Теорема Гаусса — Бонне: Связь кривизны и топологии поверхности.
Gauss–Bonnet theorem
Теорема Гаусса-Бонне: связь кривизны поверхности и её топологии. Фундаментальная формула дифференциальной геометрии, обобщающая теорему о сумме углов треугольника.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Теорема в дифференциальной геометрии
Theorem in differential geometry
В математической области дифференциальной геометрии теорема Гаусса–Бонне (или формула Гаусса–Бонне) — это фундаментальная формула, устанавливающая связь между кривизной поверхности и ее топологией. В простейшем случае, например, для треугольника на плоскости, сумма его углов составляет 180 градусов. Теорема Гаусса–Бонне обобщает это утверждение на более сложные формы и искривленные поверхности, связывая локальную и глобальную геометрию. Теорема названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который разработал ее вариант, но не опубликовал, и Пьера Оссиана Бонне, опубликовавшего частный случай в 1848 году.
In the mathematical field of differential geometry, the Gauss–Bonnet theorem (or Gauss–Bonnet formula) is a fundamental formula which links the curvature of a surface to its underlying topology. In the simplest application, the case of a triangle on a plane, the sum of its angles is 180 degrees. The Gauss–Bonnet theorem extends this to more complicated shapes and curved surfaces, connecting the local and global geometries. The theorem is named after Carl Friedrich Gauss, who developed a version but never published it, and Pierre Ossian Bonnet, who published a special case in 1848.
Особые случаи
Ряд более ранних результатов в сферической и гиперболической геометрии, открытых в предшествующие века, оказались частными случаями теоремы Гаусса-Бонне.
A number of earlier results in spherical geometry and hyperbolic geometry, discovered over the preceding centuries, were subsumed as special cases of Gauss–Bonnet.
Треугольники
В сферической и гиперболической тригонометрии площадь треугольника пропорциональна величине, на которую сумма его внутренних углов превышает 180°, или, что эквивалентно, величине, на которую сумма его внешних углов не дотягивает до 360°. Площадь сферического треугольника пропорциональна его сферическому избытку, согласно теореме Жирара – разнице между суммой его внутренних углов и 180°, которая равна разнице между 360° и суммой его внешних углов. Площадь гиперболического треугольника, напротив, пропорциональна его дефекту, как установил Иоганн Генрих Ламберт.
In spherical trigonometry and hyperbolic trigonometry, the area of a triangle is proportional to the amount by which its interior angles fail to add up to 180°, or equivalently by the (inverse) amount by which its exterior angles fail to add up to 360°. The area of a spherical triangle is proportional to its excess, by Girard's theorem – the amount by which its interior angles add up to more than 180°, which is equal to the amount by which its exterior angles add up to less than 360°. The area of a hyperbolic triangle, conversely is proportional to its defect, as established by Johann Heinrich Lambert.
Комбинаторный аналог
Существует несколько комбинаторных аналогов теоремы Гаусса — Бонне. Приведем следующий из них. Пусть M — конечный двумерный псевдо-многообразие. Обозначим через χ(v) число треугольников, содержащих вершину v. Тогда
There are several combinatorial analogs of the Gauss–Bonnet theorem. We state the following one. Let M be a finite 2 dimensional pseudo manifold. Let χ(v) denote the number of triangles containing the vertex v. Then
где первая сумма берется по вершинам во внутренней области M, вторая сумма — по граничным вершинам, а χ(M) — характеристика Эйлера многообразия M.
where the first sum ranges over the vertices in the interior of M, the second sum is over the boundary vertices, and χ(M) is the Euler characteristic of M.
Аналогичные формулы можно получить для двумерных псевдо-многообразий, заменяя треугольники многоугольниками с большим числом сторон. Для многоугольников с n вершинами необходимо заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на и , соответственно. Например, для четырехугольников нужно заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на 2 и 4, соответственно. В частности, если M — замкнутое двумерное цифровое многообразие, то род оказывается равным
Similar formulas can be obtained for 2 dimensional pseudo manifold when we replace triangles with higher polygons. For polygons of n vertices, we must replace 3 and 6 in the formula above with and , respectively. For example, for quadrilaterals we must replace 3 and 6 in the formula above with 2 and 4, respectively. More specifically, if M is a closed 2 dimensional digital manifold, the genus turns out
где Mi обозначает число точек поверхности, каждая из которых имеет i соседних точек на поверхности. Это простейшая формула теоремы Гаусса — Бонне в трехмерном цифровом пространстве.
where Mi indicates the number of surface points each of which has i adjacent points on the surface. This is the simplest formula of Gauss–Bonnet theorem in three dimensional digital space.
Обобщения
Теорема Черна (в честь Шиин Шэнь Черна, 1945 год) является обобщением ГБ на 2n-мерные пространства (см. также гомоморфизм Черна — Вейля). Теорему Римана — Роха также можно рассматривать как обобщение ГБ на комплексные многообразия. Более широкое обобщение, включающее все вышеупомянутые теоремы, — это теорема об индексе Атия — Сингера. Обобщением на двумерные многообразия, не обязательно компактные, является неравенство Кона — Воссена.
The Chern theorem (after Shiing Shen Chern 1945) is the 2n dimensional generalization of GB (also see Chern–Weil homomorphism). The Riemann–Roch theorem can also be seen as a generalization of GB to complex manifolds. A far reaching generalization that includes all the abovementioned theorems is the Atiyah–Singer index theorem. A generalization to 2 manifolds that need not be compact is Cohn Vossen's inequality.
В популярной культуре
В романе Грега Игана «Диаспора» два персонажа обсуждают вывод этой теоремы. Эту теорему можно непосредственно использовать как систему управления скульптурой, например, в работах Эдмунда Харриса, которые находятся в коллекции Университета Арканзаса Honors College.
In Greg Egan's novel Diaspora, two characters discuss the derivation of this theorem. The theorem can be used directly as a system to control sculpture for example, in work by Edmund Harriss in the collection of the University of Arkansas Honors College.