Кіріспе
Дехн леммасының 3-көптүрлілік топологиясындағы жалпылауы
Математикада, 3-көптүрлілік топологиясында, цикл теоремасы Дехн леммасының жалпылауы болып табылады. Бұрау теоремасын алғаш рет 1956 жылы Христос Папакириакопулос Дехн леммасы мен сфера теоремасымен бірге дәлелдеді. Бұрау теоремасының қарапайым және пайдалы нұсқасы, егер шекарасы ∂M бар 3-өлшемді көптік M үшін nullhomotopic емес карта болса, онда сол қасиетке ие кіріктіру бар. Джон Сталлингспен байланысты бұрау теоремасының келесі нұсқасы стандартты 3-көптүрлілік туралы еңбектерде (мысалы, Хемпель немесе Жако) келтірілген:
In mathematics, in the topology of 3 manifolds, the loop theorem is a generalization of Dehn's lemma. The loop theorem was first proven by Christos Papakyriakopoulos in 1956, along with Dehn's lemma and the Sphere theorem. A simple and useful version of the loop theorem states that if for some 3 dimensional manifold M with boundary ∂M there is a map
with not nullhomotopic in , then there is an embedding with the same property. The following version of the loop theorem, due to John Stallings, is given in the standard 3 manifold treatises (such as Hempel or Jaco):
Let be a 3 manifold and let
be a connected surface in Let be a normal subgroup such that Let be a continuous map such that and Then there exists an embedding such that and
Furthermore if one starts with a map f in general position, then for any neighborhood U of the singularity set of f, we can find such a g with image lying inside the union of image of f and U. Stalling's proof utilizes an adaptation, due to Whitehead and Shapiro, of Papakyriakopoulos' "tower construction". The "tower" refers to a special sequence of coverings designed to simplify lifts of the given map. The same tower construction was used by Papakyriakopoulos to prove the sphere theorem (3 manifolds), which states that a nontrivial map of a sphere into a 3 manifold implies the existence of a nontrivial embedding of a sphere. There is also a version of Dehn's lemma for minimal discs due to Meeks and S. T. Yau, which also crucially relies on the tower construction. A proof not utilizing the tower construction exists of the first version of the loop theorem. This was essentially done 30 years ago by Friedhelm Waldhausen as part of his solution to the word problem for Haken manifolds; although he recognized this gave a proof of the loop theorem, he did not write up a detailed proof. The essential ingredient of this proof is the concept of Haken hierarchy. Proofs were later written up, by Klaus Johannson, Marc Lackenby, and Iain Aitchison with Hyam Rubinstein.
3-көптүрлілік болсын және ішіндегі байланысты бет болсын. қалыпты подгруппа болсын, мұндай жағдайда болсын. үзіліссіз карта болсын, мұндай және болса, онда және шарттарын қанағаттандыратын кіріктіру бар.
In mathematics, in the topology of 3 manifolds, the loop theorem is a generalization of Dehn's lemma. The loop theorem was first proven by Christos Papakyriakopoulos in 1956, along with Dehn's lemma and the Sphere theorem. A simple and useful version of the loop theorem states that if for some 3 dimensional manifold M with boundary ∂M there is a map
with not nullhomotopic in , then there is an embedding with the same property. The following version of the loop theorem, due to John Stallings, is given in the standard 3 manifold treatises (such as Hempel or Jaco):
Let be a 3 manifold and let
be a connected surface in Let be a normal subgroup such that Let be a continuous map such that and Then there exists an embedding such that and
Furthermore if one starts with a map f in general position, then for any neighborhood U of the singularity set of f, we can find such a g with image lying inside the union of image of f and U. Stalling's proof utilizes an adaptation, due to Whitehead and Shapiro, of Papakyriakopoulos' "tower construction". The "tower" refers to a special sequence of coverings designed to simplify lifts of the given map. The same tower construction was used by Papakyriakopoulos to prove the sphere theorem (3 manifolds), which states that a nontrivial map of a sphere into a 3 manifold implies the existence of a nontrivial embedding of a sphere. There is also a version of Dehn's lemma for minimal discs due to Meeks and S. T. Yau, which also crucially relies on the tower construction. A proof not utilizing the tower construction exists of the first version of the loop theorem. This was essentially done 30 years ago by Friedhelm Waldhausen as part of his solution to the word problem for Haken manifolds; although he recognized this gave a proof of the loop theorem, he did not write up a detailed proof. The essential ingredient of this proof is the concept of Haken hierarchy. Proofs were later written up, by Klaus Johannson, Marc Lackenby, and Iain Aitchison with Hyam Rubinstein.
