Кіріспе
Математикада, Poisson–Lie тобы — Poisson көптігі, сонымен қатар Lie тобы, мұнда топтық көбейту көптіктегі Poisson алгебрасы құрылымымен үйлесімді болады. Poisson–Lie тобының инфинитезимальды аналогы — Lie биалгебрасы, Lie алгебралары Lie топтарының инфинитезимальды аналогы болғандай. Көптеген кванттық топтар Poisson–Lie тобындағы функциялардың Poisson алгебрасының квантталуы болып табылады.
In mathematics, a Poisson–Lie group is a Poisson manifold that is also a Lie group, with the group multiplication being compatible with the Poisson algebra structure on the manifold. The infinitesimal counterpart of a Poisson–Lie group is a Lie bialgebra, in analogy to Lie algebras as the infinitesimal counterparts of Lie groups. Many quantum groups are quantizations of the Poisson algebra of functions on a Poisson–Lie group.
Пуассон-Ли топтары - Ли биалгебрасы сәйкестігі
Пуассон-Ли тобының Ли алгебрасы, Poisson тензорының бірліктегі сызықтық жақындауы арқылы берілген Ли коалгебрасының табиғи құрылымына ие, яғни бұл комультипликация. Бұдан әрі, алгебра және коалгебра құрылымдары үйлесімді, яғни бұл Ли биалгебрасы. Жақсы байланысқан Ли топтары мен шекті өлшемді Ли алгебралары арасындағы категориялардың теңдігін қамтамасыз ететін классикалық Ли тобы-Ли алгебрасы сәйкестігі, Дринфельд тарапынан жақсы байланысқан Пуассон-Ли топтары мен шекті өлшемді Ли биалгебралары арасындағы категориялардың теңдігіне дейін кеңейтілді. Дринфельд теоремасының нәтижесінде, кез келген Пуассон-Ли тобының оның биалгебрасының дуалының интегралы ретінде анықталатын, екілік Пуассон-Ли тобы болады.
The classical Lie group–Lie algebra correspondence, which gives an equivalence of categories between simply connected Lie groups and finite dimensional Lie algebras, was extended by Drinfeld to an equivalence of categories between simply connected Poisson–Lie groups and finite dimensional Lie bialgebras. Thanks to Drinfeld theorem, any Poisson–Lie group has a dual Poisson–Lie group, defined as the Poisson–Lie group integrating the dual of its bialgebra.
Гомоморфизмдер
Пуассон-Ли тобының гомоморфизмі — бұл Ли тобының гомоморфизмі және Пуассон бейнелеуі ретінде анықталады. Бұл «көздейтін» анықтама болғанымен, сол жақтан жылжулар да, оң жақтан жылжулар да Пуассон бейнелеуі емес. Сондай-ақ, инверсиялық бейнелеу де Пуассон бейнелеуі емес, бірақ ол Пуассонға қарама-қарсы бейнелеу болып табылады:
кәз келген екі тегіс функция үшін .
Қарапайым мысалдар
Кез келген тривиалды Пуассон құрылымы Ли тобында Пуассон-Ли тобы құрылымын анықтайды, оның биалгебрасы тривиалды комультипликациямен жай ғана болады. Ли алгебрасының дуалы, оның сызықтық Пуассон құрылымымен бірге, аддитивті Пуассон-Ли тобы болып табылады. Бұл екі мысал жоғарыда түсіндірілген мағынада Дринфельд теоремасы бойынша бір-біріне дуалды болып табылады.