Введение
Уравнение, используемое в квантовых задачах рассеяния
Уравнение Липпмана — Швингера (названо в честь Бернарда Липпмана и Джулиана Швингера) является одним из наиболее часто используемых уравнений для описания столкновений частиц – или, точнее, рассеяния – в квантовой механике. Оно может применяться к рассеянию молекул, атомов, нейтронов, фотонов или любых других частиц и особенно важно в атомной, молекулярной и оптической физике, ядерной физике и физике частиц, а также для задач сейсмического рассеяния в геофизике. Оно связывает рассеянную волновую функцию с взаимодействием, вызывающим рассеяние (потенциалом рассеяния), и, следовательно, позволяет вычислять соответствующие экспериментальные параметры (амплитуду рассеяния и сечения рассеяния). Самым фундаментальным уравнением для описания любого квантового явления, включая рассеяние, является уравнение Шрёдингера. В физических задачах это дифференциальное уравнение необходимо решать с учетом дополнительного набора начальных и/или граничных условий для конкретной изучаемой физической системы. Уравнение Липпмана — Швингера эквивалентно уравнению Шрёдингера вместе с типичными граничными условиями для задач рассеяния. Чтобы включить граничные условия, уравнение Липпмана — Швингера должно быть записано в виде интегрального уравнения. Для задач рассеяния уравнение Липпмана — Швингера часто удобнее, чем исходное уравнение Шрёдингера. Общая форма уравнения Липпмана — Швингера (на самом деле, ниже представлены два уравнения, одно для знака плюс, а другое для знака минус):
Потенциальная энергия описывает взаимодействие между двумя сталкивающимися системами. Гамильтониан описывает ситуацию, когда две системы находятся бесконечно далеко друг от друга и не взаимодействуют. Его собственные функции – это , а собственные значения – энергии. Наконец, – это математическая деталь, необходимая для вычисления интегралов, требуемых для решения уравнения. Она является следствием принципа причинности и гарантирует, что рассеянные волны состоят только из выходящих волн. Это обеспечивается строгим применением принципа предельного поглощения.
Использование
Уравнение Липпмана — Швингера полезно в огромном количестве ситуаций, связанных с рассеянием двух частиц. Для трех и более сталкивающихся частиц оно работает плохо из-за математических ограничений; вместо него можно использовать уравнения Фаддеева. Однако существуют приближения, позволяющие свести задачу о взаимодействии многих частиц к набору задач о взаимодействии двух частиц в различных случаях. Например, при столкновении электронов и молекул могут участвовать десятки или сотни частиц. Но это явление можно свести к задаче о двух частицах, описав все потенциалы составляющих молекулу частиц вместе с псевдопотенциалом. В таких случаях уравнения Липпмана — Швингера могут быть применены. Разумеется, основными мотивами этих подходов также является возможность проведения вычислений с существенно меньшими вычислительными затратами.
Способы растворения
С математической точки зрения, уравнение Липпмана — Швингера в координатном представлении является интегральным уравнением типа Фредгольма. Его можно решить методом дискретизации. Поскольку оно эквивалентно дифференциальному уравнению Шрёдингера, не зависящему от времени, с соответствующими граничными условиями, его также можно решать численными методами для дифференциальных уравнений. В случае сферически симметричного потенциала оно обычно решается методом анализа на частичные волны. При высоких энергиях и/или слабом потенциале его также можно решать возмущениями с использованием ряда Борна. Метод, удобный также в физике многих тел, например, при описании атомных, ядерных или молекулярных столкновений, — это метод R-матрицы Вигнера и Эйзенбуда. Другой класс методов основан на разделяемом представлении потенциала или оператора Грина, например, метод цепных дробей Горачека и Сасакавы. Очень важный класс методов основан на вариационных принципах, например, метод Швингера — Ланчоса, сочетающий вариационный принцип Швингера с алгоритмом Ланчоса.
