Кіріспе
Инверсиялық симметриясы бар көпқырлы математикада гермиттік симметриялық кеңістік – әрбір нүктеде гермиттік құрылымын сақтайтын инверсиялық симметриясы бар гермиттік көпқырлыны білдіреді. Алғаш рет Эли Картан зерттеген, олар нақты көпқырлылардан күрделі көпқырлыларға Риман симметриялық кеңістігінің түсінігін табиғи түрде жалпылайды. Кез келген гермиттік симметриялық кеңістік өзінің изометриялық тобы үшін біртекті кеңістік болып табылады және бөлшектік емес кеңістік пен евклидтік кеңістіктің көбейтіндісі ретінде бірегей түрде ыдырайды. Бөлшектік емес кеңістіктер жұптар түрінде пайда болады, Борел көрскендей, оларды олардың компактты жалқы кеңістігінің ашық ішкі кеңістігі ретінде енгізуге болады. Хариш-Чандра әрбір бөлшектік емес кеңістікті күрделі векторлық кеңістікте шектеулі симметриялық домен ретінде жүзеге асыруға болатынын көрсетті. Ең қарапайым жағдай SU(2), SU(1,1) топтарын және олардың ортақ күрделіленуін SL(2,C) қамтиды. Бұл жағдайда бөлшектік емес кеңістік – бірлік дискі, SU(1,1) үшін біртекті кеңістік. Бұл күрделі жазықтықтағы С шектеулі домені. С-ның бір нүктелік тығыздалуы, Риман сферасы, жалқы кеңістік, SU(2) және SL(2,C) үшін біртекті кеңістік. Бөлшектік емес компактты гермиттік симметриялық кеңістіктер – бұл максималды тор бар және ортасы шеңбер тобына изоморфты болатын максималды жабық байланысқан ішкі топтар арқылы қарапайым компактты Ли топтарының біртекті кеңістіктері. Бөлшектік емес кеңістіктердің толық жіктелуі бар, Картан зерттеген төрт классикалық қатар және екі ерекше жағдай; жіктелуді Борель-де Сибенталь теориясынан алуға болады, ол ең үлкен торды қамтитын жабық байланысқан ішкі топтарды жіктейді. Гермиттік симметриялық кеңістіктер Джордан үштік жүйелерінің теориясында, бірнеше күрделі айнымалыларда, күрделі геометрияда, автоморфтық формаларда және топтық бейнелеулерде, әсіресе жартылай қарапайым Ли топтарының голоморфты дискретті қатарлы бейнелеулерін құруға мүмкіндік береді.
In mathematics, a Hermitian symmetric space is a Hermitian manifold which at every point has an inversion symmetry preserving the Hermitian structure. First studied by Élie Cartan, they form a natural generalization of the notion of Riemannian symmetric space from real manifolds to complex manifolds. Every Hermitian symmetric space is a homogeneous space for its isometry group and has a unique decomposition as a product of irreducible spaces and a Euclidean space. The irreducible spaces arise in pairs as a non compact space that, as Borel showed, can be embedded as an open subspace of its compact dual space. Harish Chandra showed that each non compact space can be realized as a bounded symmetric domain in a complex vector space. The simplest case involves the groups SU(2), SU(1,1) and their common complexification SL(2,C). In this case the non compact space is the unit disk, a homogeneous space for SU(1,1). It is a bounded domain in the complex plane C. The one point compactification of C, the Riemann sphere, is the dual space, a homogeneous space for SU(2) and SL(2,C). Irreducible compact Hermitian symmetric spaces are exactly the homogeneous spaces of simple compact Lie groups by maximal closed connected subgroups which contain a maximal torus and have center isomorphic to the circle group. There is a complete classification of irreducible spaces, with four classical series, studied by Cartan, and two exceptional cases; the classification can be deduced from Borel–de Siebenthal theory, which classifies closed connected subgroups containing a maximal torus. Hermitian symmetric spaces appear in the theory of Jordan triple systems, several complex variables, complex geometry, automorphic forms and group representations, in particular permitting the construction of the holomorphic discrete series representations of semisimple Lie groups.
