Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В геометрии Макс Дэн представил два примера плоскостей, полуевклидову геометрию и нелегедрову геометрию, которые имеют бесконечно много прямых, параллельных данной, проходящих через данную точку, но где сумма углов треугольника не меньше, чем π. Аналогичное явление происходит в гиперболической геометрии, за исключением того, что сумма углов треугольника меньше π. Примеры Дэна используют неархимедово поле, в результате чего нарушается аксиома Архимеда. Они были введены и обсуждены .
In geometry, Max Dehn introduced two examples of planes, a semi Euclidean geometry and a non Legendrian geometry, that have infinitely many lines parallel to a given one that pass through a given point, but where the sum of the angles of a triangle is at least A similar phenomenon occurs in hyperbolic geometry, except that the sum of the angles of a triangle is less than Dehn's examples use a non Archimedean field, so that the Archimedean axiom is violated. They were introduced by and discussed by .
Неархимедово поле Дена Ω ((t)
Для построения своей геометрии Дэн использовал неархимедово упорядоченное пифагорейское поле Ω(t), пифагорейское замыкание поля рациональных функций R(t), состоящее из наименьшего поля вещественнозначных функций на действительной прямой, содержащего вещественные константы, тождественную функцию t (отображающую любое вещественное число в себя) и замкнутого относительно некоторой операции. Поле Ω(t) упорядочено следующим образом: x > y, если функция x больше y для достаточно больших вещественных чисел. Элемент x поля Ω(t) называется конечным, если существуют целые числа m и n такие, что m < x < n, и бесконечным в противном случае.
To construct his geometries, Dehn used a non Archimedean ordered Pythagorean field Ω(t), a Pythagorean closure of the field of rational functions R(t), consisting of the smallest field of real valued functions on the real line containing the real constants, the identity function t (taking any real number to itself) and closed under the operation The field Ω(t) is ordered by putting x > y if the function x is larger than y for sufficiently large reals. An element x of Ω(t) is called finite if m < x < n for some integers m, n, and is called infinite otherwise.
Нелегендарная геометрия Дена
В той же статье Дэн также построил пример нелегендарной геометрии, в которой существует бесконечно много прямых, проходящих через точку и не пересекающих другую прямую, но сумма углов в треугольнике превышает сумму углов в эллиптической геометрии Римана над Ω(t). Эта геометрия состоит из проективной плоскости над Ω(t), которую можно отождествить с аффинной плоскостью точек (x:y:1) вместе с "линией на бесконечности", и обладает свойством, что сумма углов любого треугольника больше. Нелегендарная геометрия состоит из точек (x:y:1) этого аффинного подпространства, для которых tx и ty конечны (где, как и выше, t – элемент Ω(t), представленный тождественной функцией). Теорема Лежандра утверждает, что сумма углов треугольника не больше, но предполагает аксиому Архимеда, а пример Дэна показывает, что теорема Лежандра не обязана выполняться, если аксиома Архимеда отброшена.
In the same paper, Dehn also constructed an example of a non Legendrian geometry where there are infinitely many lines through a point not meeting another line, but the sum of the angles in a triangle exceeds Riemann's elliptic geometry over Ω(t) consists of the projective plane over Ω(t), which can be identified with the affine plane of points (x:y:1) together with the "line at infinity", and has the property that the sum of the angles of any triangle is greater than The non Legendrian geometry consists of the points (x:y:1) of this affine subspace such that tx and ty are finite (where as above t is the element of Ω(t) represented by the identity function). Legendre's theorem states that the sum of the angles of a triangle is at most , but assumes Archimedes's axiom, and Dehn's example shows that Legendre's theorem need not hold if Archimedes' axiom is dropped.