Кіріспе
Дененің бетін математикалық идеалдау. Математикада бет – бет туралы жалпы түсініктің математикалық моделі. Бұл жазықтықтың кеңейтілген түрі, бірақ жазықтықтан өзгеше, ол қисық болуы мүмкін; бұл түзу сызықты кеңейтетін қисыққа ұқсас. Контекстке және зерттеуге қолданылатын математикалық әдістерге байланысты бірнеше дәл анықтамалар бар. Ең қарапайым математикалық беттер – Евклидтік 3 кеңістіктегі жазықтықтар мен шарлар. Беттің нақты анықтамасы контекстке байланысты өзгеруі мүмкін. Әдетте, алгебралық геометрияда бет өзін-өзі кесіп өтуі (және басқа да ерекшеліктері болуы) мүмкін, ал топология мен дифференциалдық геометрияда мұндай болмайды. Бет – екі өлшемді топологиялық кеңістік; яғни, беттегі қозғалатын нүкте екі бағытта жылғалыстай алады (оның екі еркіндік дәрежесі бар). Басқаша айтқанда, дерлік әрбір нүктеде екі өлшемді координаттар жүйесі анықталатын координаттық жапсырма бар. Мысалы, Жердің беті (идеалды жағдайда) шарға ұқсайды, ал ендік және бойлық оның екі өлшемді координаттарын ұсынады (полюстерде және 180-ші меридиан бойындағы жерлерден басқа).
In mathematics, a surface is a mathematical model of the common concept of a surface. It is a generalization of a plane, but, unlike a plane, it may be curved; this is analogous to a curve generalizing a straight line. There are several more precise definitions, depending on the context and the mathematical tools that are used for the study. The simplest mathematical surfaces are planes and spheres in the Euclidean 3 space. The exact definition of a surface may depend on the context. Typically, in algebraic geometry, a surface may cross itself (and may have other singularities), while, in topology and differential geometry, it may not. A surface is a topological space of dimension two; this means that a moving point on a surface may move in two directions (it has two degrees of freedom). In other words, around almost every point, there is a coordinate patch on which a two dimensional coordinate system is defined. For example, the surface of the Earth resembles (ideally) a sphere, and latitude and longitude provide two dimensional coordinates on it (except at the poles and along the 180th meridian).
Анықтамалар
Көп жағдайда, бет оның нүктелерінің координаттарымен қанағаттандырылатын теңдеулермен анықталады. Бұл екі айнымалының үздіксіз функциясының графигіне тән. Үш айнымалы функцияның нөлдер жиыны бет болып табылады, және ол имплицитті бет деп аталады. Егер үш айнымалы функцияны анықтайтын функция полином болса, онда бет алгебралық бет болып табылады. Мысалы, бірлік сфера алгебралық бет болып табылады, себебі оны имплицитті теңдеу арқылы анықтауға болады.
A surface may also be defined as the image, in some space of dimension at least 3, of a continuous function of two variables (some further conditions are required to insure that the image is not a curve). In this case, one says that one has a parametric surface, which is parametrized by these two variables, called parameters. For example, the unit sphere may be parametrized by the Euler angles, also called longitude u and latitude v by
Parametric equations of surfaces are often irregular at some points. For example, all but two points of the unit sphere, are the image, by the above parametrization, of exactly one pair of Euler angles (modulo ). For the remaining two points (the north and south poles), one has 1=cos v = 0, and the longitude u may take any values. Also, there are surfaces for which there cannot exist a single parametrization that covers the whole surface. Therefore, one often considers surfaces which are parametrized by several parametric equations, whose images cover the surface. This is formalized by the concept of manifold: in the context of manifolds, typically in topology and differential geometry, a surface is a manifold of dimension two; this means that a surface is a topological space such that every point has a neighborhood which is homeomorphic to an open subset of the Euclidean plane (see Surface (topology) and Surface (differential geometry)). This allows defining surfaces in spaces of dimension higher than three, and even abstract surfaces, which are not contained in any other space. On the other hand, this excludes surfaces that have singularities, such as the vertex of a conical surface or points where a surface crosses itself. In classical geometry, a surface is generally defined as a locus of a point or a line. For example, a sphere is the locus of a point which is at a given distance of a fixed point, called the center; a conical surface is the locus of a line passing through a fixed point and crossing a curve; a surface of revolution is the locus of a curve rotating around a line. A ruled surface is the locus of a moving line satisfying some constraints; in modern terminology, a ruled surface is a surface, which is a union of lines.