Анықтама
H жалғасқан, компактты, жартылай қарапайым Ли тобы болсын, σ – H-ның 2-реттік автоморфизмі, ал Hσ – σ-ның инвариантты нүктелер кіші тобы болсын. K – Hσ мен оның байланысты компоненті арасында жатқан H-ның жабық кіші тобы болсын. H / K тығыз біртекті кеңістігі компактты типтегі симметриялық кеңістік деп аталады. Ли алгебрасы келесі ыдырауға ие:
мұнда , K-ның Ли алгебрасы, σ-ның +1 өзіндік кеңістігі, ал –1 өзіндік кеңістігі болып табылады. Егерде жартылай қарапайым қосындыны қамтымаса, жұп (, σ) компактты типтегі ортогональды симметриялық Ли алгебрасы деп аталады. және σ-ға қатысты адъюнкты өкілдік бойынша инвариантты кез келген ішкі көбейтінді H / K кеңістігінде Римандық құрылымды тудырады, H изометриялар арқылы әрекет етеді. Канондық мысал – өлтіру формасының теріс белгісі. Мұндай ішкі көбейтінді бойынша және ортогональды болады. H / K – бұл компактты типтегі Римандық симметриялық кеңістік. Егер H / K симметриялық кеңістігі Римандық метриканы сақтайтын дерлік кешенді құрылымға ие болса, ол Гермиттік симметриялық кеңістік деп аталады. Бұл J² = −I болатын сызықтық оператор J-дің болуымен тең, ол ішкі көбейтіндіні сақтайды және K-ның әрекетімен коммутациялайды.
Жіктеу
Компакт типтегі кез келген гермиттік симметриялық кеңістік жай ғана байланысқан және оны Борель–де Зибентал теориясы бойынша жіктелетін жартылай қарапайым емес жағдайларға тура көбейтінді ретінде жазуға болады. AIII: S(U(p)×U(q)), мұндағы αp+q=(−1)p. DIII: S = iI U(n) ⊂ SO(2n); бұл таңдау CI-ге тең: S=iI U(n) ⊂ Sp(n) = Sp(n,C) ∩ U(2n); бұл таңдау Jn-ге тең. BDI: SO(p)×SO(2) түрінде. Максималды параболалық P кіші топты осы классикалық жағдайларда нақты сипаттауға болады. AIII үшін SL(p+q,C). P(p,q) – Cp+q өлшемді p субкеңістігінің тұрақтандырғышы. Басқа топтар инволюциялардың тұрақты нүктелері ретінде пайда болады. J – антидиагоналінде 1-лер және басқа жерде 0-лер бар n × n матрицасын және келесіні алсын. Содан кейін Sp(n,C) – SL(2n,C) инволюциясы θ(g) = A (gt)−1 A−1 тұрақты нүктелік кіші тобы болып табылады. SO(n,C) – ψ(g) = B (gt)−1 B−1 SL(n,C) -дегі тұрақты нүктелер ретінде іске асыруға болады, мұнда B = J. Бұл инволюциялар DIII және CI жағдайларында P(n,n) және BDI жағдайында P(p,2) инвариантты қалдырады. P параболалық кіші топтар тұрақты нүктелерді алу арқылы алынады. H компакт тобы G / P-ге транзитивті әсер етеді, сондықтан G / P = H / K.
DIII: S = iI in U(n) ⊂ SO(2n); this choice is equivalent to CI: S=iI in U(n) ⊂ Sp(n) = Sp(n,C) ∩ U(2n); this choice is equivalent to Jn. BDI: in SO(p)×SO(2). The maximal parabolic subgroup P can be described explicitly in these classical cases. For AIII
in SL(p+q,C). P(p,q) is the stabilizer of a subspace of dimension p in Cp+q. The other groups arise as fixed points of involutions. Let J be the n × n matrix with 1's on the antidiagonal and 0's elsewhere and set
Then Sp(n,C) is the fixed point subgroup of the involution θ(g) = A (gt)−1 A−1 of SL(2n,C). SO(n,C) can be realised as the fixed points of ψ(g) = B (gt)−1 B−1 in SL(n,C) where B = J. These involutions leave invariant P(n,n) in the cases DIII and CI and P(p,2) in the case BDI. The corresponding parabolic subgroups P are obtained by taking the fixed points. The compact group H acts transitively on G / P, so that G / P = H / K.
