Кіріспе
Кванттық механикада маңызды матрицалар және спинді зерттеу. Математикалық физика мен математикада Паули матрицалары – үш 2 × 2 кешенді матрицалар жиынтығы, олар гермиттік, инволюторлық және унитарлық. Әдетте грек әрпі сигма (σ) арқылы белгіленеді, ал изоспиндік симметриялармен байланысты қолданылғанда кейде тау (τ) арқылы белгіленеді. Бұл матрицалар физик Вольфганг Паулидің құрметіне аталған. Кванттық механикада олар Паули теңдеуінде кездеседі, бұл теңдеу бөлшектің спинінің сыртқы электромагниттік өріспен өзара әрекеттесуін ескереді. Сонымен қатар, олар көлденең/тік поляризация, 45 градус поляризация (оң/сол) және дөңгелек поляризация (оң/сол) үшін екі поляризациялық сүзгінің өзара әрекеттесу күйлерін көрсетеді. Әрбір Паули матрицасы гермиттік болып табылады, ал сәйкестік матрицасы I (кейде нөлдік Паули матрицасы деп есептеледі) Паули матрицаларымен бірге 2 × 2 гермиттік матрицалардың нақты векторлық кеңістігінің негізін құрайды. Бұл кез келген 2 × 2 гермиттік матрицаны Паули матрицаларының сызықтық комбинациясы түрінде бірегей түрде жазуға болады, мұндағы барлық коэффициенттер нақты сандар болады. Гермиттік операторлар кванттық механикада байқалатын шамаларды білдіреді, сондықтан Паули матрицалары екі өлшемді Хилберт кеңістігінің байқалатын шамалар кеңістігін жабатын базаны құрайды. Паулидің жұмысының контекстінде үш өлшемді Евклид кеңістігіндегі k-шы координат осі бойымен спинге сәйкес келетін байқалатын шаманы білдіреді.
In mathematical physics and mathematics, the Pauli matrices are a set of three 2 × 2 complex matrices that are Hermitian, involutory and unitary. Usually indicated by the Greek letter sigma (σ), they are occasionally denoted by tau (τ) when used in connection with isospin symmetries. These matrices are named after the physicist Wolfgang Pauli. In quantum mechanics, they occur in the Pauli equation, which takes into account the interaction of the spin of a particle with an external electromagnetic field. They also represent the interaction states of two polarization filters for horizontal / vertical polarization, 45 degree polarization (right/left), and circular polarization (right/left). Each Pauli matrix is Hermitian, and together with the identity matrix I (sometimes considered as the zeroth Pauli matrix ), the Pauli matrices form a basis for the real vector space of 2 × 2 Hermitian matrices. This means that any 2 × 2 Hermitian matrix can be written in a unique way as a linear combination of Pauli matrices, with all coefficients being real numbers. Hermitian operators represent observables in quantum mechanics, so the Pauli matrices span the space of observables of the complex two dimensional Hilbert space. In the context of Pauli's work, represents the observable corresponding to spin along the kth coordinate axis in three dimensional Euclidean space
The Pauli matrices (after multiplication by i to make them anti Hermitian) also generate transformations in the sense of Lie algebras: the matrices form a basis for the real Lie algebra , which exponentiates to the special unitary group SU(2). The algebra generated by the three matrices is isomorphic to the Clifford algebra of and the (unital) associative algebra generated by functions identically (is isomorphic) to that of quaternions .
Паули матрицалары (i-ге көбейтілгеннен кейін антигермиттік матрицаларға айналғаннан кейін) Ли алгебрасы мағынасында да түрлендірулерді тудырады: матрицалар нақты Ли алгебрасының негізін құрайды, ол SU(2) арнайы унитарлық тобына экспоненциалданады. Үш матрицадан туындаған алгебра Клиффорд алгебрасына изоморфты, ал функциялардан туындаған (бірлік) ассоциативтік алгебра квартерниондарға изоморфты.
