Тензор кручения в дифференциальной геометрии: определение, свойства и применение для изучения геодезических и аффинных связностей. Геометрия, Finsler-геометрия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Способ характеристики скручивания или винта движущейся рамы вокруг кривой.
Manner of characterizing a twist or screw of a moving frame around a curve
В дифференциальной геометрии тензор кручения — это тензор, связанный с любым аффинным соединением. Тензор кручения является билинейным отображением двух входных векторов, которое производит выходной вектор, представляющий смещение в тангенциальном пространстве при развитии (или "перекатывании") тангенциального пространства вдоль бесконечно малого параллелограмма, стороны которого задаются этими векторами. Он антисимметричен по своим аргументам, поскольку развитие вдоль параллелограмма в противоположном направлении приводит к противоположному смещению, подобно тому, как винт движется в противоположных направлениях при скручивании в двух направлениях. Кручение особенно полезно при изучении геометрии геодезических. Для системы параметризованных геодезических можно определить класс аффинных соединений, имеющих эти геодезические, но различающихся по своему кручению. Существует единственное соединение, которое поглощает кручение, обобщая соединение Леви-Чивиты на другие, возможно, неметрические ситуации (например, геометрию Финслера). Разность между соединением с кручением и соответствующим соединением без кручения является тензором, называемым тензором конторсии. Поглощение кручения также играет фундаментальную роль в изучении G-структур и метода эквивалентности Картана. Кручение также полезно при изучении непараметризованных семейств геодезических через связанное проективное соединение. В теории относительности эти идеи были реализованы в форме теории Эйнштейна — Картана.
In differential geometry, the torsion tensor is a tensor that is associated to any affine connection. The torsion tensor is bilinear map of two input vectors , that produces an output vector representing the displacement within a tangent space when the tangent space is developed (or "rolled") along an infinitesimal parallelogram whose sides are It is skew symmetric in its inputs, because developing over the parallelogram in the opposite sense produces the opposite displacement, similarly to how a screw moves in opposite ways when it is twisted in two directions. Torsion is particularly useful in the study of the geometry of geodesics. Given a system of parametrized geodesics, one can specify a class of affine connections having those geodesics, but differing by their torsions. There is a unique connection which absorbs the torsion, generalizing the Levi Civita connection to other, possibly non metric situations (such as Finsler geometry). The difference between a connection with torsion, and a corresponding connection without torsion is a tensor, called the contorsion tensor. Absorption of torsion also plays a fundamental role in the study of G structures and Cartan's equivalence method. Torsion is also useful in the study of unparametrized families of geodesics, via the associated projective connection. In relativity theory, such ideas have been implemented in the form of Einstein–Cartan theory.
Определение
Пусть M – многообразие с аффинным соединением на касательном расслоении (также известным как ковариантная производная) ∇. Тензор кручения (иногда называемый тензором Картана (кручения)) ∇ – это 2-форма, принимающая векторные значения, определенная на векторных полях X и Y следующим образом:
Let M be a manifold with an affine connection on the tangent bundle (aka covariant derivative) ∇. The torsion tensor (sometimes called the Cartan (torsion) tensor) of ∇ is the vector valued 2 form defined on vector fields X and Y by
где 1 = [X, Y] – скобка Ли двух векторных полей. По правилу Лейбница, T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y) для любой гладкой функции f. Следовательно, T является тензорной величиной, несмотря на то, что он определен через соединение, которое является дифференциальным оператором первого порядка: оно задает 2-форму на тангентных векторах, в то время как ковариантная производная определена только для векторных полей.
where 1=[X, Y] is the Lie bracket of two vector fields. By the Leibniz rule, T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y) for any smooth function f. So T is tensorial, despite being defined in terms of the connection which is a first order differential operator: it gives a 2 form on tangent vectors, while the covariant derivative is only defined for vector fields.
Компоненты тензора кручения
Компоненты тензора кручения в терминах локального базиса (e1, …, en) сечений касательного расслоения могут быть выведены, полагая X = ei, Y = ej и вводя коэффициенты коммутатора γkij := [ei, ej]. Компоненты кручения тогда равны
The components of the torsion tensor in terms of a local basis (e1, , en) of sections of the tangent bundle can be derived by setting 1=X = ei, 1=Y = ej and by introducing the commutator coefficients 1=γkijek := [ei, ej]. The components of the torsion are then
где – коэффициенты связности, определяющие связность. Если базис холономический, то скобки Ли обращаются в ноль. Следовательно, в частности (см. ниже), геодезические уравнения определяют симметричную часть связности, а тензор кручения – антисимметричную часть.
