Кіріспе
σ-қосымдылықты бұзатын ықтималдық үлестірімдері сияқты объектілер; есептеу физикасында пайдалы. Квазиықтималдық үлестірімі – ықтималдық үлестіріміне ұқсас, бірақ Колмогоровтың ықтималдық теориясының кейбір аксиомаларын жеңілдететін математикалық объекті. Квазиықтималдықтар, әдеттегі ықтималдықтармен бірнеше жалпы ерекшеліктерді бөліседі, соның ішінде, ең маңыздысы, үлестірімнің салмақтарына қатысты күтілетін мәндерді алу мүмкіндігі. Дегенмен, олар σ-қосымдылық аксиомасын бұзуы мүмкін: олардың интегралын алу өзара сәйкес келмейтін жағдайлардың ықтималдықтарын міндетті түрде бермейді. Шындығында, квазиықтималдық үлестірімдерінде теріс ықтималдық тығыздығының аймақтары болуы мүмкін, бұл интуицияға қайшы келіп, алғашқы аксиомаға қарсы тұрады. Квазиықтималдық үлестірімдері кванттық механиканы фазалық кеңістікте қарастырғанда, әсіресе кванттық оптикада, уақыт-жиілік талдауында және басқа да салаларда табиғи түрде пайда болады.
A quasiprobability distribution is a mathematical object similar to a probability distribution but which relaxes some of Kolmogorov's axioms of probability theory. Quasiprobabilities share several of general features with ordinary probabilities, such as, crucially, the ability to yield expectation values with respect to the weights of the distribution. However, they can violate the σ additivity axiom: integrating over them does not necessarily yield probabilities of mutually exclusive states. Indeed, quasiprobability distributions also have regions of negative probability density, counterintuitively, contradicting the first axiom. Quasiprobability distributions arise naturally in the study of quantum mechanics when treated in phase space formulation, commonly used in quantum optics, time frequency analysis, and elsewhere.
Кіріспе
Ең жалпы түрінде кванттық механикалық жүйенің динамикасы Гильберт кеңістігіндегі бас теңдеумен анықталады: жүйенің тығыздық операторының (әдетте жазылады ) қозғалыс теңдеуі. Тығыздық операторы толық ортонұрмал негізге қатысты анықталады. Бұл теңдеуді өте кішкентай жүйелер үшін (яғни, бөлшектері немесе еркіндік дәрежесі аз жүйелер) тікелей интегралдау мүмкін болса да, бұл үлкен жүйелер үшін тез шешілмейтін болады. Дегенмен, тығыздық операторын үнемі диагональ түрінде жазуға болатынын дәлелдеу мүмкін, егер ол артық толық негізге қатысты болса. Тығыздық операторы осындай толық негізде көрсетілген кезде, оны қарапайым функцияға ұқсайтын түрде жазуға болады, бірақ бұл функция квази-ықтималдық үлестірімінің ерекшеліктеріне ие болады. Жүйенің эволюциясы квази-ықтималдық үлестіру функциясының эволюциясымен толық анықталады. Когерентті күйлер, яғни жойғыш оператордың оң жақ өзіндік күйлері, жоғарыда сипатталған құрылымда толық негіз ретінде қызмет етеді. Анықтама бойынша, когерентті күйлер келесі қасиетке ие, сонымен қатар, тағы да қызықты қасиеттерге ие. Мысалы, екі когерентті күй ортогональ емес. Егер |α⟩ және |β⟩ когерентті күйлердің жұбы болса, онда. Бұл күйлер дұрыс нормаланғанын ескеріңіз: ⟨α|α⟩ = 1. Фок күйлерінің негізінің толықтығына байланысты, когерентті күйлердің негізін таңдау артық толық болуы керек. Бейресми дәлелді көрсету үшін басыңыз. Когерентті күйлердің артық толықтығының дәлелі Комплекс жазықтықтағы интегралды полярлық координаттар арқылы жазуға болады, мұнда қосынды мен интегралды алмастыруға рұқсат етілген, біз гамма функциясының қарапайым интегралдық өрнегіне жетеміз: Ашық айтқанда, Хилберт кеңістігіндегі кез келген күйді жазу арқылы кеңейтуге болады. Екінші жағынан, күйлердің дұрыс нормаланғанына қарамастан, π > 1 факторы бұл негіздің артық толық екенін көрсетеді. Алайда, когерентті күйлер негізінде симметриялық операторлар ретімен байланысты әрқашан мүмкін. Кванттық оптикада қызығушылық тудыратын операторлар, әсіресе бөлшектер саны операторы, әдетте нормалдалған тәртіппен көрсетіледі. Бұл жағдайда фазалық кеңістіктегі үлестірілімнің сәйкес келетін бейнесі Глаубер–Сударшан P бейнесі болып табылады. Бұл фазалық кеңістіктегі үлестірімдердің квази-ықтималдық сипаты P бейнелеуінде келесі негізгі тұжырымда жақсы түсіндіріледі: Бұл кең тұжырым басқа бейнелеулерде қолданылмайды. Мысалы, EPR күйінің Вигнер функциясы оң нақты, бірақ классикалық аналогы жоқ. Жоғарыда анықталған бейнелеулерден басқа, фазалық кеңістіктегі үлестірілімнің баламалы бейнелеулерінде пайда болатын көптеген басқа квази-ықтималдық үлестірімдер бар. Тағы бір танымал бейнелеу - Хусими Q бейнелеуі, ол операторлар антинормал тәртіппен болған кезде пайдалы. Соңғы уақыттарда кванттық оптикадағы күрделі мәселелерді шешу үшін оң P бейнелеуі және жалпыланған P бейнелеулерінің кеңінен қолданылуы байқалды. Бұлардың барлығы бір-біріне тең және өзара түрлендіріледі, атап айтқанда Коэннің сыныптық үлестіру функциясы.
They also have some further interesting properties. For example, no two coherent states are orthogonal. In fact, if |α〉 and |β〉 are a pair of coherent states, then
Note that these states are, however, correctly normalized with〈α | α〉 = 1. Owing to the completeness of the basis of Fock states, the choice of the basis of coherent states must be overcomplete. Click to show an informal proof. Proof of the overcompleteness of the coherent statesIntegration over the complex plane can be written in terms of polar coordinates with Where exchanging sum and integral is allowed, we arrive at a simple integral expression of the gamma function:
Clearly, one can span the Hilbert space by writing a state as
On the other hand, despite correct normalization of the states, the factor of π > 1 proves that this basis is overcomplete. In the coherent states basis, however, it is always possible which is related to symmetric operator ordering. In quantum optics specifically, often the operators of interest, especially the particle number operator, is naturally expressed in normal order. In that case, the corresponding representation of the phase space distribution is the Glauber–Sudarshan P representation. The quasiprobabilistic nature of these phase space distributions is best understood in the P representation because of the following key statement:
This sweeping statement is inoperative in other representations. For example, the Wigner function of the EPR state is positive definite but has no classical analog. In addition to the representations defined above, there are many other quasiprobability distributions that arise in alternative representations of the phase space distribution. Another popular representation is the Husimi Q representation, which is useful when operators are in anti normal order. More recently, the positive P representation and a wider class of generalized P representations have been used to solve complex problems in quantum optics. These are all equivalent and interconvertible to each other, viz. Cohen's class distribution function.