Математическая идеализация поверхности тела

Введение

Математическая идеализация поверхности тела

В математике поверхность — это математическая модель общепринятого понятия поверхности. Она является обобщением плоскости, но, в отличие от плоскости, может быть искривлена; это аналогично тому, как кривая обобщает прямую линию. Существует несколько более точных определений, в зависимости от контекста и используемых математических инструментов для изучения. Самыми простыми математическими поверхностями являются плоскости и сферы в трехмерном евклидовом пространстве. Точное определение поверхности может зависеть от контекста. Как правило, в алгебраической геометрии поверхность может самопересекаться (и иметь другие сингулярности), в то время как в топологии и дифференциальной геометрии это не допускается. Поверхность — это топологическое пространство размерности два; это означает, что точка, движущаяся по поверхности, может перемещаться в двух направлениях (имеет две степени свободы). Иными словами, в окрестности почти каждой точки существует координатная окрестность, на которой определена двумерная система координат. Например, поверхность Земли в идеале напоминает сферу, а широта и долгота предоставляют двумерные координаты на ней (за исключением полюсов и вдоль 180-го меридиана).

Определения

Часто поверхность определяется уравнениями, которые удовлетворяют координатам её точек. Это справедливо для графика непрерывной функции двух переменных. Множество нулей функции трёх переменных представляет собой поверхность, называемую имплицитной поверхностью. Если определяющая функция трёх переменных является многочленом, то поверхность является алгебраической. Например, единичная сфера является алгебраической поверхностью, поскольку её можно определить имплицитным уравнением.

Поверхность также может быть определена как образ непрерывной функции двух переменных в пространстве размерности не менее 3 (некоторые дополнительные условия необходимы для обеспечения того, чтобы образ не являлся кривой). В этом случае говорят, что имеется параметрическая поверхность, которая параметризуется этими двумя переменными, называемыми параметрами. Например, единичную сферу можно параметризовать углами Эйлера, также называемыми долготой u и широтой v.

Параметрические уравнения поверхностей часто нерегулярны в некоторых точках. Например, все точки единичной сферы, кроме двух, являются образом, при указанной параметризации, ровно одной пары углов Эйлера (с точностью до модуля). Для оставшихся двух точек (северного и южного полюсов) выполняется условие 1 = cos v = 0, а долгота u может принимать любые значения. Кроме того, существуют поверхности, для которых не существует единой параметризации, покрывающей всю поверхность. Поэтому часто рассматриваются поверхности, которые параметризуются несколькими параметрическими уравнениями, образы которых покрывают поверхность. Это формализуется понятием многообразия: в контексте многообразий, как правило, в топологии и дифференциальной геометрии, поверхность является многообразием размерности два; это означает, что поверхность является топологическим пространством, таким, что каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству евклидовой плоскости (см. Поверхность (топология) и Поверхность (дифференциальная геометрия)). Это позволяет определять поверхности в пространствах размерности выше трёх и даже абстрактные поверхности, не содержащиеся ни в каком другом пространстве. С другой стороны, это исключает поверхности, имеющие сингулярности, такие как вершина конической поверхности или точки, в которых поверхность самопересекается. В классической геометрии поверхность обычно определяется как геометрическое место точки или прямой. Например, сфера — это геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от фиксированной точки, называемой центром; коническая поверхность — это геометрическое место прямой, проходящей через фиксированную точку и пересекающей кривую; поверхность вращения — это геометрическое место кривой, вращающейся вокруг прямой. Управляемая поверхность — это геометрическое место движущейся прямой, удовлетворяющей некоторым ограничениям; в современной терминологии управляемая поверхность — это поверхность, являющаяся объединением прямых.

