Введение
Теорема в топологии
В математике, лемма Дена утверждает, что кусочно-линейное отображение диска в 3-многообразие, сингулярное множество которого находится во внутренней области диска, влечет за собой существование другого кусочно-линейного отображения диска, являющегося вложением и совпадающего с исходным на границе диска. Считалось, что эту теорему доказал , но обнаружил ошибку в доказательстве. Статус леммы Дена оставался под вопросом до тех пор, пока , используя работы Йоханссона (1938), не доказал её с помощью своей "конструкции башни". Он также обобщил теорему на теорему о петле и теорему о сфере.
In mathematics, Dehn's lemma asserts that a piecewise linear map of a disk into a 3 manifold, with the map's singularity set in the disk's interior, implies the existence of another piecewise linear map of the disk which is an embedding and is identical to the original on the boundary of the disk. This theorem was thought to be proven by , but found a gap in the proof. The status of Dehn's lemma remained in doubt until using work by Johansson (1938) proved it using his "tower construction". He also generalized the theorem to the loop theorem and sphere theorem.
Строительство башни
Папакириакопулос доказал лемму Дёна, используя башню покрывающих пространств. Вскоре после этого был предложен существенно более простой вариант доказательства, устанавливающий более сильный результат. В их доказательстве использовалась башенная конструкция Папакириакопулоса, но с применением двойных накрытий, следующим образом:
Шаг 1: Последовательно строят соединенное двойное накрытие регулярной окрестности образа диска, получая башню пространств, где каждое следующее пространство является соединенным двойным накрытием предыдущего. Отображение с диска можно поднимать на все уровни этой башни. Каждое двойное накрытие упрощает сингулярности вложения диска, поэтому можно построить лишь конечное число таких накрытий, и верхний уровень башни не имеет соединенных двойных накрытий. Шаг 2: Если трехмерное многообразие не имеет соединенных двойных накрытий, то все его граничные компоненты являются двумерными сферами. В частности, верхний уровень башни обладает этим свойством, и в этом случае легко модифицировать отображение с диска так, чтобы оно стало вложением. Шаг 3: Вложение диска теперь можно последовательно "опускать" вниз по башне двойных накрытий, разрезая и склеивая двумерные диски.