Кіріспе
Математикалық жиынтар класы. Математикада Борель жиыны – топологиялық кеңістіктегі кез келген жиын, ол ашық жиындардан (немесе, балама ретінде, жабық жиындардан) саналатын біріктіру, саналатын қиылысу және салыстырмалы толықтыру операциялары арқылы құрастырылуы мүмкін. Борель жиыны Эмиль Борельдің құрметіне аталған. Топологиялық X кеңістігі үшін, X-тегі барлық Борель жиындарының жиынтығы σ-алгебраны құрайды, ол Борель алгебрасы немесе Борель σ-алгебрасы деп аталады. X кеңістігіндегі Борель алгебрасы – барлық ашық жиындарды (немесе, теңдесінше, барлық жабық жиындарды) қамтитын ең кіші σ-алгебра. Борель жиындары өлшемдер теориясында маңызды, себебі кеңістіктің ашық жиындары немесе жабық жиындары бойынша анықталған кез келген өлшем сол кеңістіктің барлық Борель жиындары бойынша да анықталған болуы керек. Борель жиындары бойынша анықталған кез келген өлшем Борель өлшемі деп аталады. Борель жиындары және олармен байланысты Борель иерархиясы да сипаттамалық жиынтар теориясындағы маңызды рөл атқарады. Кейбір жағдайларда Борель жиыны ашық жиындардың орнына топологиялық кеңістіктің компакт жиындары арқылы құрастырылған деп анықталады. Екі анықтама көптеген жақсы қасиеттері бар кеңістіктерде, соның ішінде барлық Хаусдорф σ-компакт кеңістіктерінде бірдей, бірақ патологиялық кеңістіктерде әртүрлі болуы мүмкін.
In mathematics, a Borel set is any set in a topological space that can be formed from open sets (or, equivalently, from closed sets) through the operations of countable union, countable intersection, and relative complement. Borel sets are named after Émile Borel. For a topological space X, the collection of all Borel sets on X forms a σ algebra, known as the Borel algebra or Borel σ algebra. The Borel algebra on X is the smallest σ algebra containing all open sets (or, equivalently, all closed sets). Borel sets are important in measure theory, since any measure defined on the open sets of a space, or on the closed sets of a space, must also be defined on all Borel sets of that space. Any measure defined on the Borel sets is called a Borel measure. Borel sets and the associated Borel hierarchy also play a fundamental role in descriptive set theory. In some contexts, Borel sets are defined to be generated by the compact sets of the topological space, rather than the open sets. The two definitions are equivalent for many well behaved spaces, including all Hausdorff σ compact spaces, but can be different in more pathological spaces.
Мысал
Маңызды мысал, әсіресе ықтималдық теориясында, нақты сандар жиынындағы Борель алгебрасы. Ол Борель өлшемінің анықталатын алгебрасы. Ықтималдық кеңістігінде анықталған нақты кездейсоқ айнымалының ықтималдық үлестірімі, анықтама бойынша, Борель алгебрасы бойынша да өлшем болып табылады. Нақты сандардағы Борель алгебрасы – R-дегі барлық интервалдарды қамтитын ең кіші σ-алгебра. Трансфиниттік индукция арқылы құрастыруда, әр қадамда жиындардың саны континуумның кардиналдығынан аспайтынын көрсетуге болады. Демек, Борель жиындарының жалпы саны континуумның кардиналдығынан кем немесе тең.
Шындығында, Борель жиындары жиынының кардиналдығы континуумның кардиналдығымен тең (Лебег өлшенетін жиындардың санымен салыстырыңыз, ол қатаң түрде үлкен және тең).
Баламалы емес анықтамалардың баламалы түрлері
Пол Халмостың айтуынша, жергілікті тығыз үйлесімді Хаусдорф топологиялық кеңістігінің ішкі жиыны, егер ол барлық тығыз жиынтықтарды қамтитын ең кішкентай σ-сақинасына жатса, Борель жиыны деп аталады. Норберг пен Верваат топологиялық кеңістіктің Борель алгебрасын оның ашық ішкі жиындары және тығыз қаныққан ішкі жиындары арқылы туындаған алгебра ретінде қайта анықтайды. Бұл анықтама Хаусдорф емес жағдайларда қолдануға ыңғайлы. Егер кеңістік екінші рет санаулы болса немесе әрбір тығыз қаныққан ішкі жиын жабық болса (әсіресе, егер кеңістік Хаусдорф болса), онда бұл анықтама дәстүрлі анықтамамен сәйкес келеді.