Основы и базисы векторных пространств и модулей

Введение

Набор векторов, используемых для определения координат.

В математике, набор B векторов в векторном пространстве V называется базисом (базисами), если каждый элемент V может быть представлен единственным образом в виде конечной линейной комбинации элементов B. Коэффициенты этой линейной комбинации называются компонентами или координатами вектора относительно B. Элементы базиса называются базисными векторами. Эквивалентно, набор B является базисом, если его элементы линейно независимы и каждый элемент V является линейной комбинацией элементов B. Иными словами, базис – это линейно независимое порождающее множество. Векторное пространство может иметь несколько базисов, однако все базисы содержат одинаковое количество элементов, называемое размерностью векторного пространства. Данная статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие из принципов также применимы к бесконечномерным векторным пространствам.

Свободный модуль

Если заменить поле, встречающееся в определении векторного пространства, кольцом, то получается определение модуля. Для модулей линейная независимость и базис определяются точно так же, как и для векторных пространств, хотя термин "генерирующий набор" используется чаще, чем "базис". Как и для векторных пространств, основание модуля – это линейно независимое подмножество, которое также является генерирующим множеством. Важное отличие от теории векторных пространств заключается в том, что не каждый модуль имеет основание. Модуль, имеющий основание, называется свободным модулем. Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, поскольку их можно использовать для описания структуры несвободных модулей с помощью свободных резолюций. Модуль над целыми числами – это то же самое, что и абелева группа. Следовательно, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают специфическими свойствами, которые не разделяют модули над другими кольцами. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и если G является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы H (то есть абелевой группы, имеющей конечный базис), то существует базис H и целое число 0 ≤ k ≤ n такое, что является базисом G, для некоторых ненулевых целых чисел. Подробности см. в .

Анализ

В контексте бесконечномерных векторных пространств над действительными или комплексными числами термин "базис Гамеля" (названный в честь Георга Гамеля) или "алгебраический базис" может использоваться для обозначения базиса, как определено в данной статье. Это делается для того, чтобы отличать его от других понятий "базиса", которые возникают, когда бесконечномерные векторные пространства наделяются дополнительной структурой. Наиболее важными альтернативами являются ортогональные базисы в пространствах Гильберта, базисы Шаудера и базисы Маркушевича в нормированных линейных пространствах. В случае действительных чисел R, рассматриваемых как векторное пространство над полем Q рациональных чисел, базисы Гамеля неисчислимы и имеют кардинальность континуума, то есть кардинальное число , где (алеф-нуль) – наименьший бесконечный кардинал, кардинал целых чисел. Общей чертой других понятий является то, что они допускают взятие бесконечных линейных комбинаций базисных векторов для порождения пространства. Это, разумеется, требует, чтобы бесконечные суммы имели смысл на этих пространствах, что справедливо для топологических векторных пространств – большого класса векторных пространств, включающего, например, пространства Гильберта, пространства Банаха или пространства Фреше. Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств обусловлено тем, что базис Гамеля становится "слишком большим" в пространствах Банаха: если X – бесконечномерное нормированное векторное пространство, которое полно (то есть X – пространство Банаха), то любой базис Гамеля в X обязательно неисчислим. Это следствие теоремы о категории Бейра. Полнота и бесконечная размерность являются ключевыми предположениями в приведенном утверждении. Действительно, конечномерные пространства по определению имеют конечные базисы, и существуют бесконечномерные (неполные) нормированные пространства, имеющие счетные базисы Гамеля. Рассмотрим , пространство последовательностей действительных чисел, содержащих лишь конечное число ненулевых элементов, с нормой <math display="inline">\ Его стандартный базис, состоящий из последовательностей, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1, является счетным базисом Гамеля.

In the context of infinite dimensional vector spaces over the real or complex numbers, the term Hamel basis (named after Georg Hamel) or algebraic basis can be used to refer to a basis as defined in this article. This is to make a distinction with other notions of "basis" that exist when infinite dimensional vector spaces are endowed with extra structure. The most important alternatives are orthogonal bases on Hilbert spaces, Schauder bases, and Markushevich bases on normed linear spaces. In the case of the real numbers R viewed as a vector space over the field Q of rational numbers, Hamel bases are uncountable, and have specifically the cardinality of the continuum, which is the cardinal number , where (aleph nought) is the smallest infinite cardinal, the cardinal of the integers. The common feature of the other notions is that they permit the taking of infinite linear combinations of the basis vectors in order to generate the space. This, of course, requires that infinite sums are meaningfully defined on these spaces, as is the case for topological vector spaces – a large class of vector spaces including e. g. Hilbert spaces, Banach spaces, or Fréchet spaces. The preference of other types of bases for infinite dimensional spaces is justified by the fact that the Hamel basis becomes "too big" in Banach spaces: If X is an infinite dimensional normed vector space that is complete (i. e. X is a Banach space), then any Hamel basis of X is necessarily uncountable. This is a consequence of the Baire category theorem. The completeness as well as infinite dimension are crucial assumptions in the previous claim. Indeed, finite dimensional spaces have by definition finite bases and there are infinite dimensional (non complete) normed spaces that have countable Hamel bases. Consider , the space of the sequences of real numbers that have only finitely many non zero elements, with the norm <math display="inline">\ Its standard basis, consisting of the sequences having only one non zero element, which is equal to 1, is a countable Hamel basis.

