Кванттық шашыраудағы Липпман-Швингер теңдеуі

Кіріспе

Кванттық шашырау мәселелерінде қолданылатын теңдеу Липпманн-Швингер теңдеуі (Бернард Липпманн мен Джулиан Швингердің есімдерімен аталады) – кванттық механикада бөлшектердің соқтығысуын, немесе дәлірек айтқанда, шашырауын сипаттау үшін ең көп қолданылатын теңдеулердің бірі. Ол молекулалардың, атомдардың, нейтрондардың, фотондардың немесе кез келген басқа бөлшектердің шашырауында қолданылуы мүмкін және негізінен атомдық, молекулалық және оптикалық физикада, ядролық физикада және бөлшектер физикасында, сондай-ақ геофизикадағы сейсмикалық шашырау мәселелерінде маңызды. Ол шашыраңқы толқындық функцияны шашырауды тудыратын өзара әрекеттесумен (шашырау потенциалы) байланыстырады, демек тиісті тәжірибелік параметрлерді (шашырау амплитудасы және көлденең қималарын) есептеуге мүмкіндік береді. Кез келген кванттық құбылысты, соның ішінде шашырауды сипаттаудың ең негізгі теңдеуі – Шредингер теңдеуі. Физикалық мәселелерде бұл дифференциалдық теңдеуді зерттеліп отырған нақты физикалық жүйе үшін бастапқы және/немесе шекаралық шарттардың қосымша жиынтығын енгізу арқылы шешу қажет. Липпманн-Швингер теңдеуі Шредингер теңдеуіне және шашырау мәселелерінің әдеттегі шекаралық шарттарына эквивалентті. Шекаралық шарттарды қосу үшін Липпманн-Швингер теңдеуін интегралдық теңдеу түрінде жазу керек. Шашырау мәселелері үшін Липпманн-Швингер теңдеуі бастапқы Шредингер теңдеуінен көбірек қолайлы. Липпманн-Швингер теңдеуінің жалпы түрі (іс жүзінде, төменде екі теңдеу көрсетілген, біреуі «+» белгісі үшін, екіншісі «-» белгісі үшін):

Equation used in quantum scattering problems

The Lippmann–Schwinger equation (named after Bernard Lippmann and Julian Schwinger) is one of the most used equations to describe particle collisions – or, more precisely, scattering – in quantum mechanics. It may be used in scattering of molecules, atoms, neutrons, photons or any other particles and is important mainly in atomic, molecular, and optical physics, nuclear physics and particle physics, but also for seismic scattering problems in geophysics. It relates the scattered wave function with the interaction that produces the scattering (the scattering potential) and therefore allows calculation of the relevant experimental parameters (scattering amplitude and cross sections). The most fundamental equation to describe any quantum phenomenon, including scattering, is the Schrödinger equation. In physical problems, this differential equation must be solved with the input of an additional set of initial and/or boundary conditions for the specific physical system studied. The Lippmann–Schwinger equation is equivalent to the Schrödinger equation plus the typical boundary conditions for scattering problems. In order to embed the boundary conditions, the Lippmann–Schwinger equation must be written as an integral equation. For scattering problems, the Lippmann–Schwinger equation is often more convenient than the original Schrödinger equation. The Lippmann–Schwinger equation's general form is (in reality, two equations are shown below, one for the sign and other for the sign):

The potential energy describes the interaction between the two colliding systems. The Hamiltonian describes the situation in which the two systems are infinitely far apart and do not interact. Its eigenfunctions are and its eigenvalues are the energies Finally, is a mathematical technicality necessary for the calculation of the integrals needed to solve the equation. It is a consequence of causality, ensuring that scattered waves consist only of outgoing waves. This is made rigorous by the limiting absorption principle.

Потенциалдық энергия екі соқтығысқан жүйенің өзара әрекеттесуін сипаттайды. Гамильтониан екі жүйенің бір-бірінен шексіз қашықта орналасқан және өзара әрекеттеспейтін жағдайды сипаттайды. Оның өзіндік функциялары және өзіндік мәндері – энергиялар. Соңында, теңдеуді шешуге қажетті интегралдарды есептеу үшін қажетті математикалық техникалық құрал. Бұл себеп-салдар қағидасының салдары, шашыраңқы толқындар тек шығу толқындарынан ғана тұратынын қамтамасыз етеді. Бұл абсорбцияны шектеу принципімен нақтыланады.