Борелді орнату
H/K-дан G/P-ге дейінгі табиғи бейнелеу изоморфизм болса, H*/K-дан G/P-ге дейінгі табиғи бейнелеу тек ашық ішкі жиынға ену болып табылады. Бұл ену Арман Борельдің құрметіне Борель енуі деп аталады. Шындығында, P ∩ H = K = P ∩ H*. H және H* бейнелеулерінің өлшемдері бірдей болғандықтан, олар ашық. H бейнелеуі тығыз, яғни жабық болғандықтан, H/K = G/P екендігі шығады.
Шектелген симметриялық домендер
Күрделі векторлық кеңістіктегі шектелген домен, егер оның ішіндегі әрбір x үшін, x-ті оқшауланған тұрақты нүкте етіп көрсететін инволюциялық биголоморфизм σx болса, шектелген симметриялық домен деп аталады. Хариш-Чандра ендіруі, H* / K типтігіндегі компакт емес әрбір гермиттік симметриялық кеңістікті шектелген симметриялық домен ретінде көрсетеді. H* / K биголоморфизмдер тобы, оның изометриялық тобы H*-қа тең. Керісінше, кез келген шектелген симметриялық домен осылай туындайды. Расында, шектелген симметриялық Ω домені берілгенде, Бергман ядросы Ω-дағы метриканы, Бергман метрикасын анықтайды, онда кез келген биголоморфизм изометрия болып табылады. Бұл Ω-ны компакт емес типтегі гермиттік симметриялық кеңістік ретінде іске асырады.
Шекаралық компоненттер
H* компакт емес тобы H/K = G/P күрделі гермиттік симметриялық кеңістікте тек шекті санда ғана орбиталармен әрекет етеді. Орбиталық құрылым егжей-тегжейлі сипатталған. Атап айтқанда, H*/K шектелген доменінің жабылуының бірегей жабық орбитасы бар, ол доменнің Шилов шекарасы болып табылады. Жалпы, орбиталар төмен өлшемді гермиттік симметриялық кеңістіктердің біріккен жиындары болып табылады. Домендердің күрделі функциялар теориясы, әсіресе Коши интеграл формулаларының аналогы, Картан домендері үшін сипатталған. Шекаралық құрылымды Кейли түрленулерін пайдалану арқылы сипаттауға болады. Тығыз емес түбірлердің бірімен анықталған SU(2) әр көшірмесі үшін, ci деп аталатын Кейли түрленуі бар, ол Мёбиус түрленуі ретінде бірлік дискісін жоғарғы жарты жазықтыққа бейнелейді. Қатты ортогональдық отбасы ψ1, …, ψr үшін I индекстер жиыны берілгенде, cI иірімді Кейли түрленуі топтардың πi көбейтіндісіндегі i ∈ I индекстері бар ci-дің көбейтіндісі ретінде анықталады. G(I) осы көбейтіндінің G-дегі орталықтандырғышы болсын, ал H*(I) = H* ∩ G(I). σ, H*(I)-ді өзгермейтін етіп қалдырады, сондықтан сәйкес Гермиттік симметриялық кеңістік MI = H*(I)/ (H*(I) ∩ K) ⊂ H*/K = M бар. I жиынына сәйкес шекаралық компонент cI MI-дің K трансляцияларының біріккен жиыны болып табылады. Егер I барлық индекстер жиыны болса, MI бір нүкте болып табылады және шекаралық компонент Шилов шекарасы болып табылады. Сонымен қатар, MI, MJ жабылуының ішінде тек қана I ⊇ J болған жағдайда ғана орналасады.
