Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометрияда Макс Дэн екі жазықтық мысалын енгізді: жартылай Евклидтік геометрия және Легендрия емес геометрия. Бұл геометрияларда берілген нүктеден өтетін берілген түзуге параллель шексіз көп түзулер болады, бірақ үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы кем дегенде . Ұқсас құбылыс гиперболалық геометрияда да кездеседі, бірақ үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы -дан кіші. Дэннің мысалдары Архимед емес өріс қолданады, сондықтан Архимед аксиомасы бұзылады. Оларды енгізген және олар туралы талқылаған .
In geometry, Max Dehn introduced two examples of planes, a semi Euclidean geometry and a non Legendrian geometry, that have infinitely many lines parallel to a given one that pass through a given point, but where the sum of the angles of a triangle is at least A similar phenomenon occurs in hyperbolic geometry, except that the sum of the angles of a triangle is less than Dehn's examples use a non Archimedean field, so that the Archimedean axiom is violated. They were introduced by and discussed by .
Дэннің Архимедке жатпайтын өрісі Ω ((t)
Геометриясын құру үшін Дэн Архимед принципіне бағынбаған пифагорлық өріс Ω(t)-ны пайдаланды, ол рационалдық функциялар өрісінің R(t) пифагорлық жабылуы болып табылады. Бұл өріс нақты тұрақтыларды, сәйкестік функциясын t (нақты санды өзіне-өзі бейнелейтін) және нақты сызықтағы нақты мәнді функциялардың ең кіші жиынын қамтиды, сондай-ақ белгілі бір операция бойынша жабық. Өріс Ω(t) x > y шарты арқылы реттеледі, егер x функциясы жеткілікті үлкен нақты сандар үшін y-дан үлкен болса. Ω(t) өрісінің x элементі, егер m < x < n шарты орындалса, мұнда m және n – бүтін сандар, шекті деп аталады, әйтпесе шексіз деп аталады.
To construct his geometries, Dehn used a non Archimedean ordered Pythagorean field Ω(t), a Pythagorean closure of the field of rational functions R(t), consisting of the smallest field of real valued functions on the real line containing the real constants, the identity function t (taking any real number to itself) and closed under the operation The field Ω(t) is ordered by putting x > y if the function x is larger than y for sufficiently large reals. An element x of Ω(t) is called finite if m < x < n for some integers m, n, and is called infinite otherwise.
Дехннің аңыз емес геометриясы
Дэн сол мақалада сондай-ақ Легендар емес геометрияның мысалын келтірді, онда бір нүкте арқылы басқа түзуге жанаспайтын шексіз көп түзулер бар, бірақ үшбұрыштағы бұрыштардың қосындысы Риманның эллипстік геометриясынан артық. Ω(t) бойынша проективті жазықтықтан тұрады, оны (x:y:1) координаталары бар нүктелердің аффиндік жазықтығымен және "шексіздік түзуімен" бірге анықтауға болады, сондай-ақ кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы үлкен болады. Легендар емес геометрия бұл аффиндік кіші кеңістіктің (x:y:1) нүктелерінен тұрады, мұнда tx және ty шекті шамалар (мұнда t – теңдік функциясы арқылы бейнеленген Ω(t) элементі). Лежандр теоремасы үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы ең көп дегенде , – дейді, бірақ ол Архимед аксиомасын қабылдайды, ал Дэннің мысалы Архимед аксиомасы алынса, Лежандр теоремасы міндетті түрде орындалмауы мүмкін екенін көрсетеді.
In the same paper, Dehn also constructed an example of a non Legendrian geometry where there are infinitely many lines through a point not meeting another line, but the sum of the angles in a triangle exceeds Riemann's elliptic geometry over Ω(t) consists of the projective plane over Ω(t), which can be identified with the affine plane of points (x:y:1) together with the "line at infinity", and has the property that the sum of the angles of any triangle is greater than The non Legendrian geometry consists of the points (x:y:1) of this affine subspace such that tx and ty are finite (where as above t is the element of Ω(t) represented by the identity function). Legendre's theorem states that the sum of the angles of a triangle is at most , but assumes Archimedes's axiom, and Dehn's example shows that Legendre's theorem need not hold if Archimedes' axiom is dropped.