Here are the connection coefficients defining the connection. If the basis is holonomic then the Lie brackets vanish, So In particular (see below), while the geodesic equations determine the symmetric part of the connection, the torsion tensor determines the antisymmetric part.
Характеристики и интерпретации
Торсион – это способ характеристики величины проскальзывания или скручивания, возникающих при перекатывании плоскости по поверхности или более высокомерному аффинному многообразию. Например, рассмотрим перекатывание плоскости по малому кругу, нарисованному на сфере. Если плоскость не проскальзывает и не скручивается, то после перекатывания по всему кругу она прочертит в плоскости также круг. Оказывается, что плоскость повернется (несмотря на отсутствие скручивания во время перекатывания), что является следствием кривизны сферы. Но прочерченная кривая все равно будет кругом, и, в частности, замкнутой кривой, начинающейся и заканчивающейся в одной и той же точке. С другой стороны, если плоскость перекатывается вдоль сферы, но ей позволено проскальзывать или скручиваться в процессе, то путь, который круг прочерчивает на плоскости, может быть гораздо более общей кривой, которая даже не обязана быть замкнутой. Торсион – это способ количественно оценить дополнительное проскальзывание и скручивание при перекатывании плоскости по кривой. Таким образом, тензор торсии можно интуитивно понять, рассматривая небольшой параллелограмм с сторонами, заданными векторами v и w, в пространстве, и перекатывая тангенциальное пространство вдоль каждой из четырех сторон параллелограмма, отмечая точку контакта по мере продвижения. Когда контур завершен, отмеченная кривая будет смещена из плоскости параллелограмма на вектор, обозначаемый . Следовательно, тензор торсии является тензором: (билинейной) функцией двух входных векторов v и w, которая выдает выходной вектор . Он антисимметричен относительно аргументов v и w, что отражает тот факт, что обход контура в противоположном направлении отменяет первоначальное смещение, подобно тому, как скручивание винта в противоположных направлениях смещает его в противоположных направлениях. Таким образом, тензор торсии связан с, хотя и отличается от, торсии кривой, как она появляется в формулах Френе–Серре: торсия связности измеряет смещение развернутой кривой из ее плоскости, в то время как торсия кривой также является смещением из ее плоскости касания. В геометрии поверхностей геодезическая торсия описывает, как поверхность скручивается вокруг кривой на поверхности. Сопутствующее понятие кривизны измеряет, как движущиеся системы координат перекатываются по кривой без проскальзывания или скручивания.
The torsion is a manner of characterizing the amount of slipping or twisting that a plane does when rolling along a surface or higher dimensional affine manifold. For example, consider rolling a plane along a small circle drawn on a sphere. If the plane does not slip or twist, then when the plane is rolled all the way along the circle, it will also trace a circle in the plane. It turns out that the plane will have rotated (despite there being no twist whilst rolling it), an effect due to the curvature of the sphere. But the curve traced out will still be a circle, and so in particular a closed curve that begins and ends at the same point. On the other hand, if the plane were rolled along the sphere, but it was allowed it to slip or twist in the process, then the path the circle traces on the plane could be a much more general curve that need not even be closed. The torsion is a way to quantify this additional slipping and twisting while rolling a plane along a curve. Thus the torsion tensor can be intuitively understood by taking a small parallelogram circuit with sides given by vectors v and w, in a space and rolling the tangent space along each of the four sides of the parallelogram, marking the point of contact as it goes. When the circuit is completed, the marked curve will have been displaced out of the plane of the parallelogram by a vector, denoted Thus the torsion tensor is a tensor: a (bilinear) function of two input vectors v and w that produces an output vector It is skew symmetric in the arguments v and w, a reflection of the fact that traversing the circuit in the opposite sense undoes the original displacement, in much the same way that twisting a screw in opposite directions displaces the screw in opposite ways. The torsion tensor thus is related to, although distinct from, the torsion of a curve, as it appears in the Frenet–Serret formulas: the torsion of a connection measures a dislocation of a developed curve out of its plane, while the torsion of a curve is also a dislocation out of its osculating plane. In the geometry of surfaces, the geodesic torsion describes how a surface twists about a curve on the surface. The companion notion of curvature measures how moving frames roll along a curve without slipping or twisting.