Терминология

В математике рассматривается несколько видов поверхностей. Поэтому для их различения, при необходимости, требуется однозначная терминология. Топологическая поверхность – это поверхность, являющаяся двумерным многообразием (см.). Дифференцируемая поверхность – это поверхность, являющаяся дифференцируемым многообразием (см.). Любая дифференцируемая поверхность является топологической поверхностью, но обратное неверно. Часто под "поверхностью" подразумевают поверхность, заключенную в трехмерное евклидово пространство, обычно R³ . Поверхность, заключенная в проективное пространство, называется проективной поверхностью (см.). Поверхность, не предполагаемая заключенной в другое пространство, называется абстрактной поверхностью.

Примеры

График непрерывной функции двух переменных, определенной на связном открытом подмножестве R² является топологической поверхностью. Если функция дифференцируема, то график является дифференцируемой поверхностью. Плоскость является одновременно алгебраической и дифференцируемой поверхностью. Она также является управляемой поверхностью и поверхностью вращения. Круговой цилиндр (то есть геометрическое место точек прямой, пересекающей окружность и параллельной заданному направлению) является алгебраической и дифференцируемой поверхностью. Круговой конус (геометрическое место точек прямой, пересекающей окружность и проходящей через фиксированную точку, вершину, лежащую вне плоскости окружности) является алгебраической поверхностью, но не дифференцируемой. Если удалить вершину, оставшаяся часть конуса представляет собой объединение двух дифференцируемых поверхностей. Поверхность многогранника является топологической поверхностью, которая не является ни дифференцируемой, ни алгебраической поверхностью. Гиперболический параболоид (график функции z = xy) является дифференцируемой и алгебраической поверхностью. Он также является управляемой поверхностью и по этой причине часто используется в архитектуре. Гиперболоид двухполостный является алгебраической поверхностью и объединением двух непересекающихся дифференцируемых поверхностей.

Тангентная плоскость и нормальный вектор

Точка p, в которой вышеуказанная якобианская матрица имеет ранг два, называется регулярной, или, точнее, параметризация называется регулярной в точке p.

Касательная плоскость в регулярной точке p – это единственная плоскость, проходящая через p и имеющая направление, параллельное двум строкам якобианской матрицы. Касательная плоскость является аффинным понятием, поскольку её определение не зависит от выбора метрики. Иными словами, любое аффинное преобразование отображает касательную плоскость к поверхности в точке на касательную плоскость к образу поверхности в образе этой точки. Нормальная линия в точке поверхности – это единственная линия, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости; нормальный вектор – это вектор, параллельный нормальной линии. Для получения информации о других дифференциальных инвариантах поверхностей в окрестности точки, обратитесь к разделу «Дифференциальная геометрия поверхностей».

График двухвариантной функции

Пусть z = f(x, y) будет функцией двух вещественных переменных. Это параметрическая поверхность, заданная параметрически как. Каждая точка этой поверхности является регулярной, так как первые два столбца якобиана образуют единичную матрицу ранга два.

Рациональная поверхность

Рациональная поверхность — это поверхность, которую можно параметризовать рациональными функциями двух переменных. То есть, если fᵢ(t, u) являются, для i = 0, 1, 2, 3, многочленами от двух переменных, то параметрическая поверхность, заданная выражением

является рациональной поверхностью. Рациональная поверхность является алгебраической поверхностью, но большинство алгебраических поверхностей не являются рациональными.

Одиночная точка

Одиночная точка имплицитной поверхности (в ) — это точка поверхности, в которой выполняется неявное уравнение и все три частные производные определяющей функции равны нулю. Следовательно, сингулярные точки являются решениями системы из четырех уравнений с тремя неизвестными. Поскольку большинство таких систем не имеют решений, многие поверхности не имеют сингулярных точек. Поверхность, не имеющая сингулярных точек, называется регулярной или несингулярной. Изучение поверхностей в окрестности их сингулярных точек и классификация этих точек — это теория особенностей. Сингулярная точка называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки нет других сингулярных точек. В противном случае сингулярные точки могут образовывать кривую. Это особенно характерно для самопересекающихся поверхностей.

