Кіріспе

Өкілдік теориясындағы құрылыс

Математикада орбиталық әдіс (сондай-ақ Кириллов теориясы, коаджонтты орбиталар әдісі және басқа да ұқсас атаулармен белгілі) Лай тобының ирредуктивті бірлік өкілдіктері мен оның коаджонтты орбиталары арасындағы сәйкестікті орнатады: топтың оның Лай алгебрасының дуалдық кеңістігіндегі әрекеттерінің орбиталары. Бұл теорияны нильпотентті топтар үшін енгізді, ал кейіннен Бертрам Костант, Луи Аусландер, Лайош Пуканский және басқалар оны шешілетін топтарға дейін кеңейтті. Роджер Хоу п-адиктік Лай топтарына қолданылатын орбиталық әдістің нұсқасын тапты. Дэвид Воган орбиталық әдіс нақты редуктивті Лай топтарының бірлік дуалдарын сипаттауда біріктіруші принцип ретінде қызмет етуі керек деп ұсынды.

Симплектикалық геометриямен байланысы

Кирилловтың маңызды байқауларының бірі – Лай тобы G-нің коадъюнкттік орбиталары, G бойынша инвариантты симплектикалық құрылымға ие симплектикалық көптүрліліктердің табиғи құрылысын қалыптастырады. Егер орбита G инвариантты классикалық механикалық жүйенің фазалық кеңістігі болса, онда сәйкес келетін кванттық механикалық жүйе G-нің ирредукциялық біртұтас өкілдігі арқылы сипатталуы тиіс. Орбитаның геометриялық инварианттары сәйкес өкілдіктің алгебралық инварианттарына ауысады. Осылайша, орбиталық әдіс кванттаудың бұрысқан физикалық принципінің нақты математикалық көрінісі ретінде қарастырылуы мүмкін. Нильпотентті топ G жағдайында сәйкестік барлық орбиталарды қамтиды, бірақ жалпы G үшін орбитаға қосымша шектеулер қажет (поляризациялану, интегралдық, Пуканский шарты). Бұл көзқарас Костанттың коадъюнкттік орбиталардың геометриялық квантталу теориясында одан әрі дамытылды.

Кириллов таңба формуласы

Ли тобы үшін Кириллов орбиталық әдісі, өкілдік теориясындағы эвристикалық әдіс болып табылады. Ол G Ли алгебрасының дуал кеңістігінде жатқан коаджойнт орбиталардың Фурье түрлендірулерін, ирредукцияланбайтын өкілдіктердің инфинитезимальдік сипаттамаларымен байланыстырады. Бұл әдіс, орыс математигі Александр Кирилловтың есімімен аталады. Ең қарапайым түрінде, Ли тобының сипаттамасы, коаджойнт орбиталарға қолдау көрсетілген Дирак дельта функциясының Фурье түрлендіруі арқылы берілуі мүмкін, бұл экспоненциалдық картаның Якобианының квадрат түбірімен салмақталады. Бұл әдіс барлық Ли топтарына да қатысты емес, бірақ байланысты Ли топтарының бірнеше кластары үшін жұмыс істейді, оның ішінде нильпотентті, кейбір жартылай қарапайым және компактты топтар.

Нилпотент тобының жағдайы

G байланысқан, жай ғана байланысқан нөлдік Lie тобы болсын. Кириллов G-нің ирредукциялық біртұтас өкілдіктерінің эквиваленттілік кластары G-нің коадъюнкттік орбиталарымен, яғни оның Ли алгебрасының дуалдық кеңістігіндегі G әрекетінің орбиталарымен параметрленгенін дәлелдеді. Кирилловтың мінездемелік формуласы өкілдіктің Хариш-Чандра мінездемесін тиісті орбита бойынша есептелген белгілі бір интеграл ретінде көрсетеді.

Компактты Лай тобының жағдайы

Комплексті, редукцияланбайтын компактты Ли топтарының бейнелері толыққанды жіктелген. Олар әрқашан шекті өлшемді, унитаризацияланатын (яғни инвариантты оң белгілі Гермит формасын қабылдайтын) және олардың жоғарғы салмақтарымен параметрленеді, бұл топ үшін дәл басым интегралды салмақтар болып табылады. Егер G – Картан субгебрасы h-мен жартылай қарапайым компактты Ли тобы болса, онда оның коадъюнттық орбиталары жабық болады және олардың әрқайсысы оң Вейль камерасын h*+ бір нүктеде қиып өтеді. Орбита интегралды болып есептеледі, егер бұл нүкте G-нің салмақ торына жатса. Жоғарғы салмақ теориясын интегралды коадъюнттық орбиталар жиыны мен G-нің теңдессіз бірлік бейнелерінің теңдестік кластары жиыны арасындағы бір-бірге сәйкестік ретінде қайта формулиреуге болады: жоғарғы салмағы λ∈h*+ болатын жоғарғы салмақты бейне L(λ) интегралды коадъюнттық орбита G·λ-ға сәйкес келеді. Кирилловтың мінездеме формуласы бұрын Хариш-Чандра дәлелдеген мінездеме формуласына тең.