Кіріспе
Нақты, тегіс көптік, Риман метрикасымен жабдықталған – дифференциалдық геометриядан алынған түсінік.
a concept from differential geometry
In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p.
The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions
are smooth functions, i. e., they are infinitely differentiable. These functions are commonly designated as
With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher dimensional analogues (volume, etc. ), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself.
Дифференциалдық геометрияда Риман көптігі немесе Риман кеңістігі (M, g), неміс математигі Бернхард Риманның есімімен аталған, әрбір нүктедегі TpM доғал кеңістігінде оң анықталған ішкі көбейту gp-мен жабдықталған нақты, тегіс көптік М болып табылады.
a concept from differential geometry
In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p.
The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions
are smooth functions, i. e., they are infinitely differentiable. These functions are commonly designated as
With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher dimensional analogues (volume, etc. ), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself.
Ішкі көбейтулердің gp отбасы Риман метрикасы (немесе Риман метрикалық тензоры) деп аталады. Риман геометриясы – Риман көптіктерін зерттейтін ғылым. Көбінесе g тегіс деп қарастырылады, яғни M-дегі кез келген тегіс координаттық кескін үшін (U, x) n² функциясы тегіс функция болады, яғни олар шексіз дифференциалданады. Бұл функциялар әдетте деп белгіленеді. Метрикаға қосымша шектеулер қойып, Липшиц Риман метрикаларын немесе өлшенетін Риман метрикаларын да қарастыруға болады. Риман метрикасы (тензоры) Риман көптігінде бұрыштар, қисықтардың ұзындығы, беттердің ауданы және олардың жоғары өлшемді аналогтары (көлем және т.б.), сондай-ақ ішкі көптіктердің сыртқы қисықтығы мен көптіктің өзінің ішкі қисықтығы сияқты геометриялық ұғымдарды анықтауға мүмкіндік береді.
a concept from differential geometry
In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p.
The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions
are smooth functions, i. e., they are infinitely differentiable. These functions are commonly designated as
With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher dimensional analogues (volume, etc. ), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself.
Кіріспе
1828 жылы Карл Фридрих Гаусс өзінің Theorema Egregium ("тамаша теоремасы" латын тілінде) теоремасын дәлелдеді, ол беттердің маңызды қасиетін анықтады. Теореманың мәнісі бойынша, беттің қисықтығын бетіндегі жолдардың бойымен өлшенген қашықтықтар арқылы толық анықтауға болады. Яғни, қисықтық беттің үш өлшемді кеңістікте қалай орналасқанына тәуелді емес. Беттердің дифференциалдық геометриясына қараңыз. Бернхард Риман Гаустың теориясын жоғары өлшемді кеңістіктерге, яғни көптүрліліктерге кеңейтті, бұл қашықтықтар мен бұрыштарды өлшеуге және қисықтық ұғымын анықтауға мүмкіндік береді, бұл да көптүрліліктің ішкі қасиеті болып табылады және оның жоғары өлшемді кеңістікке енуіне байланысты емес. Альберт Эйнштейн өзінің жалпы салыстырмалылық теориясын жасау үшін псевдо-Риманн көптүрліліктерінің теориясын (Риманн көптүрліліктерінің жалпыламасы) қолданды. Оның гравитация теңдеулері кеңістік-уақыттың қисықтығына шектеулер қояды.
Риман метрикасының тұрақтылығы
Бір дерек көз Риманн метрикасы үздіксіз деп есептеледі, егер кез келген тегіс координаттар кестесі берілген кезде оның координаттары үздіксіз болса. Ал, егер осы функциялар кез келген тегіс координаттар кестесі берілген кезде тегіс болса, онда ол тегіс деп айтылады. Осы сияқты, тағы да көптеген Риманн метрикаларын қарастыруға болады. Риманн геометриясының көптеген түсіндірмелік материалдарында метрикалар әрқашан тегіс деп қарастырылады. Дегенмен, нашаррақ тегіс метрикаларды қарастырудың маңызды себептері болуы мүмкін. Әсіресе, геометриялық талдау әдістерімен құрастырылған Риманн метрикалары тегіс болмауы мүмкін. Мысалы, (Gromov 1999) және (Shi and Tam 2002) қараңыз.
