Введение

Многообразие с инверсионной симметрией

В математике гермитово-симметричное пространство — это гермитово многообразие, которое в каждой точке обладает инверсионной симметрией, сохраняющей гермитову структуру. Впервые изученные Эли Картаном, они представляют собой естественное обобщение понятия риманова симметричного пространства с реальных многообразий на комплексные многообразия. Каждое гермитово-симметричное пространство является однородным пространством для своей группы изометрий и имеет единственное разложение в произведение неприводимых пространств и евклидова пространства. Неприводимые пространства возникают парами, причем некомпактное пространство, как показал Борель, может быть вложено как открытое подпространство в его компактное двойственное пространство. Хариш-Чандра показал, что каждое некомпактное пространство может быть реализовано как ограниченная симметричная область в комплексном векторном пространстве. Простейший случай включает группы SU(2), SU(1,1) и их общую комплексификацию SL(2,ℂ). В этом случае некомпактным пространством является единичный диск, однородное пространство для SU(1,1). Это ограниченная область на комплексной плоскости ℂ. Одноточечная компактификация ℂ, сфера Римана, является двойственным пространством, однородным пространством для SU(2) и SL(2,ℂ). Неприводимые компактные гермитово-симметричные пространства — это как раз однородные пространства простых компактных групп Ли по максимальным замкнутым связным подгруппам, содержащим максимальный тор и имеющим центр, изоморфный круговой группе. Существует полная классификация неприводимых пространств, включающая четыре классических ряда, изученных Картаном, и два исключительных случая; классификация может быть выведена из теории Бореля — де Сибенталя, которая классифицирует замкнутые связные подгруппы, содержащие максимальный тор. Гермитово-симметричные пространства возникают в теории систем Джордана, нескольких комплексных переменных, комплексной геометрии, автоморфных форм и представлений групп, в частности, позволяя строить голоморфные дискретные представления полупростых групп Ли.

Определение

Пусть H — связная компактная полупростая группа Ли, σ — автоморфизм H порядка 2, а Hσ — подгруппа неподвижных точек σ. Пусть K — замкнутая подгруппа H, лежащая между Hσ и своей единичной компонентой. Компактное однородное пространство H / K называется симметрическим пространством компактного типа. Алгебра Ли допускает разложение

где , алгебра Ли K, является +1-собственным пространством σ, а — −1-собственным пространством. Если не содержит простого слагаемого , то пара (, σ) называется ортогональной симметричной алгеброй Ли компактного типа. Любое внутреннее произведение на , инвариантное относительно сопряжённого представления и σ, индуцирует риманову структуру на H / K, при этом H действует изометриями. Канонический пример задаётся отрицанием формы Киллинга. При таком внутреннем произведении и ортогональны. Тогда H / K является римановым симметричным пространством компактного типа. Симметрическое пространство H / K называется эрмитовым симметрическим пространством, если оно имеет почти комплексную структуру, сохраняющую риманову метрику. Это эквивалентно существованию линейного отображения J с J² = −I на , сохраняющего внутреннее произведение и коммутирующего с действием K.

Классификация

Любое эрмитово-симметричное пространство компактного типа простосвязно и может быть записано как прямое произведение неприводимых эрмитово-симметричных пространств Hi / Ki, где Hi — простое, Ki — связное с максимальным рангом и центром T. Следовательно, неприводимые пространства — это как раз не полупростые случаи, классифицированные теорией Бореля — де Зибенталя. AIII: в S(U(p) × U(q)), где αp+q = (−1)p. DIII: S = iI в U(n) ⊂ SO(2n); этот выбор эквивалентен CI: S = iI в U(n) ⊂ Sp(n) = Sp(n,C) ∩ U(2n); этот выбор эквивалентен Jn. BDI: в SO(p) × SO(2). Максимальная параболическая подгруппа P может быть явно описана в этих классических случаях. Для AIII в SL(p+q,C). P(p,q) — стабилизатор подпространства размерности p в Cp+q. Остальные группы возникают как фиксированные точки инволюций. Пусть J — матрица n × n с единицами на антидиагонали и нулями в остальных местах, и определим

Тогда Sp(n,C) — подгруппа фиксированных точек инволюции θ(g) = A(gt)−1A−1 в SL(2n,C). SO(n,C) можно реализовать как фиксированные точки ψ(g) = B(gt)−1B−1 в SL(n,C), где B = J. Эти инволюции оставляют инвариантными P(n,n) в случаях DIII и CI и P(p,2) в случае BDI. Соответствующие параболические подгруппы P получаются взятием фиксированных точек. Компактная группа H действует транзитивно на G / P, так что G / P = H / K.

