Введение

Конструкция в теории представлений

В математике метод орбит (также известный как теория Кириллова, метод косопряженных орбит и несколькими другими аналогичными названиями) устанавливает соответствие между неприводимыми унитарными представлениями группы Ли и ее косопряженными орбитами: орбитами действия группы на двойственном пространстве ее алгебры Ли. Теория была введена для нильпотентных групп и позднее расширена Бертрамом Костантом, Луисом Аусландером, Лайошем Пукански и другими в случае разрешимых групп. Роджер Хоу нашел версию метода орбит, применимую к p-адическим группам Ли. Дэвид Воган предположил, что метод орбит должен служить объединяющим принципом в описании унитарных дуалов вещественных редуктивных групп Ли.

Связь с симплектической геометрией

Одним из ключевых наблюдений Кириллова было то, что сопряженные орбиты группы Ли G обладают естественной структурой симплектических многообразий, симплектическая структура которых инвариантна относительно G. Если орбита является фазовым пространством G-инвариантной классической механической системы, то соответствующая квантово-механическая система должна быть описана посредством неприводимого унитарного представления G. Геометрические инварианты орбиты переходят в алгебраические инварианты соответствующего представления. Таким образом, метод орбит можно рассматривать как точное математическое воплощение размытого физического принципа квантования. В случае нильпотентной группы G соответствие охватывает все орбиты, но для произвольной группы G необходимы дополнительные ограничения на орбиту (поляризуемость, интегральность, условие Пуканского). Эта точка зрения была существенно развита Костантом в его теории геометрического квантования сопряженных орбит.

Формула символа Кириллова

Для группы Ли метод орбиты Кириллова предоставляет эвристический подход в теории представлений. Он связывает преобразования Фурье соприсоединенных орбит, лежащих в двойственном пространстве алгебры Ли группы G, с бесконечно малыми характерами неприводимых представлений. Метод назван в честь русского математика Александра Кириллова. В наиболее простом виде он утверждает, что характер группы Ли может быть задан преобразованием Фурье дельта-функции Дирака, носитель которой лежит на соприсоединенных орбитах, умноженным на квадратный корень из якобиана экспоненциального отображения, обозначаемого как . Он применим не ко всем группам Ли, но работает для ряда классов связных групп Ли, включая нильпотентные, некоторые полупростые и компактные группы.

Дело группы Нилпотент

Пусть G — связная, просто связная нильпотентная группа Ли. Кириллов доказал, что классы эквивалентности неприводимых унитарных представлений G параметризуются коадъюнктными орбитами G, то есть орбитами действия G на дуальном пространстве его алгебры Ли. Формула характера Кириллова выражает характер Хариша-Чандры представления как определённый интеграл по соответствующей орбите.

Случай с компактными группами Лей

Комплексные неприводимые представления компактных групп Ли были полностью классифицированы. Они всегда конечномерны, унитаризуемы (то есть допускают инвариантную положительно определенную эрмитову форму) и параметризуются своими старшими весами, которые являются точно доминантными интегральными весами для данной группы. Если G — компактная полупростая группа Ли с картанской подалгеброй h, то её коадъюнктные орбиты замкнуты, и каждая из них пересекает положительную камеру Вейля h*+ в единственной точке. Орбита называется интегральной, если эта точка принадлежит решетке весов G. Теория старших весов может быть переформулирована в виде биекции между множеством интегральных коадъюнктных орбит и множеством классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений G: неприводимое представление с старшим весом L(λ), где λ∈h*+, соответствует интегральной коадъюнктной орбите G·λ. Формула характера Кириллова эквивалентна формуле характера, ранее доказанной Харишем-Чандрой.