Геометриялық қасиеттері
Әрбір гермиттік симметриялық кеңістік – Кэлер көптігі. Оларды Риман метрикасы гермиттік болатын параллель кешенді құрылымға ие Риман симметриялық кеңістіктер ретінде де анықтауға болады. Кешенді құрылым метриканың H изометриялық тобымен автоматты түрде сақталады, сондықтан кез келген гермиттік симметриялық кеңістік M – біртекті кешенді көптүрлілік. Мысалдардың кейбіреулері – кешенді векторлық кеңістіктер және кешенді проективті кеңістіктер, олардың әдеттегі гермиттік метрикалары мен Фубини–Студи метрикалары, сондай-ақ толық және Риман симметриялы болу үшін тиісті метрикалармен жабдықталған кешенді бірлік шарлары. Компактты гермиттік симметриялық кеңістіктер проективті сорттар болып табылады және олар біртекті болатын бигоморфизмдердің үлкен Лай тобы G-ді қабылдайды: шындығында, олар жалпыланған жалауша көптүрліліктері, яғни G жартылай жай және нүктенің тұрақтандырғышы G-дің параболалық ішкі тобы P болып табылады. (Кешенді) жалпыланған жалауша көптүрліліктері G/P арасында олар P-нің Лай алгебрасының нил радикалы абельдік болатын ретінде сипатталады. Осылайша, олар симметриялық R кеңістіктер отбасының құрамына кіреді, ал ол керісінше гермиттік симметриялық кеңістіктер мен олардың нақты түрлерін қамтиды. Компактты емес гермиттік симметриялық кеңістіктерді кешенді векторлық кеңістіктердегі шектелген домендер ретінде жүзеге асыруға болады.
Иордания алгебрасы
Классикалық гермиттік симметриялық кеңістіктерді ad hoc әдістермен құруға болатындықтан, Джордан үштік жүйелері немесе эквивалентті Джордан жұптары, компактты типтегі гермиттік симметриялық кеңістік және оның компакт емес дуалымен байланысты барлық негізгі қасиеттерді сипаттаудың біркелкі алгебралық құралын ұсынады. Бұл теория егжей-тегжейлі сипатталған және жинақталған. Оның бастапқы нүктесі – шектелген симметриялық домен ретінде жүзеге асырылған, компакт емес типтегі гермиттік симметриялық кеңістік. Оны Джордан жұбы немесе гермиттік Джордан үштік жүйесі ретінде сипаттауға болады. Бұл Джордан алгебралық құрылымы компактты типтегі дуал гермиттік симметриялық кеңістікті қайта құруға, атап айтқанда, барлық байланысты Лай алгебраларын және Лай топтарын қоса алғанда, пайдалануға болады. Теорияны сипаттау ең оңай, егер редукцияланбайтын компактты гермиттік симметриялық кеңістік түтік түрінде болса. Бұл жағдайда кеңістік қарапайым нақты Лай алгебрасымен анықталады, оның теріс анықталған Киллинг формасы бар. Ол SU(2) әрекетіне, тек тривиалды және қосымша өкілдіктер арқылы әрекет ететін, екі түрі де кездесетін әрекетті қабылдауы керек. Бұл әрекет ішкі, сондықтан SU(2) Лай алгебрасын енгізу арқылы жүзеге асырылады. Оның комплекстеуі SU(2) диагональдық матрицалары үшін үш өзіндік кеңістіктің тікелей қосындысы ретінде ыдырайды. Бұл үш дәрежелі күрделі Лай алгебрасы, оның инволюциясын SU(2) Вейль тобының элементы қамтамасыз етеді. ±1 өзіндік кеңістіктердің әрқайсысы бірлік күрделі Джордан алгебрасының құрылымына ие, ол Евклидтік Джордан алгебрасының комплекстеуі ретінде туындайды. Оны SU(2) қосымша бейнеленуінің сандық кеңістігімен сәйкестендіруге болады. Түтік түріндегі редукцияланбайтын гермиттік симметриялық кеңістіктердің сипаттамасы қарапайым Евклидтік Джордан алгебрасынан басталады. Ол Джордан фреймдерін, яғни ортогональды минималды идемпотенттер жиынтығын қабылдайды: e1, ..., em. Кез келген екісі E-нің автоморфизмімен байланысты, сондықтан m бүтін саны