Вкладывание борэля

В то время как естественное отображение из H/K в G/P является изоморфизмом, естественное отображение из H*/K в G/P является лишь включением в открытое подмножество. Это включение называется вложением Бореля в честь Армана Бореля. Действительно, P ∩ H = K = P ∩ H*. Образы H и H* имеют одинаковую размерность, поэтому они открыты. Поскольку образ H компактен, а значит, замкнут, следует, что H/K = G/P.

Ограниченные симметричные домены

Ограниченная область Ω в комплексном векторном пространстве называется ограниченной симметричной областью, если для каждой точки x в Ω существует инволютивный биголоморфный автоморфизм σx области Ω, для которого x является изолированной неподвижной точкой. Вложение Хариш-Чандры представляет каждое эрмитово симметричное пространство некомпактного типа H* / K как ограниченную симметричную область. Группа биголоморфизмов H* / K совпадает с его группой изометрий H*. Обратно, каждая ограниченная симметричная область возникает таким образом. Действительно, для ограниченной симметричной области Ω ядро Бергмана определяет метрику на Ω, называемую метрикой Бергмана, для которой каждый биголоморфизм является изометрией. Это позволяет рассматривать Ω как эрмитово симметричное пространство некомпактного типа.

Пограничные компоненты

Некомпактная группа H* действует на комплексном гермитово-симметричном пространстве H/K = G/P с лишь конечно многими орбитами. Структура орбит подробно описана в. В частности, замыкание ограниченной области H*/K имеет единственную замкнутую орбиту, которая является границей Шилова этой области. В общем случае, орбиты являются объединениями гермитово-симметричных пространств меньшей размерности. Комплексная теория функций областей, в частности аналог формул интеграла Коши, описана для доменов Картана в. Замыкание ограниченной области является компактификацией Бейли–Бореля пространства H*/K. Граничную структуру можно описать с помощью преобразований Кэйли. Для каждой копии SU(2), определяемой одним из некомпактных корней ψi, существует преобразование Кэйли ci, которое как преобразование Мёбиуса отображает единичный диск на верхнюю полуплоскость. Для заданного подмножества I индексов сильно ортогонального семейства ψ1, …, ψr, частичное преобразование Кэйли cI определяется как произведение ci с i из I в произведении групп πi. Пусть G(I) будет централизатором этого произведения в G, а H*(I) = H* ∩ G(I). Поскольку σ оставляет H*(I) инвариантным, существует соответствующее гермитово-симметричное пространство MI = H*(I)/[H*(I)∩K] ⊂ H*/K = M. Граничная компонента для подмножества I является объединением K-транслятов cI MI. Когда I является множеством всех индексов, MI является единственной точкой, а граничная компонента – границей Шилова. Более того, MI входит в замыкание MJ тогда и только тогда, когда I ⊇ J.

Геометрические свойства

Каждое гермитово-симметричное пространство является келеровым многообразием. Они могут быть определены эквивалентно как римановы симметричные пространства с параллельной комплексной структурой, относительно которой риманова метрика является гермитовой. Комплексная структура автоматически сохраняется изометрической группой H метрики, и поэтому любое гермитово-симметричное пространство M является однородным комплексным многообразием. Примеры включают комплексные векторные пространства и комплексные проективные пространства с их обычными гермитовыми метриками и метриками Фубини — Студи, а также комплексные единичные шары с подходящими метриками, обеспечивающими их полноту и риманову симметрию. Компактные гермитово-симметричные пространства являются проективными многообразиями и допускают строго большую группу Ли G биголоморфизмов, относительно которой они однородны: фактически, они являются обобщёнными флаговыми многообразиями, то есть G полупроста, а стабилизатор точки является параболической подгруппой P группы G. Среди (комплексных) обобщённых флаговых многообразий G/P они характеризуются тем, что нильрадикал алгебры Ли P является абелевым. Таким образом, они содержатся в семействе симметричных пространств R, которое, в свою очередь, включает гермитово-симметричные пространства и их вещественные формы. Некомпактные гермитово-симметричные пространства могут быть реализованы как ограниченные области в комплексных векторных пространствах.

