Введение
В проективной геометрии коллинеация — это взаимно однозначное и отображающее (биекция) соответствие между проективными пространствами, или отображение проективного пространства на само себя, сохраняющее коллинеарность точек. Таким образом, коллинеация является изоморфизмом между проективными пространствами или автоморфизмом проективного пространства. Некоторые авторы ограничивают определение коллинеации случаем автоморфизма. Множество всех коллинеаций пространства на себя образует группу, называемую коллинеационной группой.
In projective geometry, a collineation is a one to one and onto map (a bijection) from one projective space to another, or from a projective space to itself, such that the images of collinear points are themselves collinear. A collineation is thus an isomorphism between projective spaces, or an automorphism from a projective space to itself. Some authors restrict the definition of collineation to the case where it is an automorphism. The set of all collineations of a space to itself form a group, called the collineation group.
Определение
Проще говоря, коллинеация — это взаимно однозначное отображение одного проективного пространства в другое или в само себя, при котором образы коллинеарных точек также являются коллинеарными. Это понятие можно формализовать, используя различные представления проективного пространства. Кроме того, случай проективной прямой является особым и, следовательно, обычно рассматривается отдельно.
Линейная алгебра
Для проективного пространства, определенного в терминах линейной алгебры (как проективизация векторного пространства), коллинеация — это отображение между проективными пространствами, сохраняющее порядок относительно включения подпространств. Формально, пусть V — векторное пространство над полем K, а W — векторное пространство над полем L. Рассмотрим проективные пространства PG(V) и PG(W), состоящие из векторных прямых в V и W. Обозначим D(V) и D(W) множествами подпространств V и W соответственно. Коллинеация из PG(V) в PG(W) — это отображение α : D(V) → D(W), такое что: α — биекция. A ⊆ B ⇔ α(A) ⊆ α(B) для всех A, B из D(V).
Call D(V) and D(W) the set of subspaces of V and W respectively. A collineation from PG(V) to PG(W) is a map α : D(V) → D(W), such that:
α is a bijection. A ⊆ B ⇔ α(A) ⊆ α(B) for all A, B in D(V).
Аксиоматически
При заданном проективном пространстве, определенном аксиоматически в терминах структуры инцидентности (множества точек P, прямых L и отношения инцидентности I, определяющего, какие точки лежат на каких прямых, удовлетворяющего определенным аксиомам), коллинеация между такими определенными проективными пространствами является биективным отображением f между множествами точек и биективным отображением g между множествами прямых, сохраняющим отношение инцидентности. Каждое проективное пространство размерности, большей или равной трем, изоморфно проективизации линейного пространства над полем с делением, поэтому в этих размерностях данное определение не шире, чем линейно-алгебраическое, приведенное выше, но в размерности два существуют другие проективные плоскости, а именно недесаргезианские плоскости, и это определение позволяет определить коллинеации в таких проективных плоскостях. Для размерности один множество точек, лежащих на одной проективной прямой, определяет проективное пространство, а результирующее понятие коллинеации представляет собой просто любое биективное отображение множества.
Типы
Основными примерами коллинеаций являются проективные линейные преобразования (также известные как гомографии) и автоморфные коллинеации. Для проективных пространств, полученных из линейного пространства, фундаментальная теорема проективной геометрии утверждает, что все коллинеации представляют собой комбинацию этих преобразований, как описано ниже.
Проективные линейные преобразования
Проективные линейные преобразования (гомографии) являются коллинеациями (плоскости в векторном пространстве соответствуют прямым в ассоциированном проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости на плоскости, следовательно, проективные линейные преобразования отображают прямые на прямые), но, как правило, не все коллинеации являются проективными линейными преобразованиями. Группа проективных линейных преобразований (PGL) обычно является собственной подгруппой коллинеационной группы.
Автоморфные коллинеации
Инволюция — это отображение, которое в координатах является автоморфизмом поля, примененным к координатам.