Сонымен қатар, егер f картасымен бастасақ, f сингулярлық жиынының кез келген U аймағы үшін, f және U бейнелерінің бірігісінің ішінде бейнесі бар g таба аламыз. Сталлингтің дәлелі Уайтхед пен Шапироға тиесілі Папакириакопулостың "мұнара құрылысын" пайдаланады. "Мұнара" – берілген картаның көтерілуін жеңілдетуге арналған ерекше жамылғылар тізбегі. Папакириакопулос осы мұнара құрылысын сфера теоремасын (3-көптүрлілік) дәлелдеу үшін қолданды, онда сфераның тривиалды емес картасы 3-көптүрлілікке айналуы сфераның тривиалды емес кіріктірілуінің бар екендігін білдіреді. Микс пен С.Т. Яудың еңбектерінде минималды дискілер үшін Дехн леммасының нұсқасы да бар, ол да мұнара құрылысына негізделген. Бұрау теоремасының бірінші нұсқасының мұнара құрылысын пайдаланбайтын дәлелі де бар. Бұл негізінен Фридхельм Вальдхаузеннің 30 жыл бұрын Хакен көптүрліліктері үшін сөз мәселесін шешуінің бір бөлігі ретінде жасалды; ол бұл бұрау теоремасының дәлелін беретінін мойындаса да, егжей-тегжейлі дәлел жазбады. Бұл дәлелдеменің маңызды бөлігі – Хакен иерархиясы. Кейіннен дәлелдемелерді Клаус Йохансон, Марк Лаккенби және Иан Эйтчисон Хайам Рубинштейнмен бірге жазды.
In mathematics, in the topology of 3 manifolds, the loop theorem is a generalization of Dehn's lemma. The loop theorem was first proven by Christos Papakyriakopoulos in 1956, along with Dehn's lemma and the Sphere theorem. A simple and useful version of the loop theorem states that if for some 3 dimensional manifold M with boundary ∂M there is a map
with not nullhomotopic in , then there is an embedding with the same property. The following version of the loop theorem, due to John Stallings, is given in the standard 3 manifold treatises (such as Hempel or Jaco):
Let be a 3 manifold and let
be a connected surface in Let be a normal subgroup such that Let be a continuous map such that and Then there exists an embedding such that and
Furthermore if one starts with a map f in general position, then for any neighborhood U of the singularity set of f, we can find such a g with image lying inside the union of image of f and U. Stalling's proof utilizes an adaptation, due to Whitehead and Shapiro, of Papakyriakopoulos' "tower construction". The "tower" refers to a special sequence of coverings designed to simplify lifts of the given map. The same tower construction was used by Papakyriakopoulos to prove the sphere theorem (3 manifolds), which states that a nontrivial map of a sphere into a 3 manifold implies the existence of a nontrivial embedding of a sphere. There is also a version of Dehn's lemma for minimal discs due to Meeks and S. T. Yau, which also crucially relies on the tower construction. A proof not utilizing the tower construction exists of the first version of the loop theorem. This was essentially done 30 years ago by Friedhelm Waldhausen as part of his solution to the word problem for Haken manifolds; although he recognized this gave a proof of the loop theorem, he did not write up a detailed proof. The essential ingredient of this proof is the concept of Haken hierarchy. Proofs were later written up, by Klaus Johannson, Marc Lackenby, and Iain Aitchison with Hyam Rubinstein.
Қорытынды
Бұрау теоремасының бір қарапайым салдары мынадай: болсын – компактты, бағдарланатын, азайтылмайтын 3-көптүрлілік. Онда – сығылмайтын болады, егер және тек қана егер әрбір компоненті үшін инъективті болса.