Введение

В математике, проективная унитарная группа PU(n) — это факторгруппа унитарной группы U(n) по правому умножению на её центр, U(1), рассматриваемый как скаляры. Абстрактно, это голоморфная группа изометрий комплексного проективного пространства, подобно тому, как проективная ортогональная группа является группой изометрий вещественного проективного пространства. С точки зрения матриц, элементы U(n) — это комплексные n×n унитарные матрицы, а элементы центра — диагональные матрицы вида e^(iθ)I, где I — единичная матрица. Таким образом, элементы PU(n) соответствуют классам эквивалентности унитарных матриц относительно умножения на постоянную фазу θ. Это пространство не совпадает с SU(n) (которой требуется лишь, чтобы определитель был равен единице), поскольку SU(n) все еще содержит элементы e^(iθ)I, где e^(iθ) является n-м корнем из единицы (поскольку тогда). Абстрактно, для заданного эрмитова пространства V, группа PU(V) является образом унитарной группы U(V) в группе автоморфизмов проективного пространства P(V).

Определенные поля

Можно также определить унитарные группы над конечными полями: для поля порядка q существует невырожденная эрмитова структура на векторных пространствах, единственная с точностью до унитарной конгруэнтности, и, соответственно, матричная группа, обозначаемая как или , а также специальные и проективные унитарные группы. Для удобства в данной статье используется обозначение . Напомним, что группа единиц конечного поля циклическая, поэтому группа единиц и, следовательно, группа обратимых скалярных матриц в является циклической группой порядка . Центр имеет порядок q + 1 и состоит из скалярных матриц, являющихся унитарными, то есть матриц с . Центр специальной унитарной группы имеет порядок НОД(n, q + 1) и состоит из тех унитарных скаляров, порядок которых также делит n.

Частное унитарной группы по её центру является проективной унитарной группой, , а частное специальной унитарной группы по её центру – проективной специальной унитарной группой . В большинстве случаев (n ≥ 2 и ), является совершенной группой, а – конечной простой группой.

PU(H) - классификационное пространство для круговых пучков

Та же конструкция может быть применена к матрицам, действующим на бесконечномерное гильбертово пространство. Пусть U(H) обозначает пространство унитарных операторов на бесконечномерном гильбертовом пространстве. Если f: X → U(H) – непрерывное отображение компактного пространства X в унитарную группу, то можно использовать конечномерное приближение его образа и простой K-теоретический прием, чтобы показать, что оно фактически гомотопно тривиальному отображению в одну точку. Это означает, что U(H) слабо стягиваемо, и дополнительный аргумент показывает, что оно действительно стягиваемо. Следует отметить, что это чисто бесконечномерное явление, в отличие от конечномерных аналогов U(n) и их предела U(∞) при включениях, которые не стягиваемы и допускают гомотопно нетривиальные непрерывные отображения на U(1), задаваемые определителем матриц. Центр бесконечномерной унитарной группы, как и в конечномерном случае, равен U(1), который снова действует на унитарную группу посредством умножения на фазу. Поскольку унитарная группа не содержит нулевую матрицу, это действие свободно. Таким образом, это стягиваемое пространство с действием U(1), которое отождествляется с EU(1), а пространство орбит U(1) является BU(1) – классифицирующим пространством для U(1).

Заместитель представительства

PU(n) в общем случае не имеет n-мерных представлений, так же как SO(3) не имеет двухмерных представлений. PU(n) имеет сопряжённое действие на SU(n), следовательно, имеет (n²-1)-мерное представление. Когда n = 2, это соответствует трехмерному представлению SO(3). Сопряжённое действие определяется рассмотрением элемента PU(n) как класса эквивалентности элементов U(n), различающихся по фазе. Тогда можно взять сопряжённое действие относительно любого из этих представителей U(n), и фазы коммутируют со всем и, следовательно, сокращаются. Таким образом, действие не зависит от выбора представителя и, следовательно, оно корректно определено.

Скрученная К-теория

Совместное действие бесконечной проективной унитарной группы полезно в геометрических определениях теории скрученной K-теории. Здесь используется сопряженное действие бесконечномерного оператора на операторы Фредгольма или на бесконечную унитарную группу. В геометрических построениях скрученной K-теории с кручением H, является волокном расслоения, а различные кручения H соответствуют различным расслоениям. Как видно ниже, топологически представляет собой пространство Эйленберга — Маклейна, поэтому классифицирующее пространство расслоений является пространством Эйленберга — Маклейна, которое также является классифицирующим пространством для третьей интегральной когомологической группы, следовательно, расслоения классифицируются третьей интегральной когомологией. В результате, возможные кручения H скрученной K-теории — это именно элементы третьей интегральной когомологии.

Чистая теория калибровки Янг-Миллз

В чистой теории Янга–Миллса SU(n), являющейся калибровочной теорией, содержащей только глюоны и не содержащей фундаментальных частиц материи, все поля преобразуются в сопряжённое представление калибровочной группы SU(n). Центр SU(n) коммутирует, будучи центром, с полями, принимающими значения в SU(n), и поэтому сопряжённое действие центра тривиально. Следовательно, калибровочная симметрия является частным от отношения SU(n) по , что является PU(n) и действует на поля посредством сопряжённого действия, описанного выше. В этом контексте различие между SU(n) и PU(n) имеет важное физическое следствие. SU(n) просто связен, но фундаментальная группа PU(n) является , циклической группой порядка n. Поэтому калибровочная теория PU(n) с сопряжёнными скалярами будет иметь нетривиальные вихри коразмерности 2, в которых средние значения скаляров обвиваются вокруг нетривиального цикла PU(n) при обходе вихря. Следовательно, эти вихри также несут заряды в , что подразумевает их взаимное притяжение, и при контакте n вихрей они аннигилируют. Примером такого вихря является струна Дугласа–Шенкера в калибровочных теориях Зейберга–Уиттена.