивалентны. Например, на изображении треугольника все три зеркальные плоскости (S0, S1, S2) эквивалентны – все они проходят через одну вершину и центр противоположной стороны. Для четных осей порядка n и существуют вторичные направления и третичные направления. Например, на изображении правильного шестиугольника можно различить два набора зеркальных плоскостей – три плоскости проходят через две противоположные вершины, а три другие плоскости проходят через центры противоположных сторон. В этом случае любой из двух наборов может быть выбран в качестве вторичных направлений, а остальные наборы будут третичными направлениями. Следовательно, группы 2m, 2m, 2m могут быть записаны как m2, m2, m2. Для символов точечных групп этот порядок обычно не имеет значения; однако он будет важен для символов Германна–Могена соответствующих пространственных групп, где вторичные направления являются направлениями элементов симметрии вдоль трансляций элементарной ячейки b и c, в то время как третичные направления соответствуют направлению между трансляциями элементарной ячейки b и c. Например, символы Pm2 и P2m обозначают две разные пространственные группы. Это также относится к символам пространственных групп с нечетными осями порядка 3 и. Элементы перпендикулярной симметрии могут идти вдоль трансляций элементарной ячейки b и c или между ними. Пространственные группы P321 и P312 являются примерами первых и последних случаев соответственно. Символ точечной группы может вводить в заблуждение; соответствующий символ Шенфляйса – D3d, что означает, что группа состоит из 3-кратной оси вращения, трех перпендикулярных 2-кратных осей вращения и трех вертикальных диагональных плоскостей, проходящих между этими 2-кратными осями, поэтому, кажется, что группу можно обозначить как 32m или 3m2. Однако следует помнить, что, в отличие от обозначения Шенфляйса, направление плоскости в символе Германна–Могена определяется как направление, перпендикулярное плоскости, а в группе D3d все зеркальные плоскости перпендикулярны 2-кратным осям вращения, поэтому они должны быть записаны в том же положении, что и второе. Эти комплексы генерируют центр инверсии, который, в сочетании с 3-кратной осью вращения, генерирует ось ротоинверсии. Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри.

Группы с несколькими оси высшего порядка

Это кристаллографические группы кубической кристаллической системы: 23, 432, , 3m, и все они содержат четыре диагональные тройные оси. Эти оси расположены как тройные оси в кубе, направленные вдоль его четырех пространственных диагоналей (куб имеет симметрию). Эти символы построены следующим образом: Первая позиция – симметрично эквивалентные направления координатных осей x, y и z. Они эквивалентны из-за наличия диагональных тройных осей. Вторая позиция – диагональные тройные или оси. Третья позиция – диагональные направления между любыми двумя из трех координатных осей x, y и z. Они могут быть 2, m или . Все символы Германна–Могена, представленные выше, называются полными символами. Для многих групп их можно упростить, опустив n-кратные оси вращения в позициях. Это можно сделать, если ось вращения может быть однозначно получена из комбинации элементов симметрии, представленных в символе. Например, короткий символ для – это mmm, для – это mm, и для – это mm. В группах, содержащих одну ось высшего порядка, эта ось высшего порядка не может быть опущена. Например, символы и могут быть упрощены до 4/mmm (или mm) и 6/mmm (или mm), но не до mmm; кратким символом для является m. Полные и короткие символы для всех 32 групп кристаллографических точек приведены на странице групп кристаллографических точек. Кроме пяти кубических групп, существуют еще две некристаллографические икосаэдральные группы (I и Ih в обозначении Шёнфлиса) и две предельные группы (K и Kh в обозначении Шёнфлиса). Символы Германна–Могена не были разработаны для некристаллографических групп, поэтому их символы являются скорее номинальными и основаны на сходстве с символами кристаллографических групп кубической кристаллической системы. Группа I может быть обозначена как 235, 25, 532, 53. Возможные короткие символы для Ih – m, m, mm, m. Возможные символы для предельной группы K – ∞∞ или 2∞, а для Kh – ∞ или m или ∞∞m.

Группы самолетов

Группы плоскостей могут быть изображены с использованием системы Германна — Могена. Первая буква — строчная p или c, обозначающая примитивную или центрированную элементарную ячейку. Следующая цифра указывает порядок вращательной симметрии, как указано выше. Наличие плоскостей симметрии обозначается буквой m, а скользящие отражения — только буквой g. Винтовые оси не существуют в двухмерном пространстве.

Космические группы

Символ пространственной группы определяется сочетанием заглавной буквы, обозначающей тип кристаллической решетки, с символами, указывающими элементы симметрии. Элементы симметрии упорядочены так же, как и в символе соответствующей точечной группы (группы, получаемой при удалении всех трансляционных компонентов из пространственной группы). Символы для элементов симметрии более разнообразны, поскольку помимо осей вращения и плоскостей зеркальной симметрии, пространственная группа может содержать более сложные элементы симметрии – винтовые оси (комбинация вращения и трансляции) и плоскости скольжения (комбинация зеркального отражения и трансляции). В результате, одной и той же точечной группе может соответствовать множество различных пространственных групп. Например, выбирая различные типы решеток и плоскости скольжения, можно получить 28 различных пространственных групп из точечной группы mmm, например Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd и так далее. В некоторых случаях пространственная группа образуется простым добавлением трансляций к точечной группе. В других случаях не существует точки, относительно которой применима точечная группа. Обозначения несколько неоднозначны и не имеют сопровождающей таблицы с дополнительной информацией. Например, пространственные группы I23 и I23 (№ 197 и 199) обе содержат двукратные оси вращения, а также двукратные винтовые оси. В первом случае эти двукратные оси пересекают трехкратные оси, а во втором – нет.

Сплавные самолеты

Ориентация плоскости скольжения определяется положением символа в обозначении Германна–Могена, как и в случае с зеркальными плоскостями. Они обозначаются a, b или c в зависимости от того, вдоль какой оси (направления) происходит скольжение. Существует также скольжение n, которое представляет собой скольжение вдоль половины диагонали грани, и скольжение d, которое происходит вдоль четверти диагонали грани или пространственной диагонали элементарной ячейки. Скольжение d часто называют алмазным, поскольку оно присутствует в алмазной структуре. В случаях, когда есть две возможности среди a, b и c (например, a или b), используется буква e. (В этих случаях центрирование подразумевает, что оба скольжения происходят.) Подводя итог:

a, b или c – скольжение-трансляция вдоль половины векторa решетки данной грани.
n – скольжение вдоль половины диагонали грани.
d – плоскости скольжения с трансляцией вдоль четверти диагонали грани или пространственной диагонали.
e – два скольжения с одной и той же плоскостью скольжения и трансляцией вдоль двух (разных) полувекторов решетки.