Бетті, кемінде 3 өлшемді кеңістікте екі айнымалының үздіксіз функциясының бейнесі ретінде де анықтауға болады (бейне қисық емес екеніне көз жеткізу үшін қосымша шарттар қажет). Мұндай жағдайда, параметрлік бет бар деп айтылады, ол осы екі айнымалымен параметрленеді, олар параметрлер деп аталады. Мысалы, бірлік сфера Эйлер бұрыштарымен, яғни u бойлық және v ендік арқылы параметрленеді. Бірлік сфераның барлық нүктелерінен басқа екі нүктесі жоғарыдағы параметрлеу арқылы дәл бір Эйлер бұрыштарының жұбының (модуль бойынша) бейнесі болып табылады. Қалған екі нүкте үшін (солтүстік және оңтүстік полюстер) 1 = cos v = 0, ал u бойлық кез келген мәнді қабылдауы мүмкін. Сондай-ақ, бүкіл бетті қамтитын бір параметрлеудің болуы мүмкін емес беттер де бар. Сондықтан, көбінесе бірнеше параметрлік теңдеулермен параметрленген беттер қарастырылады, олардың бейнелері бетті жабады. Бұл көптік түсінігімен формалданады: көптіктер контекстінде, әдетте топология және дифференциалдық геометрияда, бет екі өлшемді көптік болып табылады; яғни, бет – бұл топологиялық кеңістік, онда әрбір нүктенің айналасында Евклид жазықтығының ашық ішкі жиынына гомеоморфты маңай бар (Топологиядағы бет және Дифференциалдық геометриядағы бет қараңыз). Бұл үш өлшемнен жоғары кеңістіктердегі беттерді және тіпті басқа кеңістіктерде орналасқан абстрактілі беттерді анықтауға мүмкіндік береді. Екінші жағынан, бұл сингулярлықтары бар беттерді, мысалы, конустық беттің тобы немесе беттің өзі кесісетін нүктелерді жоққа шығарады. Классикалық геометрияда бет әдетте нүкте немесе түзудің орны ретінде анықталады. Мысалы, сфера – бұл орталық деп аталатын белгілі бір нүктеден берілген қашықтықта орналасқан нүктенің орны; конустық бет – бұл белгілі бір нүктеден өтіп, қисықты кесіп өтетін түзудің орны; айналу беті – бұл белгілі бір түзудің айналуынан пайда болатын қисықтың орны. Билік ететін бет – бұл кейбір шектеулерді қанағаттандыратын жылжымалы түзудің орны; қазіргі терминологияда билік ететін бет – бұл түзулердің жиынынан құралған бет.
A surface may also be defined as the image, in some space of dimension at least 3, of a continuous function of two variables (some further conditions are required to insure that the image is not a curve). In this case, one says that one has a parametric surface, which is parametrized by these two variables, called parameters. For example, the unit sphere may be parametrized by the Euler angles, also called longitude u and latitude v by
Parametric equations of surfaces are often irregular at some points. For example, all but two points of the unit sphere, are the image, by the above parametrization, of exactly one pair of Euler angles (modulo ). For the remaining two points (the north and south poles), one has 1=cos v = 0, and the longitude u may take any values. Also, there are surfaces for which there cannot exist a single parametrization that covers the whole surface. Therefore, one often considers surfaces which are parametrized by several parametric equations, whose images cover the surface. This is formalized by the concept of manifold: in the context of manifolds, typically in topology and differential geometry, a surface is a manifold of dimension two; this means that a surface is a topological space such that every point has a neighborhood which is homeomorphic to an open subset of the Euclidean plane (see Surface (topology) and Surface (differential geometry)). This allows defining surfaces in spaces of dimension higher than three, and even abstract surfaces, which are not contained in any other space. On the other hand, this excludes surfaces that have singularities, such as the vertex of a conical surface or points where a surface crosses itself. In classical geometry, a surface is generally defined as a locus of a point or a line. For example, a sphere is the locus of a point which is at a given distance of a fixed point, called the center; a conical surface is the locus of a line passing through a fixed point and crossing a curve; a surface of revolution is the locus of a curve rotating around a line. A ruled surface is the locus of a moving line satisfying some constraints; in modern terminology, a ruled surface is a surface, which is a union of lines.
Терминология
Математикада қарастырылатын беттердің бірнеше түрі бар. Сондықтан, оларды қажет болған жағдайда ажырату үшін нақты терминология қажет. Топологиялық бет – екінші өлшемді көптік (қараңыз). Дифференциалданатын бет – дифференциалданатын көпқабат (қараңыз). Кез келген дифференциалданатын бет – топологиялық бет, бірақ керісінше рас емес. "Бет" деп көбінесе 3 өлшемді Евклид кеңістігінде, әдетте R³ деп есептелінеді. Проективтік кеңістікте орналасқан бет проективтік бет деп аталады (қараңыз). Ешқандай кеңістікке енгізілмейтін бет абстракті бет деп аталады.
