Введение

В математике, теорема о короне — это результат о спектре ограниченных голоморфных функций на открытом единичном диске, выдвинутый и доказанный . Коммутативная банахова алгебра и пространство Харди H∞ состоят из ограниченных голоморфных функций на открытом единичном диске D. Его спектр S (закрытые максимальные идеалы) содержит D как открытое подпространство, поскольку для каждого z в D существует максимальный идеал, состоящий из функций f, таких что f(z) = 0. Подпространство D не может составлять весь спектр S, поскольку спектр является компактным пространством, а D — нет. Дополнение к замыканию D в S было названо короной, и теорема о короне утверждает, что корона пуста, или, другими словами, открытый единичный диск D плотен в спектре. Более элементарная формулировка заключается в том, что элементы f1, …, fn порождают единичный идеал H∞ тогда и только тогда, когда существует некоторое δ > 0 такое, что |f(z)| < δ везде в единичном шаре. Ньюман показал, что теорему о короне можно свести к задаче интерполяции, которую затем доказал Карлесон. В 1979 году Томас Вольф дал упрощенное (но неопубликованное) доказательство теоремы о короне, описанное в и Коул позже показал, что этот результат нельзя распространить на все открытые римановы поверхности. Как побочный продукт работы Карлесона, была введена мера Карлесона, которая сама по себе является очень полезным инструментом в современной теории функций. Остается открытым вопрос, существуют ли версии теоремы о короне для каждой планарной области или для областей более высокой размерности. Следует отметить, что если предположить непрерывность вплоть до границы в теореме о короне, то заключение легко следует из теории коммутативных банаховых алгебр.