Алгебры Джордана

Хотя классические эрмитово-симметричные пространства могут быть построены ad hoc методами, тройные системы Джордана, или, эквивалентно, пары Джордана, предоставляют единообразное алгебраическое средство описания всех основных свойств, связанных с эрмитово-симметричным пространством компактного типа и его некомпактным дуалом. Эта теория подробно описана в работах и и обобщена в развитии, которое идет в обратном порядке по сравнению с использованием теории структуры компактных групп Ли. Ее отправной точкой является эрмитово-симметричное пространство некомпактного типа, реализованное как ограниченная симметричная область. Его можно описать в терминах пары Джордана или эрмитовой тройной системы Джордана. Эта структура алгебры Джордана может быть использована для восстановления двойного эрмитово-симметричного пространства компактного типа, включая, в частности, все связанные с ним алгебры и группы Ли. Теория наиболее легко описывается, когда необратимое компактное эрмитово-симметричное пространство имеет трубчатый тип. В этом случае пространство определяется простой вещественной алгеброй Ли с отрицательно определенной формой Киллинга. Она должна допускать действие SU(2), которое действует только посредством тривиального и сопряженного представлений, причем оба типа присутствуют. Поскольку проста, это действие внутреннее, то есть реализуется включением алгебры Ли SU(2) в Комплексификация разлагается как прямая сумма трех собственных пространств для диагональных матриц в SU(2). Это трехградусная комплексная алгебра Ли, с элементом группы Вейля SU(2), обеспечивающим инволюцию. Каждое из собственных пространств ±1 имеет структуру унитальной комплексной алгебры Джордана, явно возникающей как комплексификация евклидовой алгебры Джордана. Его можно отождествить с пространством кратностей сопряженного представления SU(2) в Описание необратимых эрмитовых симметричных пространств трубчатого типа начинается с простой евклидовой алгебры Джордана E. Она допускает рамы Джордана, то есть множества ортогональных минимальных идемпотентов e1, …, em. Любые два связаны автоморфизмом E, так что целое число m является инвариантом, называемым рангом E. Кроме того, если A является комплексификацией E, то она имеет унитарную структуру группы. Это подгруппа GL(A), сохраняющая естественное комплексное внутреннее произведение на A. Любой элемент a в A имеет полярное разложение a = u Σ αi ai, где 1=αi ≥ 0. Спектральная норма определяется как ||a|| = sup αi. Связанная ограниченная симметричная область — это просто открытый единичный шар D в A. Существует биголоморфизм между D и трубчатой областью T = E + iC, где C — открытый самодвойственный выпуклый конус элементов в E вида a = u Σ αi ai, где u — автоморфизм E и αi > 0. Это дает два описания эрмитово-симметричного пространства некомпактного типа. Существует естественный способ использования мутаций алгебры Джордана A для компактификации пространства A. Компактификация X является комплексным многообразием, и конечномерная алгебра Ли голоморфных векторных полей на X может быть определена явно. Однопараметрические группы биголоморфизмов могут быть определены таким образом, что соответствующие голоморфные векторные поля охватывают группу всех комплексных преобразований Мёбиуса, соответствующих матрицам в SL(2,C). Подгруппа SU(1,1) оставляет единичный шар и его замыкание инвариантными. Подгруппа SL(2,R) оставляет инвариантной трубчатую область и ее замыкание. Обычное преобразование Кэли и его обратное, отображающее единичный диск в C на верхнюю полуплоскость, устанавливают аналогичные отображения между D и T. Полидиск соответствует вещественным и комплексным подалгебрам Джордана, порожденным фиксированной рамой Джордана. Он допускает транзитивное действие SU(2)^m, и это действие распространяется на X. Группа G, порожденная однопараметрическими группами биголоморфизмов, действует верно на Подгруппа, порожденная компонентой единицы K унитарной структуры группы и операторами в SU(2)^m. Она определяет компактную алгебру Ли H, которая действует транзитивно на X. Таким образом, H/K является соответствующим эрмитово-симметричным пространством компактного типа. Группу G можно отождествить с комплексификацией H. Подгруппа H*, оставляющая D инвариантной, является некомпактной вещественной формой G. Она действует транзитивно на D, так что H*/K является двойным эрмитовым симметричным пространством некомпактного типа. Включения D ⊂ A ⊂ X воспроизводят вложения Бореля и Хариша-Чандры. Классификация эрмитовых симметричных пространств трубчатого типа сводится к классификации простых евклидовых алгебр Джордана. Они были классифицированы в работах в терминах евклидовых алгебр Гурвица, особого типа композиционных алгебр. В общем случае эрмитово-симметричное пространство порождает 3-градусную алгебру Ли с периодом 2 сопряженно линейным автоморфизмом, переключающим части степеней ±1 и сохраняющим часть степени 0. Это порождает структуру пары Джордана или эрмитовой тройной системы Джордана, к которой распространил теорию алгебр Джордана. Все необратимые эрмитовы симметричные пространства могут быть единообразно построены в этой структуре. построил необратимое эрмитово-симметричное пространство не трубчатого типа из простой евклидовой алгебры Джордана вместе с автоморфизмом периода 2. −1 собственное пространство автоморфизма имеет структуру пары Джордана, которую можно вывести из структуры большей алгебры Джордана. В не трубчатом типе, соответствующем области Зигеля типа II, нет выделенной подгруппы вещественных или комплексных преобразований Мёбиуса. Для необратимых эрмитовых симметричных пространств трубчатый тип характеризуется тем, что вещественная размерность границы Шилова S равна комплексной размерности D.