Кіріспе
Топологиядағы теорема. Математикада Денаның леммасы дисктің 3-өлшемді кеңістікке бөлінген бөлшектік сызықтық бейнелеуі, егер бейнелеудің ерекшелік жиыны диск ішінде орналасса, онда диск үшін басқа бөлшектік сызықтық бейнелеудің бар екенін көрсетеді, ол ендірілім болып табылады және диск шекарасында түпнұсқамен сәйкес келеді. Бұл теореманы , дәлелдеген деп есептелген, бірақ ол дәлелдемеде қателік тапты. Денаның леммасының күмәнділігі Йоханссонның (1938) жұмысын пайдаланып, өзінің "мұнаралық құрылысын" қолданып оны дәлелдегенге дейін сақталды. Ол сондай-ақ теореманы цикл теоремасы мен сфера теоремасына дейін жалпылады.
In mathematics, Dehn's lemma asserts that a piecewise linear map of a disk into a 3 manifold, with the map's singularity set in the disk's interior, implies the existence of another piecewise linear map of the disk which is an embedding and is identical to the original on the boundary of the disk. This theorem was thought to be proven by , but found a gap in the proof. The status of Dehn's lemma remained in doubt until using work by Johansson (1938) proved it using his "tower construction". He also generalized the theorem to the loop theorem and sphere theorem.
Манара құрылысы
Папакириакопулос жабу кеңістіктерінің мұнарасын қолданып Дэннің леммасын дәлелдеді. Көп ұзамай ол одан да қарапайым дәлел келтірді, бұл одан да күшті нәтиже берді. Олардың дәлелі Папакириакопулостың мұнара құрылымын пайдаланды, бірақ екі еселі жабулармен, келесідей: 1-қадам: Диск бейнесінің тұрақты аймағының екі еселі жабуын қайталап алып, кеңістіктердің мұнарасын құраңыз, олардың әрқайсысы төменгісінің екі еселі жабуы болады. Дискідегі картаны осы мұнараның барлық деңгейлеріне көтеруге болады. Әрбір екі еселі жабу диск енуінің ерекшеліктерін азайтады, сондықтан мұндай екі еселі жабулардың шекті санын алу мүмкін, ал мұнараның жоғарғы деңгейінде екі еселі жабулар болмайды. 2-қадам. Егер 3-өлшемді кеңістікте екі еселі жабу болмаса, онда оның барлық шекаралық компоненттері 2 сфера болып табылады. Атап айтқанда, мұнараның жоғарғы деңгейінде осы қасиет бар, және осы жағдайда дискіден картаны өзгерту оңай, осылайша ол енуге айналады. 3-қадам. Дискіге енгізілген енуді екі дискіден кесіп, жабыстыру арқылы екі еселі жабу мұнарасы бойынша бір қадамнан төмен түсіруге болады.
Step 1: Repeatedly take a connected double cover of a regular neighborhood of the image of the disk to produce a tower of spaces, each a connected double cover of the one below it. The map from the disk can be lifted to all stages of this tower. Each double cover simplifies the singularities of the embedding of the disk, so it is only possible to take a finite number of such double covers, and the top level of this tower has no connected double covers. Step 2. If the 3 manifold has no connected double covers then all its boundary components are 2 spheres. In particular the top level of the tower has this property, and in this case it is easy to modify the map from the disk so that it is an embedding. Step 3. The embedding of the disk can now be pushed down the tower of double covers one step at a time, by cutting and pasting the 2 disk.