Кіріспе
Қозғалатын кадрдың қисық немесе бұрандасын сипаттау әдісі. Дифференциалдық геометрияда бұралу тензоры – кез келген аффиндік байланысқа қатысты тензор болып табылады. Бұралу тензоры – екі кіріс векторларының билинейрлік бейнелеуі, ол тангенс кеңістігіндегі орын ауыстыруды көрсететін шығыс векторды тудырады, егер тангенс кеңістігі екі жаққа бұрылғанда, кері бағыттағы орын ауыстыруды тудыратын инфинитезимальді параллелограмм бойымен жайылатын (немесе "домалатылатын") болса. Ол кірістері бойынша кососимметриялы, себебі параллелограммды кері бағытта жаю кері орын ауыстыруды тудырады, бұл бұранданың екі бағытта бұрылғандағы қозғалысына ұқсас. Бұралу геодезиялықтар геометриясын зерттеуде ерекше пайдалы. Параметрленген геодезиялықтар жүйесі берілген жағдайда, сол геодезиялықтарға ие, бірақ бұралуларымен ерекшеленетін аффиндік байланыстар класын анықтауға болады. Бұралуды сіңіретін бірегей байланыс бар, ол Леви-Чивита байланысын басқа, мүмкін метрикалық емес жағдайларға (мысалы, Финслер геометриясы) жалпылайды. Бұралуы бар байланыс пен сәйкес бұралуы жоқ байланыс арасындағы айырмашылық – тензор, ол конторсия тензоры деп аталады. Бұралуды сіңіру G-құрылымдарын зерттеуде және Картанның эквиваленттілік әдісінде де маңызды рөл атқарады. Бұралу сонымен қатар геодезиялықтардың параметрленбеген отбасыларын зерттеуде, олармен байланысты проективтік байланыс арқылы пайдалы. Релятивистік теорияда мұндай идеялар Эйнштейн-Картан теориясы түрінде іске асырылды.
In differential geometry, the torsion tensor is a tensor that is associated to any affine connection. The torsion tensor is bilinear map of two input vectors , that produces an output vector representing the displacement within a tangent space when the tangent space is developed (or "rolled") along an infinitesimal parallelogram whose sides are It is skew symmetric in its inputs, because developing over the parallelogram in the opposite sense produces the opposite displacement, similarly to how a screw moves in opposite ways when it is twisted in two directions. Torsion is particularly useful in the study of the geometry of geodesics. Given a system of parametrized geodesics, one can specify a class of affine connections having those geodesics, but differing by their torsions. There is a unique connection which absorbs the torsion, generalizing the Levi Civita connection to other, possibly non metric situations (such as Finsler geometry). The difference between a connection with torsion, and a corresponding connection without torsion is a tensor, called the contorsion tensor. Absorption of torsion also plays a fundamental role in the study of G structures and Cartan's equivalence method. Torsion is also useful in the study of unparametrized families of geodesics, via the associated projective connection. In relativity theory, such ideas have been implemented in the form of Einstein–Cartan theory.
Анықтама
M тангенттік түйінінде аффинді байланысы бар көптік болсын (ковариантты туынды) ∇. ∇-ның торсия тензоры (кейде Картан (торсия) тензоры деп аталады) – бұл векторлық өрістер X және Y бойынша анықталатын 2-формадағы вектор, мұнда 1=[X, Y] – екі векторлық өрістің Ли жақшасы. Лейбниц ережесі бойынша, T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y) кез келген тегіс функция f үшін. Олай болса, T – тензорлық, байланыс бірінші реттік дифференциалдық оператор болып табылатындықтан анықталса да: ол тангенстік векторларда 2-форманы береді, ал ковариантты туынды тек векторлық өрістер үшін ғана анықталады.
where 1=[X, Y] is the Lie bracket of two vector fields. By the Leibniz rule, T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y) for any smooth function f. So T is tensorial, despite being defined in terms of the connection which is a first order differential operator: it gives a 2 form on tangent vectors, while the covariant derivative is only defined for vector fields.
Торсия тензорының құрамдас бөліктері
Торсия тензорының компоненттерін жанама шоғырдың қималарының жергілікті негізі (e1, …, en) арқылы алуға болады, 1=X = ei, 1=Y = ej деп қойып және [ei, ej] = 1=γkijek коммутатор коэффициенттерін енгізу арқылы. Торсияның компоненттері мынадай:
Мұнда – қосылымды анықтайтын қосылыс коэффициенттері. Егер негіз голономиялық болса, онда Ли жақшалары жоғалады. Демек, геодезиялық теңдеулер қосылымның симметриялық бөлігін анықтаса, торсия тензоры антисимметриялық бөлігін анықтайды.