Қолданылуы

Липпманн-Швингер теңдеуі екі дене шашырауына қатысты көптеген жағдайларда қолданылады. Үш немесе одан көп дене соқтығысқанда математикалық шектеулерге байланысты тиімді жұмыс істемейді; оның орнына Фадеев теңдеулерін пайдалануға болады. Дегенмен, көп денелік проблеманы түрлі жағдайларда екі денелік проблемалар жиынтығына дейін кемітуге мүмкіндік беретін жуықтаулар бар. Мысалы, электрондар мен молекулалардың соқтығысуында ондаған немесе жүздеген бөлшектер қатысуы мүмкін. Бірақ осы құбылысты екі денелік проблемаға дейін азайту үшін молекула құрамындағы барлық бөлшектердің потенциалдарын және псевдопотенциалды бірге сипаттау қажет. Мұндай жағдайларда Липпманн-Швингер теңдеулерін қолдануға болады. Әрине, осы тәсілдердің басты себебі – есептеулерді айтарлықтай аз еңбекпен жасау мүмкіндігі.

Ерітінді әдістері

Математикалық тұрғыдан алғанда, координаттық өрнектемедегі Липпманн-Швингер теңдеуі Фредгольм типіндегі интегралды теңдеу болып табылады. Оны дискреттеу арқылы шешуге болады. Ол тиісті шекаралық шарттармен уақыттан тәуелсіз дифференциалдық Шредингер теңдеуіне эквивалентті болғандықтан, дифференциалдық теңдеулерге арналған сандық әдістермен де шешілуі мүмкін. Сфералық симметриялы потенциал жағдайында ол әдетте бөлшек толқындық талдау арқылы шешіледі. Жоғары энергиялар және/немесе нашар потенциал үшін оны Борн қатары арқылы бұзылыс теориясымен де шешуге болады. Көп дене физикасында, мысалы атомдық, ядролық немесе молекулалық соқтығыстарды сипаттауда қолданылатын ыңғайлы әдіс – Вигнер және Айзенбудтың R-матрицасы әдісі. Тағы бір әдістер класы потенциалдың немесе Грин операторының бөлінетін кеңейтуіне негізделген, мысалы, Хорачек пен Сасакаваның үздік бөлшектер әдісі. Өте маңызды әдістер класы вариациялық принциптерге негізделген, мысалы, Швингердің вариациялық принципі мен Ланчос алгоритмін біріктіретін Швингер-Ланчос әдісі.

S-матрицалық парадигма

Джон Арчибальд Уилер және басқалардың бастамасымен қалыптасқан бөлшектер физикасының S-матрицалық формуласында барлық физикалық процестер келесі парадигма бойынша үлгіленеді. Бірінші қадам – алыс өткендегі өзара әрекеттеспейтін көпбөлшектік күйді қарастыру. Өзара әрекеттеспеу дегеніміз, барлық күштер өшірілгенін білдірмейді, ондай жағдайда мысалы, протондар ыдырай бастайды, ал керісінше, өзара әрекеттесусіз H0 Гамильтонианы бар, ондағы байланысқан күйлердің энергия деңгейлерінің спектрі нақты H Гамильтонианымен сәйкес келеді. Бұл бастапқы күй «кіріс күйі» деп аталады. Интуитивті тұрғыдан алғанда, ол элементар бөлшектерден немесе байланысқан күйлерден тұрады, олардың аралық қашықтығы соншалықты үлкен, олардың өзара әрекеттесуі ескерілмейді. Идея мынада: зерттелетін кез келген физикалық процесті осы жақсы бөлінген байланысқан күйлердің шашырауы ретінде модельдеуге болады. Бұл процесс толық H Гамильтонианымен сипатталады, бірақ ол аяқталғаннан кейін барлық жаңа элементар бөлшектер мен байланысқан күйлер қайтадан бөлінеді және «шығыс күйі» деп аталатын жаңа өзара әрекеттеспейтін күй табылады. S-матрицасы Гамильтонианнан гөрі салыстырмалылық теориясы тұрғысынан симметриялы, себебі оны анықтау үшін уақыт тілімдерін таңдау қажет емес. Бұл парадигма 70 жыл бойындағы бөлшектерді ұқтыру эксперименттерінде байқалған барлық процестердің ықтималдығын өте жоғары дәлдікпен есептеуге мүмкіндік береді. Бірақ көптеген қызықты физикалық құбылыстар осы парадигмаға түсінікті емес. Мысалы, егер нейтрон жұлдызының ішкі динамикасын қарастырғысы келсе, кейде ол соңғы ыдырауы нені құрайтынын ғана білуге тырыспайды. Басқаша айтқанда, асимптотикалық болашақта емес, өлшемдерге қызығушылық танытуы мүмкін. Кейде асимптотикалық өткен немесе болашақ тіпті қол жетімді емес. Мысалы, Ұлы жарылыстан бұрын өткен уақыт болмауы мүмкін. 1960 жылдары көптеген физиктер S-матрицалық парадигманы табиғаттың негізгі заңы деңгейіне көтерді. S-матрицалық теорияда, өлшенетін кез келген шама белгілі бір процесс үшін S-матрицада болуы керек делінген. Бұл идея S-матрицалық техниканың массалық қабыққа шектелген Фейнман диаграммаларына бере алатын физикалық интерпретациясынан туындады және қос резонанстық модельдерді құруға әкелді. Бірақ бұл өте даулы болды, себебі ол жергілікті өрістер мен Гамильтониандарға негіделген кванттық өріс теориясының дұрыстығын жоққа шығарды.