Пример

При изучении рядов Фурье становится известно, что функции 1 = {1} ∪ { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, … } образуют "ортогональный базис" (действительного или комплексного) векторного пространства всех (действительно- или комплекснозначных) функций на интервале [0, 2π], являющихся квадратично интегрируемыми на этом интервале, то есть функций f, удовлетворяющих условию

Функции 1 = {1} ∪ { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, … } линейно независимы, и любая квадратично интегрируемая на [0, 2π] функция f может быть представлена в виде "бесконечной линейной комбинации" этих функций, то есть

при подходящих (действительных или комплексных) коэффициентах ak, bk. Однако многие квадратично интегрируемые функции нельзя представить в виде конечной линейной комбинации этих базисных функций, поэтому они не образуют базис Гамеля. Любой базис Гамеля этого пространства значительно больше, чем этот лишь счетный набор функций. Базисы Гамеля пространств такого рода обычно не имеют практического применения, в то время как ортонормированные базисы этих пространств необходимы в анализе Фурье.

Геометрия

Геометрические понятия аффинного пространства, проективного пространства, выпуклого множества и конуса имеют соответствующие понятия базиса. Аффинный базис для аффинного пространства размерности n – это точки в обще́м линейном положении. Проективный базис – это точки в обще́м положении в проективном пространстве размерности n. Выпуклый базис политопа – это множество вершин его выпуклой оболочки. Конусовый базис состоит из одной точки на каждом ребре многоугольного конуса. См. также гильбертов базис (линейное программирование).

Случайная база

Для распределения вероятности в Rⁿ с функцией плотности вероятности, такого как равнораспределение в n-мерном шаре по отношению к мере Лебега, можно показать, что n случайно и независимо выбранных векторов образуют базис с вероятностью один, что обусловлено тем, что n линейно зависимых векторов x₁, …, xₙ в Rⁿ должны удовлетворять уравнению 1 = det[x₁ ⋯ xₙ] = 0 (нулевой определитель матрицы со столбцами xᵢ), а множество нулей нетривиального многочлена имеет нулевую меру. Это наблюдение привело к разработке методов приближения случайных базисов. [[Файл:Random almost orthogonal sets.png|thumb|270px|Эмпирическое распределение длин N парно почти ортогональных цепей векторов, независимо случайным образом выбранных из n-мерного куба [−1, 1]ⁿ в зависимости от размерности n. Ящики с усами показывают второй и третий квартили этих данных для каждого n, красные полосы соответствуют медианам, а синие звезды – средним значениям. Красная кривая показывает теоретическую границу, заданную уравнением (1), а зеленая кривая – уточненную оценку. Рисунок (справа) иллюстрирует распределение длин N парно почти ортогональных цепей векторов, независимо случайным образом выбранных из n-мерного куба [−1, 1]ⁿ в зависимости от размерности n. Сначала в кубе случайным образом выбирается точка. Вторая точка выбирается случайно в том же кубе. Если угол между векторами находился в пределах π/2 ± 0,037π/2, то вектор сохранялся. На следующем шаге в том же гиперкубе генерируется новый вектор, и его углы с ранее сгенерированными векторами оцениваются. Если эти углы находятся в пределах π/2 ± 0,037π/2, то вектор сохраняется. Процесс повторяется до тех пор, пока цепь почти ортогональности не прервется, и записывается количество таких парно почти ортогональных векторов (длина цепи). Для каждого n было построено численно 20 парно почти ортогональных цепей для каждой размерности. Представлено распределение длин этих цепей.

For a probability distribution in 'R'^(n) with a probability density function, such as the equidistribution in an n dimensional ball with respect to Lebesgue measure, it can be shown that n randomly and independently chosen vectors will form a basis with probability one, which is due to the fact that n linearly dependent vectors 'x'1, , 'x'n in 'R'^(n) should satisfy the equation 1=det['x'1 ⋯ 'x'n] = 0 (zero determinant of the matrix with columns 'x'i), and the set of zeros of a non trivial polynomial has zero measure. This observation has led to techniques for approximating random bases. [[File:Random almost orthogonal sets. png|thumb|270px|Empirical distribution of lengths N of pairwise almost orthogonal chains of vectors that are independently randomly sampled from the n dimensional cube [−1, 1]^(n) as a function of dimension, n. Boxplots show the second and third quartiles of this data for each n, red bars correspond to the medians, and blue stars indicate means. Red curve shows theoretical bound given by Eq. (1) and green curve shows a refined estimate. The figure (right) illustrates distribution of lengths N of pairwise almost orthogonal chains of vectors that are independently randomly sampled from the n dimensional cube [−1, 1]^(n) as a function of dimension, n. A point is first randomly selected in the cube. The second point is randomly chosen in the same cube. If the angle between the vectors was within π/2 ± 0.037π/2 then the vector was retained. At the next step a new vector is generated in the same hypercube, and its angles with the previously generated vectors are evaluated. If these angles are within π/2 ± 0.037π/2 then the vector is retained. The process is repeated until the chain of almost orthogonality breaks, and the number of such pairwise almost orthogonal vectors (length of the chain) is recorded. For each n, 20 pairwise almost orthogonal chains were constructed numerically for each dimension. Distribution of the length of these chains is presented.