Разработка
Одна из интерпретаций кручения связана с развитием кривой. Предположим, что задан кусочно-гладкий замкнутый контур, начинающийся в точке , где мы предполагаем, что он гомотопичен нулю. Этот контур можно развернуть в тангентное пространство в точке следующим образом. Пусть будет параллельным кофреймом вдоль , а будут координатами на , индуцированными . Разверткой является кривая в , координаты которой удовлетворяют дифференциальному уравнению
One interpretation of the torsion involves the development of a curve. Suppose that a piecewise smooth closed loop is given, based at the point , where We assume that is homotopic to zero. The curve can be developed into the tangent space at in the following manner. Let be a parallel coframe along , and let be the coordinates on induced by A development of is a curve in whose coordinates sastify the differential equation
Если кручение равно нулю, то развернутая кривая также является замкнутым контуром (то есть ). С другой стороны, если кручение не равно нулю, то развернутая кривая может не быть замкнутой, то есть развитие контура в присутствии кручения может приводить к сдвигу, аналогичному винтовому дислокации. Вышеописанные рассуждения можно сделать более количественными, рассмотрев небольшой параллелограмм, исходящий из точки , со сторонами . Тогда тангенциальный бивектор этого параллелограмма равен . Развертка этого параллелограмма с использованием связности, как правило, не замкнута, и смещение при обходе контура представляет собой трансляцию на вектор , где – тензор кручения с точностью до членов более высокого порядка в . Это смещение прямо аналогично вектору Бюргерса в кристаллографии. В более общем случае можно также переносить подвижный фрейм вдоль кривой . Линейное преобразование, которому подвергается фрейм между , определяется кривизной связности. Вместе линейное преобразование фрейма и трансляция начальной точки из в составляют голономию связности.
If the torsion is zero, then the developed curve is also a closed loop (so that ). On the other hand, if the torsion is non zero, then the developed curve may not be closed, so that Thus the development of a loop in the presence of torsion can become dislocated, analogously to a screw dislocation. The foregoing considerations can be made more quantitative by considering a small parallelogram, originating at the point , with sides Then the tangent bivector to the parallelogram is The development of this parallelogram, using the connection, is no longer closed in general, and the displacement in going around the loop is translation by the vector , where is the torsion tensor, up to higher order terms in This displacement is directly analogous to the Burgers vector of crystallography. More generally, one can also transport a moving frame along the curve The linear transformation that the frame undergoes between is then determined by the curvature of the connection. Together, the linear transformation of the frame and the translation of the starting point from to comprise the holonomy of the connection.
Торсион нити
В материаловедении, и особенно в теории упругости, представления о кручении также играют важную роль. Одна из задач моделирует рост лиан, фокусируясь на вопросе о том, как лианы умудряются обвиваться вокруг объектов. Сама лиана моделируется как пара упругих нитей, скрученных друг вокруг друга. В состоянии с минимальной энергией лиана естественным образом растет в форме спирали. Однако лиана может также растягиваться, чтобы максимизировать свою протяженность (или длину). В этом случае кручение лианы связано с кручением пары нитей (или, эквивалентно, с кручением поверхности ленты, соединяющей нити), и отражает разницу между конфигурацией, максимизирующей длину (геодезической), и ее конфигурацией с минимальной энергией.
In materials science, and especially elasticity theory, ideas of torsion also play an important role. One problem models the growth of vines, focusing on the question of how vines manage to twist around objects. The vine itself is modeled as a pair of elastic filaments twisted around one another. In its energy minimizing state, the vine naturally grows in the shape of a helix. But the vine may also be stretched out to maximize its extent (or length). In this case, the torsion of the vine is related to the torsion of the pair of filaments (or equivalently the surface torsion of the ribbon connecting the filaments), and it reflects the difference between the length maximizing (geodesic) configuration of the vine and its energy minimizing configuration.