Поверхности над произвольными полями

Полиномы с коэффициентами из любого поля допускаются для определения алгебраической поверхности. Однако поле коэффициентов многочлена не всегда однозначно определено, поскольку, например, многочлен с рациональными коэффициентами также может рассматриваться как многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами. Поэтому понятие точки поверхности обобщается следующим образом. Для заданного многочлена f(x, y, z) пусть k – наименьшее поле, содержащее его коэффициенты, а K – алгебраически замкнутое расширение k бесконечной степени трансцендентности. Тогда точкой поверхности называется элемент K³, являющийся решением уравнения. Если многочлен имеет вещественные коэффициенты, то поле K является комплексным полем, а точка поверхности, принадлежащая (обычной точке), называется вещественной точкой. Точка, принадлежащая k³, называется рациональной над k, или просто рациональной точкой, если k – поле рациональных чисел.

Проективная поверхность

Проективная поверхность в проективном пространстве размерности три — это множество точек, чьи однородные координаты являются нулями единственного однородного многочлена от четырех переменных. В более общем случае, проективная поверхность — это подмножество проективного пространства, являющееся проективным многообразием размерности два. Проективные поверхности тесно связаны с аффинными поверхностями (то есть обычными алгебраическими поверхностями). Переход от проективной поверхности к соответствующей аффинной поверхности осуществляется путем приравнивания к единице некоторой координаты или неопределённости из определяющих многочленов (обычно последней). Обратно, от аффинной поверхности к связанной с ней проективной поверхности (называемой проективным завершением) можно перейти, гомогенизируя определяющий многочлен (в случае поверхностей в пространстве размерности три) или гомогенизируя все многочлены определяющего идеала (для поверхностей в пространстве более высокой размерности).

В пространстве с более высокими измерениями

Невозможно определить понятие алгебраической поверхности в пространстве размерности выше трех без общего определения алгебраического многообразия и размерности алгебраического многообразия. Фактически, алгебраическая поверхность – это алгебраическое многообразие размерности два. Более точно, алгебраическая поверхность в пространстве размерности n – это множество общих нулей как минимум n – 2 полиномов, но эти полиномы должны удовлетворять дополнительным условиям, которые не всегда легко проверить. Во-первых, полиномы не должны определять многообразие или алгебраическое множество большей размерности, что обычно происходит, если один из полиномов принадлежит идеалу, порожденному остальными. Как правило, n – 2 полинома определяют алгебраическое множество размерности два или выше. Если размерность равна двум, алгебраическое множество может иметь несколько неприводимых компонент. Если существует только одна компонента, то n – 2 полинома определяют поверхность, являющуюся полным пересечением. Если существует несколько компонент, то для выделения конкретной компоненты требуются дополнительные полиномы. Большинство авторов рассматривают в качестве алгебраической поверхности только алгебраические многообразия размерности два, но некоторые также относят к поверхностям все алгебраические множества, чьи неприводимые компоненты имеют размерность два. В случае поверхностей в пространстве размерности три, каждая поверхность является полным пересечением, и поверхность определяется одним полиномом, который может быть неприводимым или нет, в зависимости от того, считаются ли неприводимые алгебраические множества размерности два поверхностями.

Топологическая поверхность

В топологии поверхность обычно определяется как многообразие размерности два. Это означает, что топологическая поверхность — это топологическое пространство, в котором для каждой точки существует окрестность, гомеоморфная открытому подмножеству евклидовой плоскости. Каждая топологическая поверхность гомеоморфна полиэдральной поверхности, у которой все грани являются треугольниками. Комбинаторное изучение таких расположений треугольников (или, в более общем случае, симплексов более высокой размерности) является отправной точкой алгебраической топологии. Это позволяет характеризовать свойства поверхностей в терминах чисто алгебраических инвариантов, таких как род и гомологические группы. Классы гомеоморфизма поверхностей полностью описаны (см. Поверхность (топология)).