Шолу
Римандық сан алуандықтарының мысалдары төменде талқыланады. Джон Нэштің белгілі теоремасы, кез келген тегіс Римандық сан алуандық үшін, (әдетте үлкен) бір сан және стандартты Римандық метриканы кері тартып алатын енгізу бар екенін айтады. Шартты түрде айтқанда, тегіс Римандық сан алуандықтың барлық құрылымын белгілі бір Евклид кеңістігінің кіріктірілген ішкі сан алуандығына диффеоморфизм арқылы кодтауға болады. Осыған байланысты, абстрактілі тегіс сан алуандықтарды және олардың Римандық метрикаларын қарастырудан ештеңе пайда болмайды деуге болады. Дегенмен, үш өлшемді кеңістіктің айналулар жиыны және гиперболалық кеңістік сияқты көптеген табиғи тегіс Римандық сан алуандықтар бар, олардың Евклид кеңістігінің ішкі сан алуандығы ретіндегі кез келген бейнесі олардың ерекше симметрияларын және қасиеттерін абстрактілі түрде көрсетудей анық көрсете алмайды.
Кіргізілген субкөптүрлілік
Келіңіздер, M – Риман көптүрлілігі болсын және N – M-нің енгізілген ішкі көптүрлілігі болсын, оның өлшемі кемінде болсын. Онда g метрикасының N бойындағы жанама векторларға шектелуі N-де Риман метрикасын анықтайды.
For example, consider which is a smooth embedded submanifold of the Euclidean space with its standard metric. The Riemannian metric this induces on is called the standard metric or canonical metric on
There are many similar examples. For example, every ellipsoid in has a natural Riemannian metric. The graph of a smooth function is an embedded submanifold, and so has a natural Riemannian metric as well.
Мысалы, стандартты метрикасы бар Евклид кеңістігінің тегіс енгізілген ішкі көптүрлілігін қарастырайық. Бұл N-де индукциялайтын Риман метрикасы N-дегі стандартты метрика немесе канондық метрика деп аталады.
For example, consider which is a smooth embedded submanifold of the Euclidean space with its standard metric. The Riemannian metric this induces on is called the standard metric or canonical metric on
There are many similar examples. For example, every ellipsoid in has a natural Riemannian metric. The graph of a smooth function is an embedded submanifold, and so has a natural Riemannian metric as well.
Көптеген ұқсас мысалдар бар. Мысалы, кеңістігіндегі әрбір эллипсоидтың табиғи Риман метрикасы бар. Тегіс функцияның графигі – енгізілген ішкі көптүрлілік, сондықтан ол да табиғи Риман метрикасына ие.
For example, consider which is a smooth embedded submanifold of the Euclidean space with its standard metric. The Riemannian metric this induces on is called the standard metric or canonical metric on
There are many similar examples. For example, every ellipsoid in has a natural Riemannian metric. The graph of a smooth function is an embedded submanifold, and so has a natural Riemannian metric as well.
Әрбір тегіс көпіршікте Риман метрикасы бар
Бұл – маңызды нәтиже. Риман метрикаларының негізгі теориясының көп бөлігі тек тегіс көптіктердің жергілікті түрде евклидтік екенін пайдалану арқылы дамытылуы мүмкін, бірақ осы нәтиже үшін "тегіс көптік" анықтамасына Хаусдорф және паракомпактты талаптарын қосу қажет. Мұның себебі дәлелдеме бірліктерді бөлуге сүйенеді.
Бөлшектік үнемі дифференциалданған қисық сызықтардың ұзындығы
Егер функция дифференциалданатын болса, онда ол әрбір х-қа векторлық кеңістікте векторды сәйкес қояды, оның мөлшері нормамен өлшенуі мүмкін. Осылайша, g интервалда теріс емес функцияны анықтайды. Ұзындығы осы функцияның интегралы ретінде анықталады; алайда, осы жерде көрсетілгендей, бұл функция интегралданады деп күтуге ешқандай себеп жоқ. g үздіксіз және туындысы үздіксіз болатынын қарастыру қалыпты, сондықтан интегралданатын функция теріс емес және үздіксіз болады, демек, ұзындығы дұрыс анықталған. Бұл анықтаманы кез келген бөліктік-үздіксіз туындылы қисықтың ұзындығын анықтау үшін оңай кеңейтуге болады. Көптеген жағдайларда, мысалы, Риман қисықтық тензорын анықтауда, g-нің қарапайым үздіксіздігінен гөрі жоғары тұрақтылық талап етілуі мүмкін; бұл мәселе басқа жерде талқыланады. Қазіргі уақытта g-нің үздіксіздігі жоғарыда анықталған ұзындықты пайдалану үшін жеткілікті, егер ол байланысты болса, M-ге метрикалық кеңістік құрылымын беру үшін.
is well defined. This definition can easily be extended to define the length of any piecewise continuously differentiable curve. In many instances, such as in defining the Riemann curvature tensor, it is necessary to require that g has more regularity than mere continuity; this will be discussed elsewhere. For now, continuity of g will be enough to use the length defined above in order to endow M with the structure of a metric space, provided that it is connected.