E-нің рангі деп аталатын инвариант болып табылады. Сонымен қатар, егер A – E-нің комплекстеуі болса, онда оның бірлік құрылым тобы бар. Ол GL(A) субтобының бірі, A-дағы табиғи күрделі ішкі өнімді сақтайды. A элементіндегі кез келген a элементінің полярлық ыдырауы: a = u Σ αi ai, мұнда 1=αi ≥ 0. Спектрлік норма ||a|| = sup αi деп анықталады. Бұл шектелген симметриялық домен A-дағы D ашық бірлік шары ғана. D және түтік домені T = E + iC арасында біхоломорфизм бар, мұнда C – E элементтерінің ашық өзіндік-қосымша конвекс конусы, 1=a = u Σ αi ai түрінде, u – E автоморфизмі және αi > 0. Бұл гермиттік симметриялық кеңістіктің екі сипаттамасын береді. Джордан алгебрасының A мутацияларын пайдалану арқылы A кеңістігін тығыздатудың табиғи жолы бар. X тығыздалуы күрделі көптік болып табылады және X-тегі голоморфты векторлық өрістердің шекті өлшемді Лай алгебрасын нақты анықтауға болады. Бихоломорфизмдердің бір параметрлік топтарын тиісті голоморфты векторлық өрістердің арақашықтығы ретінде анықтауға болады. Бұл SL(2,C) матрицаларына сәйкес келетін барлық күрделі Мёбиус түрлендірулерінің тобын қамтиды. SU(1,1) кіші тобы бірлік шарды және оның жабылуын өзгермейді. SL(2,R) кіші тобы түтік доменін және оның жабылуын өзгермейді. Кейлидің әдеттегі түрлендіруі және оның керісі, C-дегі бірлік дискісін жоғарғы жартысы жазықтығына бейнелейді, D және T арасындағы ұқсас бейнелеулерді құрады. Полидиск нақты және күрделі Джордан субальгебраларына сәйкес келеді, олар белгілі бір Джордан фреймімен туындайды. Ол SU(2)m транзитивті әрекетін қабылдайды және бұл әрекет X-ке дейін созылады. Бихоломорфизмдердің бір параметрлік топтарымен құрылған G тобы, бірлік құрылым тобының K сәйкестік компонентімен және SU(2)m операторларымен құрылған кіші топқа адал әрекет етеді. Ол X-ке транзитивті әрекет ететін компактты Лай тобы H-ді анықтайды. Сонымен H / K – компактты типтегі сәйкес гермиттік симметриялық кеңістік. G тобы H-нің комплекстеуімен анықталуы мүмкін. D-ді инвариант қалдыратын H* кіші тобы G-нің компакт емес нақты түрі болып табылады. Ол D-ге транзитивті түрде әрекет етеді, сондықтан H* / K – компакт емес типтегі дуал гермиттік симметриялық кеңістік. D ⊂ A ⊂ X инклюзиялары Борел және Хариш Чандра енуін қайталайды. Түтік түріндегі гермиттік симметриялық кеңістіктердің жіктелуі қарапайым Евклидтік Джордан алгебраларына дейін қысқарады. Бұлар Евклидтік Хурвиц алгебралары, композициялық алгебраның ерекше түрі бойынша жіктелген. Жалпы, гермиттік симметриялық кеңістік ±1 дәрежелі бөліктерді ауыстырып, 0 дәрежелі бөлікті сақтайтын 2 кезеңді конъюгат сызықтық автоморфизммен 3 дәрежелі Лай алгебрасын тудырады. Бұл Джордан жұбының немесе гермиттік Джордан үштік жүйесінің құрылымын тудырады, оған Джордан алгебраларының теориясын кеңейтті. Барлық редукцияланбайтын гермиттік симметриялық кеңістіктерді осы шеңберде біркелкі құруға болады. Түтік емес типтегі редукцияланбайтын гермиттік симметриялық кеңістікті қарапайым Евклидтік Джордан алгебрасымен және 2 кезеңді автоморфизммен құрды. Автоморфизмнің -1 өзіндік кеңістігі Джордан жұбының құрылымына ие, оны үлкен Джордан алгебрасынан алуға болады. II типтегі Сигель доменіне сәйкес келетін түтік емес жағдайда, нақты немесе күрделі Мёбиус түрлендірулерінің ерекше кіші тобы жоқ. Редукцияланбайтын гермиттік симметриялық кеңістіктер үшін түтік түрі Шылов шекарасының S нақты өлшемі D-ның күрделі өлшеміне теңдігімен сипатталады.
