Введение
Многообразие Пуассона, являющееся также группой Ли. В математике группа Пуассона — Ли — это многообразие Пуассона, которое одновременно является группой Ли, причем групповая операция совместима со структурой алгебры Пуассона на этом многообразии. Бесконечно малым аналогом группы Пуассона — Ли является биалгебра Ли, подобно тому, как алгебры Ли являются бесконечно малыми аналогами групп Ли. Многие квантовые группы являются квантованиями алгебры Пуассона функций на группе Пуассона — Ли.
In mathematics, a Poisson–Lie group is a Poisson manifold that is also a Lie group, with the group multiplication being compatible with the Poisson algebra structure on the manifold. The infinitesimal counterpart of a Poisson–Lie group is a Lie bialgebra, in analogy to Lie algebras as the infinitesimal counterparts of Lie groups. Many quantum groups are quantizations of the Poisson algebra of functions on a Poisson–Lie group.
Группы Пуассона-Ли - Биалгебра Ли
Алгебра Ли группы Пуассона — Ли имеет естественную структуру коалгебры Ли, заданную линеаризацией тензора Пуассона в единице, то есть является коумножением. Более того, алгебраическая и коалгебраическая структуры совместимы, то есть является биалгеброй Ли. Классическое соответствие между группами Ли и алгебрами Ли, дающее эквивалентность категорий между простосвязными группами Ли и конечномерными алгебрами Ли, было расширено Дринфельдом до эквивалентности категорий между простосвязными группами Пуассона — Ли и конечномерными биалгебрами Ли. Благодаря теореме Дринфельда, любая группа Пуассона — Ли имеет двойственную группу Пуассона — Ли, определяемую как группа Пуассона — Ли, интегрирующая двойственную к её биалгебре.
The classical Lie group–Lie algebra correspondence, which gives an equivalence of categories between simply connected Lie groups and finite dimensional Lie algebras, was extended by Drinfeld to an equivalence of categories between simply connected Poisson–Lie groups and finite dimensional Lie bialgebras. Thanks to Drinfeld theorem, any Poisson–Lie group has a dual Poisson–Lie group, defined as the Poisson–Lie group integrating the dual of its bialgebra.
Гомоморфизмы
Гомоморфизм группы Пуассона — Ли определяется как гомоморфизм группы Ли и карта Пуассона. Хотя это и кажется "очевидным" определением, ни левые сдвиги, ни правые сдвиги не являются картами Пуассона. Также отображение инверсии, переводящее , не является картой Пуассона, хотя и является анти-Пуассоновской картой:
для любых двух гладких функций на .
Тривиальные примеры
Любая тривиальная структура Пуассона на группе Ли определяет структуру группы Пуассона-Ли, биалгебра которой является просто с тривиальным коумножением. Двойственное пространство алгебры Ли вместе с её линейной структурой Пуассона является аддитивной группой Пуассона-Ли. Эти два примера двойственны друг другу согласно теореме Дринфельда, в смысле, описанном выше.