Введение

В математике решётка подгрупп группы – это решётка, элементами которой являются подгруппы группы, а частичным порядком – включение. В этой решётке объединением двух подгрупп является подгруппа, порождённая их объединением, а пересечением двух подгрупп – их пересечение.

Пример

Диэдрическая группа Dih4 имеет десять подгрупп, считая саму себя и тривиальную подгруппу. Пять из восьми элементов группы порождают подгруппы второго порядка, а два других, отличных от единичного, порождают одну и ту же циклическую подгруппу четвертого порядка. Кроме того, существуют две подгруппы вида Z2 × Z2, порожденные парами элементов порядка два. Решетка, образованная этими десятью подгруппами, показана на иллюстрации. Этот пример также демонстрирует, что решетка всех подгрупп группы не является модульной решеткой в общем случае. Действительно, эта конкретная решетка содержит запрещенный "пентагон" N5 в качестве подрешетки.

Свойства

Для любых подгрупп A, B и C группы, где A ≤ C (A является подгруппой C), выполняется AB ∩ C = A(B ∩ C); здесь умножение означает произведение подгрупп. Это свойство называется модульным свойством групп или модульным законом (Дедекинда). Поскольку для двух нормальных подгрупп произведение фактически является наименьшей подгруппой, содержащей обе, нормальные подгруппы образуют модульную решетку. Теорема о решетках устанавливает связь Галуа между решеткой подгрупп группы и решеткой ее факторгрупп. Лемма Зассенхауза дает изоморфизм между определенными комбинациями факторгрупп и произведений в решетке подгрупп. В общем случае, на форму решетки подгрупп нет ограничений, в том смысле, что любая решетка изоморфна подрешетке решетки подгрупп некоторой группы. Более того, любая конечная решетка изоморфна подрешетке решетки подгрупп некоторой конечной группы. Любая конечная дистрибутивная решетка также изоморфна решетке нормальных подгрупп некоторой группы.

Характерные решетки

Подгруппы с определенными свойствами образуют решетки, но другие свойства – нет. Нормальные подгруппы всегда образуют модульную решетку. Фактически, существенное свойство, гарантирующее модульность решетки, заключается в том, что подгруппы коммутируют друг с другом, то есть являются квазинормальными подгруппами. Нильпотентные нормальные подгруппы образуют решетку, что является (частью) содержания теоремы Фитинга. Класс групп называется классом Фитинга, если он замкнут относительно изоморфизма, субнормальных подгрупп и произведений субнормальных подгрупп. Для любого класса Фитинга F как субнормальные подгруппы из F, так и нормальные подгруппы из F образуют решетки. Это обобщает вышесказанное, рассматривая F как класс нильпотентных групп, а другим примером является F как класс разрешимых групп. Центральные подгруппы образуют решетку. Однако ни конечные подгруппы, ни подгруппы кручения не образуют решетку: например, свободный продукт генерируется двумя элементами кручения, но является бесконечным и содержит элементы бесконечного порядка. Тот факт, что нормальные подгруппы образуют модульную решетку, является частным случаем более общего результата, а именно, что в любой сорте Мальцева (в котором группы являются примером) решетка конгруэнций модулярна.

Характеристика групп по их подгруппам решетки

Теоретическая информация о решетке подгрупп иногда может быть использована для получения информации об исходной группе, идея, восходящая к работам, например, Оре. Так, Оре доказал, что группа локально циклична тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп является дистрибутивной. Если дополнительно решетка удовлетворяет условию восходящей цепи, то группа является циклической. Группы, решетка подгрупп которых является дополненной решеткой, называются дополненными группами, а группы, решетка подгрупп которых является модулярной решеткой, называются группами Ивасавы или модулярными группами. Существуют также теоретико-решеточные характеризации для разрешимых и совершенных групп.