Доказательство, что каждое векторное пространство имеет основу

Пусть 'V' – любое векторное пространство над некоторым полем 'F'. Пусть 'X' – множество всех линейно независимых подмножеств 'V'. Множество 'X' не пусто, поскольку пустое множество является линейно независимым подмножеством 'V', и оно частично упорядочено включением, которое обозначается, как обычно, ⊆. Пусть 'Y' – подмножество 'X', которое полностью упорядочено отношением ⊆, и пусть L'Y' – объединение всех элементов 'Y' (которые сами являются подмножествами 'V'). Поскольку ('Y', ⊆) полностью упорядочено, каждое конечное подмножество L'Y' является подмножеством элемента 'Y', который является линейно независимым подмножеством 'V', и, следовательно, L'Y' линейно независимо. Таким образом, L'Y' является элементом 'X'. Следовательно, L'Y' является верхней гранью для 'Y' в ('X', ⊆): это элемент 'X', содержащий каждый элемент 'Y'. Поскольку 'X' не пусто, и каждое полностью упорядоченное подмножество ('X', ⊆) имеет верхнюю грань в 'X', лемма Зорна утверждает, что 'X' имеет максимальный элемент. Иными словами, существует элемент L'max' из 'X', удовлетворяющий условию, что если L'max' ⊆ L для некоторого элемента L из 'X', то L = L'max'. Остается доказать, что L'max' является базисом для 'V'. Поскольку L'max' принадлежит 'X', мы уже знаем, что L'max' является линейно независимым подмножеством 'V'. Если бы существовал вектор 'w' из 'V', не принадлежащий линейной оболочке L'max', то 'w' также не был бы элементом L'max'. Пусть L'w' = L'max' ∪ {'w'}. Это множество является элементом 'X', то есть линейно независимым подмножеством 'V' (поскольку 'w' не принадлежит линейной оболочке L'max', а L'max' линейно независимо). Поскольку L'max' ⊆ L'w', и L'max' ≠ L'w' (поскольку L'w' содержит вектор 'w', не содержащийся в L'max'), это противоречит максимальности L'max'. Таким образом, это показывает, что L'max' порождает 'V'. Следовательно, L'max' линейно независимо и порождает 'V'. Таким образом, это базис 'V', и это доказывает, что каждое векторное пространство имеет базис. Это доказательство опирается на лемму Зорна, которая эквивалентна аксиоме выбора. И наоборот, было доказано, что если каждое векторное пространство имеет базис, то аксиома выбора верна. Таким образом, эти два утверждения эквивалентны.

Let 'V' be any vector space over some field 'F'. Let 'X' be the set of all linearly independent subsets of 'V'. The set 'X' is nonempty since the empty set is an independent subset of 'V', and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆. Let 'Y' be a subset of 'X' that is totally ordered by ⊆, and let L'Y' be the union of all the elements of 'Y' (which are themselves certain subsets of 'V'). Since ('Y', ⊆) is totally ordered, every finite subset of L'Y' is a subset of an element of 'Y', which is a linearly independent subset of 'V', and hence L'Y' is linearly independent. Thus L'Y' is an element of 'X'. Therefore, L'Y' is an upper bound for 'Y' in ('X', ⊆): it is an element of 'X', that contains every element of 'Y'. As 'X' is nonempty, and every totally ordered subset of ('X', ⊆) has an upper bound in 'X', Zorn's lemma asserts that 'X' has a maximal element. In other words, there exists some element L'max' of 'X' satisfying the condition that whenever L'max' ⊆ L for some element L of 'X', then 1=L = L'max'. It remains to prove that L'max' is a basis of 'V'. Since L'max' belongs to 'X', we already know that L'max' is a linearly independent subset of 'V'. If there were some vector 'w' of 'V' that is not in the span of L'max', then 'w' would not be an element of L'max' either. Let 1=L'w' = L'max' ∪ {'w'}. This set is an element of 'X', that is, it is a linearly independent subset of 'V' (because w is not in the span of L'max', and L'max' is independent). As L'max' ⊆ L'w', and L'max' ≠ L'w' (because L'w' contains the vector 'w' that is not contained in L'max'), this contradicts the maximality of L'max'. Thus this shows that L'max' spans 'V'. Hence L'max' is linearly independent and spans 'V'. It is thus a basis of 'V', and this proves that every vector space has a basis. This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true. Thus the two assertions are equivalent.