Геодезиялық толықтығы
Риман көптігі M геодезиялық жағынан толық деп есептеледі, егер барлық p ∈ M үшін экспоненциалдық карта expₚ барлық v ∈ TₚM үшін анықталса, яғни p нүктесінен басталатын кез келген геодезиялық γ(t) параметрдің барлық t ∈ R мәндері үшін анықталса. Хопф-Ринов теоремасы M геодезиялық жағынан толық екенін, және тек қана егер ол метрикалық кеңістік ретінде толық болса ғана деп тұжырымдайды. Егер M толық болса, онда M кеңейтілмейтін, яғни ол кез келген басқа Риман көптігінің ашық, дұрыс ішкі көптігіне изометриялық емес. Дегенмен, керісінше дұрыс емес: толық емес, бірақ кеңейтілмейтін көптіктер де бар.
Шексіз өлшемді коллекторлар
Жоғарыдағы мәлімдемелер мен теоремалар шекті өлшемді көптүрліліктерге арналған – көптүрліліктердің координаттық карталары ашық жиынтықтардың ішкі жиынтықтарына бейнеленетін. Оларды белгілі бір деңгейде шексіз өлшемді көптүрліліктерге де қолдануға болады; яғни, топологиялық векторлық кеңістік үлгісінде құрылған көптүрліліктер; мысалы, Фреше, Банах және Гильберт көптүрліліктері.
Мысалдар
Егер Хилберт кеңістігі болса, онда кез келген үшін оны анықтауға болады. Барлық үшін орнату арқылы күшті Риман метрикасын аламыз. Бұл компактты Риман көптүрлілігі болсын және оның диффеоморфизм тобымен белгіленсін. Соңғысы - тегіс көптүрлілік (мұнда қараңыз) және шын мәнінде, Ли тобы. Оның бірлікке қатысты тангенциалдық бунделі - бұл көптүрліліктегі тегіс векторлық өрістердің жиынтығы. Бұл көлемдік форма болсын. Содан кейін әлсіз Риман метрикасын анықтауға болады. Егер және анықталған болса, келесіні анықтаймыз. Әлсіз Риман метрикасы геодезиялық қашықтықтың жоқтығын тудырады, қараңыз Михор және Мамфорд (2005).
Метрлік кеңістіктің құрылымы
Иілгіштердің ұзындығы шекті өлшемді жағдайға ұқсас тәсілмен анықталады. Функция да сол сияқты анықталады және оны геодезиялық қашықтық деп атайды. Шекті өлшемді жағдайда, бұл функция метрика екенін дәлелдеу үшін кез келген нүкте төңірегінде алдын ала жиынтық ашық жиынның бар екендігі қолданылады. Шексіз жағдайда ашық жиынтықтар енді алдын ала жиынтық емес, сондықтан бұл тұжырым сәтсіз болуы мүмкін. Егер күшті Риман метрикасы болса, онда ол нүктелерді ажыратады (сонымен, метрика болады) және бастапқы топологияны туындайды. Егер әлсіз, бірақ күшті емес Риман метрикасы болса, онда ол нүктелерді ажырата алмауы немесе тіпті дегенерацияға ұшырауы мүмкін. Мұның мысалы үшін Valentino and Daniele (2019) еңбегіне қараңыз.
Хопф Ринов теоремасы
Риманның мықты метрикасы жағдайында, шекті өлшемді Хопф-Риноу теоремасының бір бөлігі сақталады. Теорема: Егер мықты Риманн көптігі болса, онда метрикалық толықтық (берілген метрика бойынша) геодезиялық толықтықты білдіреді (яғни, кез келген екі нүкте арасында геодезиялық сызық бар). Дәлелді Lang (1999), VII тарау, 6-бөлімінде табуға болады. Шекті өлшемді жағдайдағы басқа да қағидалар дұрыс болмауы мүмкін. Мысал келтіруге болады. Егер әлсіз Риман метрикасы болса, онда толықтық туралы ешқандай түсінік басқасын логикалық түрде білдірмейді.