Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, топтың кіші топтарының торы – топтың кіші топтарынан тұратын және кіші жиынға қатысты ішінара реттелген тор. Осы торда екі кіші топтың біріктірілісі – олардың бірігуімен жасалған кіші топ, ал екі кіші топтың тоғысқан нүктесі – олардың қиылысы болып табылады.
In mathematics, the lattice of subgroups of a group is the lattice whose elements are the subgroups of , with the partial ordering being set inclusion. In this lattice, the join of two subgroups is the subgroup generated by their union, and the meet of two subgroups is their intersection.
Мысал
Диэдрлік топ Dih4-тің он кіші тобы бар, өзін және тривиальды кіші топты есепке алғанда. Сегіз топ элементінің бесеуі екінші ретті кіші топтарды тудырады, ал қалған екі бірдей емес элементі төртінші ретті бірдей циклдік кіші топты тудырады. Бұған қоса, Z2 × Z2 түріндегі екі кіші топ бар, олар [[топ теориясы] реттік элементтері]] жұптары арқылы құрылады. Осы он кіші топ құрайтын тор суретте көрсетілген. Бұл мысал сондай-ақ, топтың барлық кіші топтарының торы әдетте модульдік тор емес екенін көрсетеді. Шындығында, осы нақты торда тыйым салынған "бесбұрыш" N5 кіші тор ретінде кездеседі.
The dihedral group Dih4 has ten subgroups, counting itself and the trivial subgroup. Five of the eight group elements generate subgroups of order two, and the other two non identity elements both generate the same cyclic subgroup of order four. In addition, there are two subgroups of the form Z2 × Z2, generated by pairs of [[order (group theory) elements. The lattice formed by these ten subgroups is shown in the illustration. This example also shows that the lattice of all subgroups of a group is not a modular lattice in general. Indeed, this particular lattice contains the forbidden "pentagon" N5 as a sublattice.
Қасиеттері
Кез келген топтың A, B және C кіші топтары үшін, егер A ≤ C (A – C кіші тобы) болса, онда AB ∩ C = A(B ∩ C); мұндағы көбейту – кіші топтардың көбейтіндісі. Бұл қасиет топтардың модулді қасиеті немесе (Дедекиндтің) модулді заңы деп аталады. Екі қалыпты кіші топтың көбейтіндісі оларды қамтитын ең кіші кіші топ болғандықтан, қалыпты кіші топтар модулді тор құрайды. Тор теоремасы топтың кіші топтарының және оның фактор-топтарының арасындағы Галуа байланысын орнатады. Зассенхаус леммасы кіші топтар торындағы фактор-топтар мен көбейтінділердің белгілі бір комбинациялары арасындағы изоморфизмді көрсетеді. Жалпы алғанда, кіші топтар торының пішініне ешқандай шектеу жоқ, яғни кез келген тор қандай да бір топтың кіші топтар торының кіші торына изоморфты. Сонымен қатар, кез келген шекті тор қандай да бір шекті топтың кіші топ торының кіші торына изоморфты болады. Кез келген шекті үлестірімді тор да қандай да бір топтың қалыпты кіші топ торына изоморфты болады.
For any A, B, and C subgroups of a group with A ≤ C (A a subgroup of C) then AB ∩ C = A(B ∩ C); the multiplication here is the product of subgroups. This property has been called the modular property of groups or (Dedekind's) modular law (, ). Since for two normal subgroups the product is actually the smallest subgroup containing the two, the normal subgroups form a modular lattice. The lattice theorem establishes a Galois connection between the lattice of subgroups of a group and that of its quotients. The Zassenhaus lemma gives an isomorphism between certain combinations of quotients and products in the lattice of subgroups. In general, there is no restriction on the shape of the lattice of subgroups, in the sense that every lattice is isomorphic to a sublattice of the subgroup lattice of some group. Furthermore, every finite lattice is isomorphic to a sublattice of the subgroup lattice of some finite group Every finite distributive lattice is also isomorphic to the normal subgroup lattice of some group .
Қалыпты торлар
Кейбір қасиеттері бар кіші топтар тор құрайды, бірақ басқа қасиеттер жоқ. Қалыпты кіші топтар әрқашан модульдік тор құрайды. Шындығында, тордың модульдік болуын қамтамасыз ететін маңызды қасиет – кіші топтардың бір-бірімен коммутациялауы, яғни олар квазинормальді кіші топтар болуы. Нильпотентті қалыпты кіші топтар тор құрайды, бұл Фитинг теоремасының мазмұнының бір бөлігі. Топтар класы, егер ол изоморфизм, субнормальді кіші топтар және субнормальді кіші топтардың көбейтінділері бойынша жабық болса, Фитинг класы деп аталады. Бұл жоғарыда айтылғанды F – нілпотентті топтар класымен жалпылайды, ал тағы бір мысал – F – шешілетін топтар класы. Орталық кіші топтар тор құрайды. Дегенмен, шекті кіші топтар да, бұрылу кіші топтары да тор құрамайды: мысалы, еркін көбейтінді екі бұрылу элементімен жасалады, бірақ ол шексіз және шексіз ретті элементтерді қамтиды. Қалыпты кіші топтардың модульдік тор құрауы – жалпы нәтижелердің ерекше жағдайы, атап айтқанда, кез келген Малцев әлемінде (топтар оның мысалы болып табылады) конгруенциялар торы модульдік болады.
Subgroups with certain properties form lattices, but other properties do not. Normal subgroups always form a modular lattice. In fact, the essential property that guarantees that the lattice is modular is that subgroups commute with each other, i. e. that they are quasinormal subgroups. Nilpotent normal subgroups form a lattice, which is (part of) the content of Fitting's theorem. A class of groups is called a Fitting class if it is closed under isomorphism, subnormal subgroups, and products of subnormal subgroups. For any Fitting class F, both the subnormal F subgroups and the normal F subgroups form lattices. This generalizes the above with F the class of nilpotent groups, and another example is with F the class of solvable groups. Central subgroups form a lattice. However, neither finite subgroups nor torsion subgroups form a lattice: for instance, the free product is generated by two torsion elements, but is infinite and contains elements of infinite order. The fact that normal subgroups form a modular lattice is a particular case of a more general result, namely that in any Maltsev variety (of which groups are an example), the lattice of congruences is modular .
Топтарды олардың кіші топтар тораптары бойынша сипаттау
Кейде кіші топтардың торы туралы теориялық ақпарат бастапқы топ туралы ақпаратты қорыту үшін қолданылуы мүмкін, бұл идея Форсайттың жұмысына дейін жетеді. Мысалы, Оре дәлелдегендей, топ жергілікті циклді болады, егер және ғана егер оның кіші топтар торы үлестірілетін болса. Егер торап өсу тізбегі шартын қанағаттандырса, онда топ циклдік болады. Кіші топтардың торы толықтырылған тор болатын топтар толықтырылған топтар деп аталады, ал кіші топтардың торы модульдік торлар болатын топтар Ивасава топтары немесе модульдік топтар деп аталады. Осындай теориялық сипаттамалар шешілмелі топтар мен кемел топтар үшін де бар.
Lattice theoretic information about the lattice of subgroups can sometimes be used to infer information about the original group, an idea that goes back to the work of For instance, as Ore proved, a group is locally cyclic if and only if its lattice of subgroups is distributive. If additionally the lattice satisfies the ascending chain condition, then the group is cyclic. Groups whose lattice of subgroups is a complemented lattice are called complemented groups , and groups whose lattice of subgroups are modular lattices are called Iwasawa groups or modular groups Lattice theoretic characterizations of this type also exist for solvable groups and perfect groups .