In the S matrix formulation of particle physics, which was pioneered by John Archibald Wheeler among others, all physical processes are modeled according to the following paradigm. One begins with a non interacting multiparticle state in the distant past. Non interacting does not mean that all of the forces have been turned off, in which case for example protons would fall apart, but rather that there exists an interaction free Hamiltonian H0, for which the bound states have the same energy level spectrum as the actual Hamiltonian H. This initial state is referred to as the in state. Intuitively, it consists of elementary particles or bound states that are sufficiently well separated that their interactions with each other are ignored. The idea is that whatever physical process one is trying to study may be modeled as a scattering process of these well separated bound states. This process is described by the full Hamiltonian H, but once it's over, all of the new elementary particles and new bound states separate again and one finds a new noninteracting state called the out state. The S matrix is more symmetric under relativity than the Hamiltonian, because it does not require a choice of time slices to define. This paradigm allows one to calculate the probabilities of all of the processes that we have observed in 70 years of particle collider experiments with remarkable accuracy. But many interesting physical phenomena do not obviously fit into this paradigm. For example, if one wishes to consider the dynamics inside of a neutron star sometimes one wants to know more than what it will finally decay into. In other words, one may be interested in measurements that are not in the asymptotic future. Sometimes an asymptotic past or future is not even available. For example, it is very possible that there is no past before the Big Bang. In the 1960s, the S matrix paradigm was elevated by many physicists to a fundamental law of nature. In S matrix theory, it was stated that any quantity that one could measure should be found in the S matrix for some process. This idea was inspired by the physical interpretation that S matrix techniques could give to Feynman diagrams restricted to the mass shell, and led to the construction of dual resonance models. But it was very controversial, because it denied the validity of quantum field theory based on local fields and Hamiltonians.

LippmannSchwinger компаниясымен байланыс

Интуитивті түрде, толық Гамильтонианның сәл деформацияланған өзіндік функциялары кіріс және шығыс күйлері болып табылады. Бұл өзара әрекеттеспейтін күйлер, ол шексіз өткенде және шексіз болашақта кіріс және шығыс күйлеріне ұқсайды.

Контурлық интеграл

Бұл интегралды күрделі E жазықтығында толқындық функцияны анықтап, толқындық функциялар нөлге тең болатын жарты шеңбер арқылы E контурын жабу арқылы есептеуге болады. Жабық контур бойынша интегралды Каши интеграл теоремасын қолданып, әртүрлі полюстердегі қалдықтардың қосындысы ретінде есептеуге болады. Енді біз уақытқа қатысты қалдықтардың уақытқа қатысты қалдықтарға жақындасатынын және осылайша сәйкес толқындық пакеттер уақыт шексіздігінде тең болатынын көрсетеміз. Шындығында, t өте оң мәнді болғанда, Шредингер суретіндегі күйдегі фактор контурды төменгі жарты жазықтықта жабуға мәжбүрлейді. Липпманн-Швингер теңдеуіндегі полюс өзара әрекеттесудің уақыт белгісіздігін көрсетеді, ал толқындық пакеттердің салмақ функциясындағы полюс өзара әрекеттесудің ұзақтығын көрсетеді. Бұл екі типтегі полюстер де шекті ойқас энергияда пайда болады және сондықтан өте үлкен уақытта жойылады. Ауыстырғыштағы энергия айырмашылығының полюсі , жағдайында жоғарғы жарты жазықтықта орналасқан, сондықтан интеграл контурының ішінде жатпайды және интегралға үлес қоспайды. Қалғаны толқындық пакетке тең. Осылайша, өте кейінге қалған уақытта , асимптотикалық өзара әрекеттеспейтін шығу күйі ретінде анықталады. Сол сияқты, өте теріс уақытта сәйкес толқындық пакетті интегралдауға болады. Бұл жағдайда контур жоғарғы жарты жазықтықта жабылуы керек, сондықтан төменгі жарты жазықтықта орналасқан , энергия полюсін өткізіп алады. Содан кейін асимптотикалық өткенде және толқындық пакеттер тең екені, анықталады, асимптотикалық өзара әрекеттеспейтін кіріс күйі ретінде.

Липпманның Швингердің күрделі атаушысы

Бұл 's-ті асимптотикалық күйлер ретінде анықтау Липпманн-Швингер теңдеулерінің бөлгішіндегі терминді негіздейді.

Гомогендеу

Грин функциясын қолдану арқылы Липпманн-Швингер теңдеуі гомогендеу теориясындағы (мысалы, механика, өткізгіштік, диэлектрлік тұрақтылық) ұқсас теңдеулерге ие.