Линейная структура
Таким образом, для K простого поля (или ), у нас есть 1=PGL = PΓL, но для K, не являющегося простым полем (например, или для n ≥ 2), проективная линейная группа, как правило, является собственной подгруппой коллинеационной группы, которую можно рассматривать как «преобразования, сохраняющие проективную полулинейную структуру». Соответственно, фактор-группа PΓL / PGL ≅ Gal(K/k) соответствует «выбору линейной структуры», при этом единичный элемент (базовая точка) является существующей линейной структурой. Для заданного проективного пространства, не отождествленного с проективизацией линейного пространства, естественного изоморфизма между коллинеационной группой и PΓL не существует, и выбор линейной структуры (реализация как проективизация линейного пространства) соответствует выбору подгруппы PGL < PΓL, при этом эти выборы образуют торсор над Gal(K/k).
История
Идея прямой была абстрагирована до тройного отношения, определяемого коллинеарностью (точки, лежащие на одной прямой). Согласно Вильгельму Блашке, именно Август Мёбиус впервые абстрагировал эту сущность геометрического преобразования: Что означают наши геометрические преобразования теперь? Мёбиус сформулировал и задал этот вопрос еще в своем Барицентрическом исчислении (1827). Там он говорил не о преобразованиях, а о взаимосвязях [Verwandtschaften], утверждая, что два элемента, взятых из области, взаимосвязываются, когда они заменяются произвольным уравнением. В нашем конкретном случае, линейные уравнения между однородными точечными координатами, Мёбиус назвал взаимосвязью [Verwandtschaft] обоих точечных пространств, в частности, коллинеацией. Это значение позднее было изменено Чеслсом на гомографию. Выражение Мёбиуса становится понятным, если следовать за Мёбиусом и называть точки коллинеарными, когда они лежат на одной прямой. Обозначение Мёбиуса можно выразить так: коллинеарные точки отображаются взаимосвязью в коллинеарные точки, или, проще говоря, прямые линии остаются прямыми. Современные математики рассматривают геометрию как инцидентную структуру с группой автоморфизмов, состоящей из отображений базового пространства, сохраняющих инцидентность. Такое отображение переставляет линии инцидентной структуры, и понятие коллинеации сохраняется. Как отмечают Блашке и Клейн, Мишель Часлес предпочитал термин гомография термину коллинеация. Различие между этими терминами возникло, когда было уточнено различие между вещественной проективной плоскостью и комплексной проективной прямой. Поскольку не существует нетривиальных автоморфизмов поля вещественных чисел, все коллинеации являются гомографиями в вещественной проективной плоскости, однако, благодаря автоморфизму поля комплексного сопряжения, не все коллинеации комплексной проективной прямой являются гомографиями. В таких приложениях, как компьютерное зрение, где базовым полем является поле вещественных чисел, гомография и коллинеация могут использоваться взаимозаменяемо.
What do our geometric transformations mean now? Möbius threw out and fielded this question already in his Barycentric Calculus (1827). There he spoke not of transformations but of permutations [Verwandtschaften], when he said two elements drawn from a domain were permuted when they were interchanged by an arbitrary equation. In our particular case, linear equations between homogeneous point coordinates, Möbius called a permutation [Verwandtschaft] of both point spaces in particular a collineation. This signification would be changed later by Chasles to homography. Möbius’ expression is immediately comprehended when we follow Möbius in calling points collinear when they lie on the same line. Möbius' designation can be expressed by saying, collinear points are mapped by a permutation to collinear points, or in plain speech, straight lines stay straight. Contemporary mathematicians view geometry as an incidence structure with an automorphism group consisting of mappings of the underlying space that preserve incidence. Such a mapping permutes the lines of the incidence structure, and the notion of collineation persists. As mentioned by Blaschke and Klein, Michel Chasles preferred the term homography to collineation. A distinction between the terms arose when the distinction was clarified between the real projective plane and the complex projective line. Since there are no non trivial field automorphisms of the real number field, all the collineations are homographies in the real projective plane, however due to the field automorphism of complex conjugation, not all collineations of the complex projective line are homographies. In applications such as computer vision where the underlying field is the real number field, homography and collineation can be used interchangeably.
Антигомография
Операция взятия комплексно сопряженного в комплексной плоскости эквивалентна отражению относительно действительной оси. Обозначая комплексно сопряженное к z как z*, антигомография задается следующим образом:
Таким образом, антигомография является композицией конъюгирования с гомографией и, следовательно, представляет собой пример коллинеации, не являющейся гомографией. Например, геометрически, отображение соответствует инверсии окружности. Преобразования инверсивной геометрии плоскости часто описываются как множество всех гомографий и антигомографий комплексной плоскости.