Сипаттамалар мен түсіндірмелер
Торсия – жазықтықтың бетте немесе жоғары өлшемді аффиндік кеңістікте домалаған кездегі сығу немесе бұрылу шамасын сипаттау тәсілі. Мысалы, шардың бетінде салынған кішкентай шеңбер бойымен жазықтықты домалатуды қарастырайық. Егер жазықтық сығалмай немесе бұрылмаса, онда жазықтық шеңбер бойымен домағанда, жазықтықта да шеңбердің өрнегі пайда болады. Қарапайымдылығына қарамастан, жазықтық айналады (домағанда бұрылу болмаса да), бұл шардың қисықтығынан туындайды. Бірақ сызылған қисық сызық әлі де шеңбер болады, әсіресе, басталып, соңы бір нүктеде тірелетін жабық қисық сызық. Ал егер жазықтық шардың бетімен домағанда, оған сығуға немесе бұрылуға рұқсат берілсе, онда жазықтықтағы шеңбердің траекториясы әлдеқайда күрделі қисыққа айналуы мүмкін, оны жабу міндетті емес. Торсия – жазықтықты қисық бойымен домалату кезіндегі қосымша сығу мен бұрылуды өлшеудің бір жолы. Сондықтан, бұрылыс тензорын интуитивті түрде түсіну үшін, v және w векторларымен берілген қабырғалары бар кішкентай параллелограмм контурын алып, оның төрт қабырғасының әрқайсысы бойынша жанама кеңістікті домалатып, жанасу нүктесін белгілеуге болады. Контур толықталғанда, белгіленген қисық параллелограмм жазықтығынан векторға қарай ығысады, осы вектор бұрылыс тензоры болып табылады: екі кіріс вектордың (билинейлі) функциясы v және w, нәтижесінде шығыс векторы пайда болады. Бұл v және w аргументтері бойынша кососимметриялы, себебі контурды кері бағытта жүргізу бастапқы ығысуды жояды, бұранданы қарама-қарсы бағытта бұрау оны қарама-қарсы бағытта жылжытады. Осылайша, бұрылыс тензоры, Frenet–Serret формулаларында көрініс тапқан қисықтың бұрылысымен байланысты, бірақ одан ерекшеленеді: байланыстың бұрылысы дамыған қисықтың жазықтығынан ығысуын өлшейді, ал қисықтың бұрылысы оның тиісті жазықтығынан ығысуды да өлшейді. Жер бетінің геометриясында геодезиялық бұрылыс, беттегі қисық бойындағы беттің бұрылуын сипаттайды. Ал қозғалатын координаттар жүйесінің қисық бойымен сығалмай немесе бұрылмастан домалануын өлшеуге арналған түсінік – бұрылыс.
Даму
Торсияның бір түсіндірмесі қисықтың дамуын қамтиды. Егер , нүктесінде негізделген, бірқалыпты жабық цикл берілген болса, онда ол нөлге гомотопты деп есептелінеді. Бұл қисықты нүктесіндегі жанама кеңістікке келесідей дамытуға болады. Болсын – қисық бойындағы параллель кофрейм, ал – қисық арқылы шақырылған координаталар. Қисықтың дамуы – бұл координаталары дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын қисық.
Егер торсия нөл болса, онда дамытылған қисық та жабық цикл болады (яғни ). Ал егер торсия нөлден өзгеше болса, онда дамытылған қисық жабылмауы мүмкін, сондықтан . Осылайша, торсия болғанда циклды дамыту бұзылуға ұшырауы мүмкін, бұл бұранда тәрізді бұзылуға ұқсас. Жоғарыда айтылған ойларды сандық тұрғыдан қарастыру үшін, нүктесінен басталатын және қабырғалары бар кіші параллелограммды қарастырайық. Онда параллелограммға тангенстік бивектор болып табылады. Бұл параллелограммды байланыс арқылы дамыту, әдетте, жабық болмайды, ал цикл бойымен жүргендегі орын ауыстыру вектормен трансляцияланады, мұнда – торсия тензоры, жоғары ретті шарттарға дейін. Бұл орын ауыстыру кристаллографиядағы Бургерс векторына тікелей ұқсас. Көбірек айтқанда, қисық бойымен жылжымалы кадрды тасымалдауға болады. Кадрдың нүктесінен нүктесіне арасындағы сызықтық түрленуі байланыстың қисықтығымен анықталады. Қосымша, кадрдың сызықтық түрленуі және бастапқы нүктенің нүктесінен нүктесіне ауысуы байланыстың голономиясын құрайды.
Қиындықтың бұрылуы
Материалдар ғылымында, әсіресе серпімділік теориясында, бұрылу ұғымдары маңызды рөл атқарады. Бір мәселе жүзімдердің өсуін модельдейді, олардың заттардың айналасына қалай бұралатынына назар аударады. Жүзімнің өзі бір-біріне бұралған серпімді жіптердің жұбы ретінде моделендіріледі. Ең төмен энергиялық күйде жүзім табиғи түрде спираль пішіндесе өседі. Бірақ жүзімді оның ұзындығын барынша арттыру үшін созуға да болады. Бұл жағдайда жүзімнің бұрылуы жіптер жұбының бұрылуымен (немесе, балама ретінде, жіптерді байланыстыратын лентаның беттік бұрылуымен) байланысты, және ол жүзімнің ұзындығын арттыратын (геодезиялық) конфигурациясы мен оның энергиясын азайтатын конфигурациясы арасындағы айырмашылықты көрсетеді.