with negative definite Killing form. It must admit an action of SU(2) which only acts via the trivial and adjoint representation, both types occurring. Since is simple, this action is inner, so implemented by an inclusion of the Lie algebra of SU(2) in The complexification of decomposes as a direct sum of three eigenspaces for the diagonal matrices in SU(2). It is a three graded complex Lie algebra, with the Weyl group element of SU(2) providing the involution. Each of the ±1 eigenspaces has the structure of a unital complex Jordan algebra explicitly arising as the complexification of a Euclidean Jordan algebra. It can be identified with the multiplicity space of the adjoint representation of SU(2) in
The description of irreducible Hermitian symmetric spaces of tube type starts from a simple Euclidean Jordan algebra E. It admits Jordan frames, i. e. sets of orthogonal minimal idempotents e1, , em. Any two are related by an automorphism of E, so that the integer m is an invariant called the rank of E. Moreover, if A is the complexification of E, it has a unitary structure group. It is a subgroup of GL(A) preserving the natural complex inner product on A. Any element a in A has a polar decomposition 1=a = u Σ αi ai with 1=αi ≥ 0. The spectral norm is defined by ||a|| = sup αi. The associated bounded symmetric domain is just the open unit ball D in A. There is a biholomorphism between D and the tube domain T = E + iC where C is the open self dual convex cone of elements in E of the form 1=a = u Σ αi ai with u an automorphism of E and αi > 0. This gives two descriptions of the Hermitian symmetric space of noncompact type. There is a natural way of using mutations of the Jordan algebra A to compactify the space A. The compactification X is a complex manifold and the finite dimensional Lie algebra of holomorphic vector fields on X can be determined explicitly. One parameter groups of biholomorphisms can be defined such that the corresponding holomorphic vector fields span This includes the group of all complex Möbius transformations corresponding to matrices in SL(2,C). The subgroup SU(1,1) leaves invariant the unit ball and its closure. The subgroup SL(2,R) leaves invariant the tube domain and its closure. The usual Cayley transform and its inverse, mapping the unit disk in C to the upper half plane, establishes analogous maps between D and T. The polydisk corresponds to the real and complex Jordan subalgebras generated by a fixed Jordan frame. It admits a transitive action of SU(2)m and this action extends to X. The group G generated by the one parameter groups of biholomorphisms acts faithfully on The subgroup generated by the identity component K of the unitary structure group and the operators in SU(2)m. It defines a compact Lie group H which acts transitively on X. Thus H / K is the corresponding Hermitian symmetric space of compact type. The group G can be identified with the complexification of H. The subgroup H* leaving D invariant is a noncompact real form of G. It acts transitively on D so that H* / K is the dual Hermitian symmetric space of noncompact type. The inclusions D ⊂ A ⊂ X reproduce the Borel and Harish Chandra embeddings. The classification of Hermitian symmetric spaces of tube type reduces to that of simple Euclidean Jordan algebras. These were classified by in terms of Euclidean Hurwitz algebras, a special type of composition algebra. In general a Hermitian symmetric space gives rise to a 3 graded Lie algebra with a period 2 conjugate linear automorphism switching the parts of degree ±1 and preserving the degree 0 part. This gives rise to the structure of a Jordan pair or hermitian Jordan triple system, to which extended the theory of Jordan algebras. All irreducible Hermitian symmetric spaces can be constructed uniformly within this framework. constructed the irreducible Hermitian symmetric space of non tube type from a simple Euclidean Jordan algebra together with a period 2 automorphism. The −1 eigenspace of the automorphism has the structure of a Jordan pair, which can be deduced from that of the larger Jordan algebra. In the non tube type case corresponding to a Siegel domain of type II, there is no distinguished subgroup of real or complex Möbius transformations. For irreducible Hermitian symmetric spaces, tube type is characterized by the real dimension of the Shilov boundary S being equal to the complex dimension of D.