Мысалдар
"R"^(2) қосылған ашық ішкі жиынында анықталған екі айнымалының үздіксіз функциясының графигі – топологиялық бет. Егер функция дифференциалданатын болса, онда графигі дифференциалданатын бет болады. Жазықтық – алгебралық және дифференциалданатын бет. Ол сондай-ақ басқарылатын бет және айналма бет болып табылады. Дөңгелек цилиндр (яғни, шеңберді қиып өтетін және белгілі бір бағытқа параллель түзудің траекториясы) – алгебралық және дифференциалданатын бет. Дөңгелек конус (шеңберді қиып өтетін және белгілі бір нүктеден, конустың төбесінен өтетін түзудің траекториясы, бұл нүкте шеңбер жазықтығынан тыс орналасқан) – дифференциалданатын емес алгебралық бет. Егер төбесі алынып тасталса, конустың қалған бөлігі екі дифференциалданатын беттің бірігімі болады. Полиэдрдің беті – топологиялық бет, ол дифференциалданатын немесе алгебралық бет емес. Гиперболалық параболоид (1=z = xy функциясының графигі) – дифференциалданатын және алгебралық бет. Ол сондай-ақ басқарылатын бет, және осы себепті архитектурада жиі қолданылады. Екі жақтағы гиперболоид – алгебралық бет және қиылыспайтын екі дифференциалданатын беттің бірігімі.
Тангенс жазықтығы мен нормальдық вектор
Жоғарыда көрсетілген Якоб матрицасының ранги екіге тең болатын нүкте p реттелі деп аталады, немесе, дәлірек айтқанда, p нүктесінде параметрлеу реттелі деп аталады.
Реттелі нүкте p-дегі жанама жазықтық – p нүктесі арқылы өтетін және Якоб матрицасының екі қатар векторларына параллель бағытқа ие болатын бірегей жазықтық. Жанама жазықтық – аффиндік ұғым, себебі оның анықтамасы метрика таңдауына тәуелді емес. Басқаша айтқанда, кез келген аффиндік түрлендіру нүктедегі бетке жанама жазықтықты, беттің бейнесіндегі нүктенің бейнесіне жанама жазықтыққа түрлендіреді. Бет нүктесіндегі нормаль сызық – нүкте арқылы өтетін және жанама жазықтыққа перпендикуляр болатын бірегей сызық; нормаль вектор – нормальға параллель вектор. Беттің басқа дифференциалдық инварианттары үшін, нүктенің айналасындағы дифференциалдық геометрияға қараңыз.
Екі вариант функцияның графигі
1=z = f(x, y) екі нақты айнымалының функциясы болсын. Бұл параметрлік бет, параметрленген: осы беттің әрбір нүктесі реттелген, себебі Якоб матрицасының бірінші екі бағаны екінші дәрежелі сәйкестік матрицасын құрайды.
Every point of this surface is regular, as the two first columns of the Jacobian matrix form the identity matrix of rank two.
Рационалды бет
Рационалды бет – екі айнымалының рационалды функцияларымен параметрленуге болатын бет. Яғни, егер fi(t, u) функциялары, i = 0, 1, 2, 3 үшін, екі белгісіздің көпмүшелері болса, онда мына формуламен анықталатын параметрлік бет рационалды бет болып табылады. Рационалды бет – алгебралық бет, бірақ көптеген алгебралық беттер рационалды емес.
is a rational surface. A rational surface is an algebraic surface, but most algebraic surfaces are not rational.
Бірлік нүктесі
Имплицитті беттің (in) жеке нүктесі – имплицитті теңдеудің орындалуы және оны анықтайтын функцияның үш ішінара туындысының барлығы нөлге тең болатын беттің нүктесі. Сондықтан, жеке нүктелер – үш белгісіздегі төрт теңдеу жүйесінің шешімдері болып табылады. Мұндай жүйелердің көпшілігінде шешім болмағандықтан, көптеген беттерде жеке нүктелер кездеспейді. Жеке нүктесі жоқ бет – тұрақты немесе ерекше емес бет деп аталады. Жеке нүктелердің маңындағы беттерді зерттеу және жеке нүктелерді жіктеу – жекешеліктер теориясы. Жеке нүкте, егер оның айналасында басқа жеке нүктелер болмаса, оқшауланған болып саналады. Әйтпесе, жеке нүктелер қисық сызық түрінде орналасуы мүмкін. Бұл, әсіресе, өзімен-өзі кесісетін беттерге тән.
