Кіріспе
Математикада корона теоремасы – ашық бірлік дискідегі шектелген голоморфтық функциялардың спектрі туралы теорема, бұл теорема алғаш болжанып, кейін дәлелденді. Коммутативті Банах алгебрасы және Харди кеңістігі H∞ ашық бірлік дискідегі шектелген голоморфтық функциялардан тұрады. Оның спектрі S (жабық максималды идеалдар) D ашық ішкі кеңістігін қамтиды, себебі D-дегі әрбір z үшін f(z) = 0 болатын функциялардан тұратын максималды идеал бар. D ішкі кеңістігі S спектрін толығымен құрай алмайды, себебі спектр – компакт кеңістік, ал D – емес. S-те D-нің жабылуының толықтығы корона деп аталды, ал корона теоремасы коронаның бос екенін, яғни ашық бірлік дискі D спектрде тығыз екенін көрсетеді. Басқаша айтқанда, f1, …, fn элементтері H∞-ның бірлік идеалын жасайды, егер және тек қана бірлік шардың бойында δ>0 болатын жағдай орындалса. Ньюман корона теоремасын интерполяциялық есепке келтіруге болатынын көрсетті, ал оны кейін Карлесон дәлелдеді. 1979 жылы Томас Вольф корона теоремасының қарапайым (бірақ жарияланбаған) дәлелін ұсынды, ол туралы мәліметтер осы жерде келтірілген, ал Коул кейіннен бұл нәтижені барлық ашық Риман беттеріне қолдану мүмкін емес екенін көрсетті. Карлесонның жұмысының нәтижесінде Карлесон шарасы енгізілді, ол қазіргі заманғы функциялар теориясында өте пайдалы құрал болып табылады. Корона теоремасының әрбір жазық домен үшін немесе жоғары өлшемді домендер үшін нұсқалары бар ма деген сұрақ әлі де ашық. Егер корона теоремасында шекараға дейін үздіксіздік болжамы қолданылса, онда қорытынды коммутативті Банах алгебрасы теориясынан оңай шығады.
The commutative Banach algebra and Hardy space H∞ consists of the bounded holomorphic functions on the open unit disc D. Its spectrum S (the closed maximal ideals) contains D as an open subspace because for each z in D there is a maximal ideal consisting of functions f with
f(z) = 0. The subspace D cannot make up the entire spectrum S, essentially because the spectrum is a compact space and D is not. The complement of the closure of D in S was called the corona by , and the corona theorem states that the corona is empty, or in other words the open unit disc D is dense in the spectrum. A more elementary formulation is that elements f1, ,fn generate the unit ideal of H∞ if and only if there is some δ>0 such that
everywhere in the unit ball. Newman showed that the corona theorem can be reduced to an interpolation problem, which was then proved by Carleson. In 1979 Thomas Wolff gave a simplified (but unpublished) proof of the corona theorem, described in and
Cole later showed that this result cannot be extended to all open Riemann surfaces
As a by product, of Carleson's work, the Carleson measure was introduced which itself is a very useful tool in modern function theory. It remains an open question whether there are versions of the corona theorem for every planar domain or for higher dimensional domains. Note that if one assumes the continuity up to the boundary in the corona theorem, then the conclusion follows easily from the theory of commutative Banach algebra .