Кіріспе

Математикада проективті унитарлық топ PU(n) – бұл унитарлық топ U(n) пен оның орталығының оң жақтан көбейтуінің бөліндісі, U(1), скалярлар ретінде енгізілген. Абстрактілі түрде, ол кешенді проективті кеңістіктің голоморфты изометриялық тобы болып табылады, дәл сол сияқты проективті ортогоналдық топ нақты проективті кеңістіктің изометриялық тобы болып табылады. Матрицалар тұрғысынан алғанда, U(n) элементтері – кешенді n×n унитарлық матрицалар, ал орталық элементтері – e^(iθ)I-ге тең диагональдық матрицалар, мұнда I – бірлік матрица. Осылайша, PU(n) элементтері тұрақты фаза θ-ға көбейтілген унитарлық матрицалардың эквиваленттілік кластарына сәйкес келеді. Бұл кеңістік SU(n) емес (оған тек детерминанттың біреу болуын қана талап етіледі), себебі SU(n) әлі де e^(iθ)I элементтерін қамтиды, мұнда e^(iθ) – бірліктің n-ші түбірі (содан кейін). Абстрактілі түрде, V гермиттік кеңістік берілгенде, PU(V) тобы – проективті кеңістіктің автоморфизм тобындағы U(V) унитарлық тобының бейнесі болып табылады.

Шекті өрістер

Біреуі шекті өрістердегі бірлік топтарын да анықтауы мүмкін: q реті өрісі берілгенде, векторлық кеңістіктерде бірегейге дейін бірлік конгруенцияға дейін дегенгереймейтін Гермиттік құрылым бар, және сәйкесінше матрицалық топ белгіленеді немесе және сонымен қатар арнайы және проективті бірлік топтар. Бұл мақалада конвенциясы қолданылған. Естеріңізге сала кетейік, шекті өрістің бірліктер тобы циклдік, сондықтан бірліктер тобы және осылайша инвертируемый скалярлық матрицалар тобы циклдік тобы болып табылады. орталығы q + 1 ретінде және унитарлық скалярлық матрицалардан тұрады, яғни матрицаларынан. Арнайы унитарлық топтың орталығы gcd(n, q + 1) ретінде болады және n-ді бөлетін тәртібі бар сол унитарлық скалярлардан тұрады.

Бірлік тобының орталығымен бөлінген бөлігі – проективті бірлік тобы, ал арнайы унитарлық топтың орталығымен бөлінген бөлігі – проективті арнайы унитарлық топ . Көп жағдайларда (n ≥ 2 және ), толық топ болып табылады және – шекті жай топ, .

PU ((H) - шеңберлі топтамаларды жіктеу кеңістігі

Сол конструкцияны шексіз өлшемді Гильберт кеңістігінде әрекет ететін матрицаларға қолдануға болады. U(H) деп шексіз өлшемді Гильберт кеңістігіндегі унитар операторлардың кеңістігін білдірейік. Егер f: X → U(H) – X компактты кеңістігінен унитарлық топқа үздіксіз бейнелеу болса, оның бейнесінің шекті өлшемді жуықтауын және қарапайым K-теориялық тәсілді пайдаланып, оның бір нүктеге тривиальды бейнелеуге гомотопты екенін көрсетуге болады. Бұл U(H) әлсіз жиырылатындығын білдіреді, ал қосымша дәлел оның шын мәнінде жиырылатындығын көрсетеді. Бұл, U(n) және олардың лиміті U(∞) сияқты шекті өлшемді аналогтарымен салыстырғанда, таза шексіз өлшемді құбылыс екенін ескеріңіз, олар жиырылмайды және матрицалардың анықтамасымен берілген U(1) унитарлық тобына гомотоптық тривиальды емес үздіксіз бейнелеулерді қабылдайды. Шексіз өлшемді унитарлық топтың орталығы, шекті өлшемді жағдайдағыдай, U(1) болып табылады, ол қайтадан унитарлық топқа фазамен көбейту арқылы әсер етеді. Унитарлық топта нөлдік матрица болмағандықтан, бұл әрекет еркін. Осылайша, U(1) әрекеті бар жиырылатын кеңістік EU(1) деп аталады, ал U(1) орбиталарының кеңістігі BU(1) деп аталады, ол U(1) үшін жіктеу кеңістігі болып табылады.