Парадигма S-матрицы
В формулировке матрицы S физики частиц, которая была разработана Джоном Арчибальдом Уилером и другими, все физические процессы моделируются в соответствии со следующей парадигмой. Начинают с не взаимодействующего многочастичного состояния в далёком прошлом. Не взаимодействующее не означает, что все силы выключены, в этом случае, например, протоны распадутся, а скорее, что существует гамильтониан, свободный от взаимодействия – H0, для которого связанные состояния имеют тот же спектр энергетических уровней, что и у фактического гамильтониана H. Это начальное состояние называется «входящим состоянием». Интуитивно, оно состоит из элементарных частиц или связанных состояний, достаточно хорошо разделённых, чтобы их взаимодействием друг с другом можно было пренебречь. Идея заключается в том, что любой физический процесс, который мы пытаемся изучить, можно смоделировать как процесс рассеяния этих хорошо разделённых связанных состояний. Этот процесс описывается полным гамильтонианом H, но как только он завершается, все новые элементарные частицы и новые связанные состояния снова разделяются, и мы получаем новое не взаимодействующее состояние, называемое «исходящим состоянием». Матрица S более симметрична относительно релятивистских преобразований, чем гамильтониан, поскольку для её определения не требуется выбор временных сечений. Эта парадигма позволяет вычислять вероятности всех процессов, которые мы наблюдали за 70 лет экспериментов на коллайдерах частиц, с замечательной точностью. Однако многие интересные физические явления не очевидно вписываются в эту парадигму. Например, если кто-то хочет рассмотреть динамику внутри нейтронной звезды, то иногда требуется знать не только то, во что она в конечном итоге распадётся. Иными словами, может представлять интерес изучение измерений, которые не относятся к асимптотическому будущему. Иногда асимптотическое прошлое или будущее даже недоступны. Например, вполне возможно, что до Большого взрыва прошлого не существовало. В 1960-х годах многие физики возвели парадигму S-матрицы в ранг фундаментального закона природы. В теории S-матрицы утверждалось, что любое измеряемое количество должно определяться в S-матрице для некоторого процесса. Эта идея была вдохновлена физической интерпретацией, которую методы S-матрицы могли придать диаграммам Фейнмана, ограниченным массовой оболочкой, и привела к построению моделей двойных резонансов. Однако это было весьма спорно, поскольку отрицало обоснованность квантовой теории поля, основанной на локальных полях и гамильтонианах.
Связь с Lippmann Schwinger
Интуитивно, слегка искажённые собственные функции полного гамильтониана H являются входящими и выходящими состояниями. Это состояния, не испытывающие взаимодействия, которые подобны входящим и выходящим состояниям в бесконечно далёком прошлом и бесконечно далёком будущем.
Контурный интеграл
Этот интеграл можно вычислить, определив волновую функцию на комплексной плоскости E и замкнув контур E полукругом, на котором волновые функции стремятся к нулю. Затем интеграл по замкнутому контуру можно вычислить, используя теорему Коши об интегралах, как сумму остатков в различных полюсах. Мы покажем, что остатки стремятся к остаткам при времени t, и, следовательно, соответствующие волновые пакеты равны при больших временах. Фактически, при очень больших положительных t фактор в представлении Шрёдингера заставляет замкнуть контур в нижней полуплоскости. Полюс в уравнении Липпмана — Швингера отражает временную неопределенность взаимодействия, а полюс в весовой функции волнового пакета — длительность взаимодействия. Оба этих типа полюсов возникают при конечных мнимых энергиях и поэтому подавляются при очень больших временах. Полюс в разности энергий в знаменателе находится в верхней полуплоскости для , и поэтому не лежит внутри интегрального контура и не вносит вклад в интеграл. Оставшаяся часть равна волновому пакету. Таким образом, при очень больших временах , отождествляя как асимптотическое не взаимодействующее выходное состояние. Аналогично можно проинтегрировать волновой пакет, соответствующий при очень больших отрицательных t. В этом случае контур необходимо замкнуть над верхней полуплоскостью, что, следовательно, исключает энергетический полюс , который находится в нижней полуплоскости. Тогда можно обнаружить, что волновые пакеты и равны в асимптотическом прошлом, отождествляя как асимптотическое не взаимодействующее входное состояние.
Комплексный знаменатель Липпмана Швингера
Эта идентификация s как асимптотических состояний является обоснованием наличия s в знаменателе уравнений Липпмана — Швингера.
Гомогенизация
С использованием функции Грина уравнение Липпмана — Швингера находит соответствия в теории гомогенизации (например, в механике, электропроводности и диэлектрической проницаемости).