Кіріспе
Проективті геометрияда, проективті кеңістіктер арасындағы коллинеарлықты сақтайтын биекция – коллинеация деп аталады. Коллинеация – бір проективті кеңістіктен екіншісіне немесе проективті кеңістіктен өзіне бір-бірге және толық (биекция) түрлендіру, мұнда коллинеар нүктелердің бейнелері де коллинеар болады. Осылайша, коллинеация – проективті кеңістіктер арасындағы изоморфизм немесе проективті кеңістіктің өзіне қатысты автоморфизм. Кейбір авторлар коллинеация анықтамасын автоморфизм жағдайымен ғана шектейді. Кеңістіктің өзіне қатысты барлық коллинеациялар жиынтығы топты құрайды, ол коллинеациялық топ деп аталады.
In projective geometry, a collineation is a one to one and onto map (a bijection) from one projective space to another, or from a projective space to itself, such that the images of collinear points are themselves collinear. A collineation is thus an isomorphism between projective spaces, or an automorphism from a projective space to itself. Some authors restrict the definition of collineation to the case where it is an automorphism. The set of all collineations of a space to itself form a group, called the collineation group.
Анықтама
Қарапайым түсіндіргенде, коллинеация – бір проективті кеңістіктен екінші проективті кеңістікке немесе проективті кеңістіктен өзіне дейінгі бір-бірге сәйкес келу. Мұнда түзу бойында жатқан нүктелердің бейнелері де түзу бойында жатады. Бұл анықтаманы проективті кеңістікті берудің әртүрлі жолдары арқылы формалдауға болады. Атап айтқанда, проективті түзудің жағдайы ерекше, сондықтан оны көбінесе бөлек қарастырады.
Сызықтық алгебра
Сызықтық алгебра тұрғысынан анықталған проективті кеңістік үшін (векторлық кеңістіктің проективтенуі ретінде) коллинеация – бұл проективті кеңістіктер арасындағы, кіші кеңістіктерді қамтуға қатысты ретті сақтайтын бейнелеу. Формальды түрде, V – K өрісі үстіндегі векторлық кеңістік, ал W – L өрісі үстіндегі векторлық кеңістік болсын. V және W векторларының түзулерінен тұратын PG(V) және PG(W) проективті кеңістіктерін қарастырайық. D(V) және D(W) V және W кіші кеңістіктерінің жиындарын атайық. PG(V) -дан PG(W) -ге дейінгі коллинеация – бұл α: D(V) → D(W) бейнелеуі, мұнда: α – биекция. Кез келген A, B ∈ D(V) үшін A ⊆ B ⇔ α(A) ⊆ α(B).
Call D(V) and D(W) the set of subspaces of V and W respectively. A collineation from PG(V) to PG(W) is a map α : D(V) → D(W), such that:
α is a bijection. A ⊆ B ⇔ α(A) ⊆ α(B) for all A, B in D(V).
Аксиомалық түрде
Проективті кеңістік инциденттік құрылым арқылы аксиомалық түрде анықталған (P нүктелер жиынтығы, L түзулер жиынтығы және I инциденттік қатынас, қай нүктелер қай түзулерде жатыр екенін көрсетеді, белгілі бір аксиомаларды қанағаттандырады), осылайша анықталған проективті кеңістіктер арасындағы коллинеация – нүктелер жиынтығы арасындағы биективті функция f және түзулер жиынтығы арасындағы биективті функция g болып, инциденттік қатынасты сақтайды. Үш немесе одан жоғары өлшемді кез келген проективті кеңістік, бөлу сақинасы арқылы сызықтық кеңістіктің проективтенуіне изоморфты, сондықтан бұл өлшемдерде бұл анықтама жоғарыдағы сызықтық алгебралық анықтамадан артық емес, бірақ екінші өлшемде басқа проективті жазықтықтар, атап айтқанда Десаргезиандық емес жазықтықтар бар, және бұл анықтама мұндай проективті жазықтықтардағы коллинеацияларды анықтауға мүмкіндік береді. Бірінші өлшем үшін бір проективті түзуде жатқан нүктелер жиынтығы проективті кеңістікті анықтайды, ал одан туындайтын коллинеация ұғымы – жиынның кез келген биекциясы болып табылады.
Түрлері
Коллинеациялардың негізгі мысалдары – проективтік сызықтық түрлендірулер (сонымен қатар гомографиялар деп те аталады) және автоморфты коллинеациялар. Сызықтық кеңістіктен туындаған проективтік кеңістіктер үшін проективтік геометрияның негізгі теоремасы, барлық коллинеациялардың осылардың комбинациясы екенін мәлімдейді, бұл төменде сипатталған.
Жобалық сызықтық түрлендірулер
Проективті сызықтық түрлендірулер (гомографиялар) – коллинеациялар (векторлық кеңістіктегі жазықтықтар сәйкес проективті кеңістіктегі түзулерге өтеді, ал сызықтық түрлендірулер жазықтықтарды жазықтықтарға бейнелейді, сондықтан проективті сызықтық түрлендірулер түзулерді түзулерге бейнелейді), бірақ жалпы жағдайда барлық коллинеациялар проективті сызықтық түрлендірулер емес. Проективті сызықтық түрлендірулер тобы (PGL) көбінесе коллинеация тобының бөлшекті кіші тобы болып табылады.
Автоморфты түйісулер
Карта – бұл координаттарда координаттарға қолданылатын өріс автоморфизмі болып табылатын карта.