Қосалқы өкілдік

PU(n) жалпы алғанда n өлшемді бейнелеуге ие емес, дәл сол сияқты SO(3) екі өлшемді бейнелеуге ие емес. PU(n) SU(n) -ге серіктес әрекет етеді, сондықтан оның өлшемді бейнелеуі бар. n = 2 болғанда бұл SO(3) үш өлшемді бейнелеуімен сәйкес келеді. Серіктес әрекет PU(n) элементін U(n) элементтерінің фаза бойынша ерекшеленетін эквиваленттік класы ретінде қарастыру арқылы анықталады. Содан кейін осы U(n) өкілдерінің кез келгеніне қатысты серіктес әрекет жасауға болады, ал фазалар барлық нәрсемен коммутацияланып, қысқарады. Осылайша, әрекет өкілдің таңдауына тәуелсіз және демек, жақсы анықталған.

Бұрмаланған К-теориясы

Шексіз проективті унитарлық топтың қосалқы әрекеті бұрмаланған K-теорияның геометриялық анықтамаларында пайдалы. Мұнда шексіз өлшемді Fredholm операторлары немесе шексіз унитарлық топтағы қосалқы әрекет қолданылады. Бұрылысты H-мен бұрмаланған K-теорияның геометриялық құрастырылымдарында, ол буып-түйеудің талшығы болып табылады, ал әртүрлі бұрылыстар H әртүрлі фибрацияларға сәйкес келеді. Төменде көрсетілгендей, топологиялық тұрғыдан ол Эйленберг–Маклейн кеңістігін көрсетеді, сондықтан буып-түйеулердің жіктелу кеңістігі – Эйленберг–Маклейн кеңістігі – сонымен қатар үшінші интегралды кохомология тобының жіктелу кеңістігі болып табылады, сондықтан буып-түйеулер үшінші интегралды кохомология бойынша жіктеледі. Нәтижесінде, бұрмаланған K-теорияның мүмкін бұрылыстары H, үшінші интегралды кохомологияның элементтері болып табылады.

Таза Янг-Миллс өлшемі теориясы

Таза Янг–Миллс SU(n) өлшегіш теориясында, тек глюондармен және ешқандай элементарлық материясы жоқ өлшегіш теорияда, барлық өрістер өлшегіш топтың SU(n) бойынша қосымша өкілдігінде өзгереді. SU(n) орталығы, өзі орталықта болғандықтан, SU(n) мәнді өрістермен коммутациялайды, сондықтан орталықтың қосымша әрекеті тривиальды. Сондықтан өлшегіш симметрия – SU(n)-ның , яғни PU(n)-ның бөлігі, және ол жоғарыда сипатталған қосымша әрекетті пайдаланып өрістерге әсер етеді. Осы контексте SU(n) және PU(n) арасындағы айырмашылықтың маңызды физикалық салдары бар. SU(n) жай ғана байланысқан, бірақ PU(n)-ның негізгі тобы – n реттік циклдік топ. Сондықтан, қосымша скалярлары бар PU(n) өлшегіш теориясында кодименсиясы 2-ге тең тривиальды емес вортикстер болады, онда скалярлардың күтілетін мәндері вортиксті айналдырғанда PU(n)-ның тривиальды емес циклі бойынша бұрылады. Осы вортикстерде де зарядтар болады, яғни олар бір-біріне тартылады, ал n вортикс бір-бірімен жанасқанда жойылады. Мұндай вортикстің мысалы – SU(n) Сейберг–Уиттен өлшегіш теорияларындағы Дуглас–Шенкер жібі.