In mathematical physics and mathematics, the Pauli matrices are a set of three 2 × 2 complex matrices that are Hermitian, involutory and unitary. Usually indicated by the Greek letter sigma (σ), they are occasionally denoted by tau (τ) when used in connection with isospin symmetries. These matrices are named after the physicist Wolfgang Pauli. In quantum mechanics, they occur in the Pauli equation, which takes into account the interaction of the spin of a particle with an external electromagnetic field. They also represent the interaction states of two polarization filters for horizontal / vertical polarization, 45 degree polarization (right/left), and circular polarization (right/left). Each Pauli matrix is Hermitian, and together with the identity matrix I (sometimes considered as the zeroth Pauli matrix ), the Pauli matrices form a basis for the real vector space of 2 × 2 Hermitian matrices. This means that any 2 × 2 Hermitian matrix can be written in a unique way as a linear combination of Pauli matrices, with all coefficients being real numbers. Hermitian operators represent observables in quantum mechanics, so the Pauli matrices span the space of observables of the complex two dimensional Hilbert space. In the context of Pauli's work, represents the observable corresponding to spin along the kth coordinate axis in three dimensional Euclidean space
The Pauli matrices (after multiplication by i to make them anti Hermitian) also generate transformations in the sense of Lie algebras: the matrices form a basis for the real Lie algebra , which exponentiates to the special unitary group SU(2). The algebra generated by the three matrices is isomorphic to the Clifford algebra of and the (unital) associative algebra generated by functions identically (is isomorphic) to that of quaternions .
Өз векторлары мен өз мәндері
Паулидің (Гермиттік) матрицаларының әрқайсысы екі өзіндік мәнге ие, +1 және -1. Сәйкес нормаланған өзіндік векторлар:
СУ ((2)
SU(2) тобы – бірлік детерминанты бар 2 × 2 унитарлық матрицалардың Ли тобы; оның Ли алгебрасы – 0 ізге ие барлық 2 × 2 анти-Гермиттік матрицалардың жиыны. Жоғарыда көрсетілгендей тікелей есептеу, Ли алгебрасы – бұл компактты жазбада берілген жиынмен қамтылған үш өлшемді нақты алгебра.
Осының нәтижесінде, әрқайсысын SU(2) үшін инфинитезималды генератор ретінде қарастыруға болады. SU(2) элементтері осы үш генератордың сызықтық комбинацияларының экспоненталары болып табылады және Паули векторы туралы талқылау кезінде жоғарыда көрсетілгендей көбейтіледі. Бұл SU(2) құруға жеткілікті болғанымен, ол su(2) үшін дұрыс бейнелеу емес, себебі Паулидің өзіндік мәндері конвенция бойынша қалыптастырылмаған. Стандартты нормалау бойынша , сондықтан
SU(2) компактты топ болғандықтан, оның Картан ыдырауы тривиальды болады.
СО ((3)
Ли алгебрасы Ли алгебрасына изоморфты, бұл SO(3) Ли тобына сәйкес келеді, ол үш өлшемді кеңістіктегі айналулар тобы. Басқаша айтқанда, оларды үш өлшемді кеңістіктегі инфинитезимальды айналулардың іске асырылуы (және іс жүзінде ең төмен өлшемді іске асырылуы) деп айтуға болады. Дегенмен, Ли алгебралары ретінде изоморф болса да, SU(2) және SO(3) Ли тобы ретінде изоморф емес. SU(2) шындығында SO(3) тобының екі есе қаптамасы болып табылады, яғни SU(2) тобынан SO(3) тобына 2:1 гомоморфизм бар, SO(3) және SU(2) арасындағы қатынасқа қараңыз.
Кванттық ақпарат
Кванттық ақпаратта бір кубиттік кванттық қақпалар 2 × 2 унитарлық матрицалар болып табылады. Паули матрицалары – ең маңызды бір кубит операцияларының бірі. Осы ретте, жоғарыда келтірілген Картан ыдырауы "бір кубит қақпасының Z–Y ыдырауы" деп аталады. Басқа Картан жұбын таңдау "бір кубит қақпасының X–Y ыдырауын" береді.