Сызықтық құрылым
Осылайша, K егер жай өріс болса (немесе), онда 1=PGL = PΓL, бірақ K жай өріс емес болса (мысалы, n ≥ 2 үшін), проективтік сызықтық топ, әдетте, коллинеациялық топтың нақты кіші тобы болып табылады, оны "проективтік жартылай сызықтық құрылымды сақтаушы түрлендірулер" деп қарастыруға болады. Сәйкесінше, PΓL / PGL үлестік тобы "сызықтық құрылымды таңдауларға" сәйкес келеді, ал бірлік элемент (бастапқы нүкте) – қолданыстағы сызықтық құрылым. Егер проективтік кеңістік сызықтық кеңістіктің проективтенуі ретінде анықталмаған болса, онда коллинеациялық топ пен PΓL арасында табиғи изоморфизм болмайды, ал сызықтық құрылымды таңдау (сызықтық кеңістіктің проективтенуі ретінде іске асыру) PGL < PΓL кіші тобын таңдауға сәйкес келеді, мұндай таңдаулар Gal(K/k) үстінде торсор құрайды.
Тарих
Сызық идеясы коллинеарлықпен (бір түзуде жатқан нүктелер) анықталатын үштік қатынасқа абстракцияланды. Вильгельм Блашкеге сәйкес, геометриялық түрлендірудің осы мәнін алғаш рет абстракциялаған Август Мёбиус болды: Біздің геометриялық түрлендірулеріміз енді не білдіреді? Мёбиус бұл сұрақты өзінің Барицентрикалық есептеуінде (1827) көтеріп, қарастырды. Ол жерде ол түрлендірулер туралы емес, пермутациялар туралы [Verwandtschaften] айтты, бір доменнен алынған екі элемент кез келген теңдеу арқылы алмастырылғанда пермутацияланады деді. Біздің нақты жағдайда, біртекті нүктелік координаттар арасындағы сызықтық теңдеулер Мёбиус екі нүктелік кеңістіктің пермутациясын, атап айтқанда коллинеацияны [Verwandtschaft] деп атады. Бұл мағынаны кейінірек Чеслз гомографияға өзгертеді. Мёбиус айтқанын түсіну үшін, Мёбиуспен бірге нүктелер бір түзуде жатқанда оларды коллинеар деп атайық. Мёбиус белгісін былай түсіндіруге болады: коллинеарлық нүктелер пермутация арқылы коллинеарлық нүктелерге бейнеленеді, немесе қарапайым тілмен айтқанда, түзу сызықтар түзу болып қалады. Қазіргі заманғы математиктер геометрияны инциденттік құрылым ретінде қарастырады, онда автоморфизм тобы негізгі кеңістіктің инциденттілікті сақтайтын бейнелеулерінен тұрады. Мұндай бейнелеу инциденттік құрылымның түзулерін өзгертеді және коллинеация ұғымы сақталады. Блашке мен Клейн атап өткендей, Мишель Часлес коллинеацияға қарағанда гомография терминін артық көреді. Терминдердің арасындағы ерекшелік нақты проективті жазықтық пен күрделі проективті түзу арасындағы ерекшелік анықталғанда туындады. Нақты сандар өрісінің тривиалды емес өрістік автоморфизмдері болмағандықтан, нақты проективті жазықтықтағы барлық коллинеациялар гомография болып табылады, бірақ күрделі конъюгацияның өрістік автоморфизміне байланысты, күрделі проективті түзудің барлық коллинеациялары гомография емес. Компьютерлік көру сияқты қолдануларда, негізгі өріс нақты сандар өрісі болғанда, гомография мен коллинеация бір-бірін алмастыра қолданылуы мүмкін.
What do our geometric transformations mean now? Möbius threw out and fielded this question already in his Barycentric Calculus (1827). There he spoke not of transformations but of permutations [Verwandtschaften], when he said two elements drawn from a domain were permuted when they were interchanged by an arbitrary equation. In our particular case, linear equations between homogeneous point coordinates, Möbius called a permutation [Verwandtschaft] of both point spaces in particular a collineation. This signification would be changed later by Chasles to homography. Möbius’ expression is immediately comprehended when we follow Möbius in calling points collinear when they lie on the same line. Möbius' designation can be expressed by saying, collinear points are mapped by a permutation to collinear points, or in plain speech, straight lines stay straight. Contemporary mathematicians view geometry as an incidence structure with an automorphism group consisting of mappings of the underlying space that preserve incidence. Such a mapping permutes the lines of the incidence structure, and the notion of collineation persists. As mentioned by Blaschke and Klein, Michel Chasles preferred the term homography to collineation. A distinction between the terms arose when the distinction was clarified between the real projective plane and the complex projective line. Since there are no non trivial field automorphisms of the real number field, all the collineations are homographies in the real projective plane, however due to the field automorphism of complex conjugation, not all collineations of the complex projective line are homographies. In applications such as computer vision where the underlying field is the real number field, homography and collineation can be used interchangeably.
Гомографияға қарсы
Комплексті жазықтықтағы күрделі түйіндестің алынуы нақты сызықтағы шағылысуға тең. z-ның түйіндесі z* деп белгіленсе, антигомография былай беріледі:
Осылайша, антигомография – гомографиямен түйіндестірудің қосылысы, және ол гомография емес коллинеацияның мысалы. Мысалы, геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл бейнелеу шеңбердің инверсиясына тең. Жазықтықтың инверсивті геометриясының түрлендірулері жиі күрделі жазықтықтың барлық гомографиялары мен антигомографияларының жиынтығы ретінде сипатталады.