Кездейсоқ өрістердегі беттер
Кез келген өрістегі коэффициенттері бар полиномиалдар алгебралық бетті анықтау үшін қолданылады. Дегенмен, полиномиалдың коэффициенттерінің өрісі анықталмаған, себебі, мысалы, рационал коэффициенттері бар полиномиал нақты немесе кешенді коэффициенттері бар полиномиал ретінде де қарастырылуы мүмкін. Сондықтан, беттің нүктесі түсінігі келесідей жалпыланды. f(x, y, z) полиномы берілгенде, k – коэффициенттерді қамтитын ең кіші өріс, ал K – k өрісінің шексіз трансценденттік дәрежесінің алгебралық жабық кеңейтімі болсын. Онда беттің нүктесі – K³ элементі, ол теңдеудің шешімі болып табылады. Егер полиномның нақты коэффициенттері болса, K өрісі кешенді өріс болады, ал (қалыпты нүкте) K өрісіне жататын беттің нүктесі нақты нүкте деп аталады. k³ өрісіне жататын нүкте k-ға қатысты рационал деп аталады, немесе егер k – рационал сандар өрісі болса, жай ғана рационал нүкте деп аталады.
If the polynomial has real coefficients, the field K is the complex field, and a point of the surface that belongs to (a usual point) is called a real point. A point that belongs to k^(3) is called rational over k, or simply a rational point, if k is the field of rational numbers.
Жобалау беті
Үш өлшемді проективті кеңістіктегі проективті бет – төрт айнымалыдағы біртекті полиномияның нөлдері болатын біртекті координаттар жиынтығы. Көбінесе, проективті бет – проективті кеңістіктің екінші өлшемді проективті алгебралық қисығының кіші жиынтығы болып табылады. Проективті беттер аффинді беттермен (яғни, қалыпты алгебралық беттермен) тығыз байланысты. Проективті беттен сәйкес аффинді бетке өту үшін анықтамалық полиномдардың бір координатын немесе белгісіз шамасын бірге теңеу керек (әдетте соңғысын). Керісінше, аффинді беттен оның проективті бетіне (проективті толықтыру деп аталады) өту үшін анықтамалық полиномды гомогендеу (үш өлшемді кеңістіктегі беттер үшін) немесе анықтамалық идеалдың барлық полиномдарын гомогендеу (жоғары өлшемді кеңістіктегі беттер үшін) қажет.
Жоғары өлшемді кеңістіктерде
Алгебралық түрліліктің жалпы анықтамасы мен алгебралық түрліліктің өлшемі болмаса, үштен жоғары өлшемді кеңістікте алгебралық бет ұғымын анықтау мүмкін емес. Шындығында, алгебралық бет – бұл екінші өлшемді алгебралық түрлілік. Нақтырақ айтқанда, n өлшемді кеңістіктегі алгебралық бет – бұл кем дегенде n – 2 полиномның ортақ нөлдерінің жиыны, бірақ бұл полиномдар тексеруге бірден көрінбейтін қосымша шарттарды қанағаттандыруы керек. Біріншіден, полиномдар түрлілікті немесе жоғары өлшемді алгебралық жиынтықты анықтамауы керек, бұл әдетте полиномдардың бірі қалғандарының тудырған идеалында болғанда орын алады. Жалпы, n – 2 полином екі немесе одан жоғары өлшемді алгебралық жиынтықты анықтайды. Егер өлшем екі болса, алгебралық жиынның бірнеше ирредуктивті компоненттері болуы мүмкін. Егер тек бір компонент болса, n – 2 полином бетті анықтайды, ол толық қиылыс болып табылады. Егер бірнеше компонент болса, нақты бір компонентті таңдау үшін қосымша полиномдар қажет. Көптеген авторлар алгебралық бет ретінде тек екінші өлшемді алгебралық түрліліктерді қарастырады, бірақ кейбіреулері екі өлшемді ирредуктивті компоненттері бар барлық алгебралық жиынтықтарды да беттер деп қарастырады. Үш өлшемді кеңістіктегі беттер жағдайында, әр бет толық қиылыс болып табылады және бет бір полиноммен анықталады, ол ирредуктивті ме, жоқ па, екі өлшемді ирредуктивті емес алгебралық жиынтықтарды беттер деп қарастыра ма, жоқ па, соған байланысты.
Топологиялық бет
Топологияда бет, әдетте, екінші өлшемді көпқырлы ретінде анықталады. Бұл топологиялық беттің кез келген нүктесінде Евклид жазықтығының ашық ішкі жиынына гомеоморфты көршілес аймақ болатынын білдіреді. Кез келген топологиялық бет, барлық жақтары үшбұрыштардан тұратын полиэдрлі бетке гомеоморфты болады. Мұндай үшбұрыштардың (немесе, жалпы алғанда, жоғары өлшемді симплекстердің) орналасуын комбинаторлық тұрғыдан зерттеу алгебралық топологияның бастапқы нысаны болып табылады. Бұл беттердің қасиеттерін таза алгебралық инварианттар, мысалы, род және гомологиялық топтар арқылы сипаттауға мүмкіндік береді. Беттердің гомеоморфизм кластары толыққандай сипатталған (қ. Топологиядағы бет).